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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 排列与排列数一等奖课件ppt
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 排列与排列数一等奖课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了问题导入，树形图解排列问题，排列数公式及应用，组数问题等内容，欢迎下载使用。
1.理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列.2.掌握排列数公式及其推导方法，并能运用排列数公式进行运算或证明.3.了解排列的应用，能用排列及排列数公式解决简单的实际问题.核心素养：数学抽象、逻辑推理
问题1 3名同学排成一行照相，共有多少种排法？
分析 设3名同学分别为A，B，C.将3名同学排成一行，可以看作将字母A，B，C放入如图（1）的方格中.第1步：第一个位置可以从A，B，C三人中任选1人，有3种方法；第2步：第二个位置可以从除了已经排在第一个位置的人之外的2个人中任选1人，有2种方法，即第一个位置的每一种方法都对应2种方法；第3步：第三个位置只能是除了已经排在第一个位置和第二个位置的2个人之外剩下的1人，有1种方法，即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应1种方法，如图（2）.因此，根据分步乘法计数原理，3名同学排成一行照相，共有N＝3×2×1＝6种排法.
（1） （2）
问题2 北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，请列举出所有机票的情况，并指出共有多少种机票.
分析 北京、广州、南京、武汉4个城市间有多少种机票，是指起点和终点不同的机票共有多少种.第1步：确定可以作为起点的城市，有4种方法；第2步：作为终点的城市可以从起点城市之外的3个城市中任选1个，有3种方法.如图.因此，根据分步乘法计数原理，北京、广州、南京、武汉4个城市间，共有4×3＝12种机票.
问题3 从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？
分析 从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为信号，相当于从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中取出3面旗子放入如图（1）的3个方格中.第1步：第一个位置可以从4面不同颜色的旗子中任选1面，有4种方法；第2步：第二个位置可以从除了确定在第一个位置的那面旗子之外的3面中任选1面，有3种方法，即第一个位置的每一种方法都对应3种方法；第3步：第三个位置只能从除了确定在第一个位置和第二个位置的2面之外剩下的2面中任选1面，有2种方法，即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应2种方法，如图（2）.因此，根据分步乘法计数原理，从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为信号，共有4×3×2＝24种排法.每一种排法可以对应一种信号，故能组成24种信号.
（1） （2）
判断下列问题是否是排列问题:(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点的坐标;(2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会;(3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式.
解 (1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题.(2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题.(3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题.
例1 求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列.
反思感悟 利用“树形图”法解决简单排列问题的策略在画树形图时，先以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类，在每类中，再按余下元素在前面元素不变的情况下确定第二位并按序分类，依次进行直到完成一个排列，最后把所有的排列列举出来.
跟踪训练 四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来.
解 先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24种坐法.画出树形图如图.
由树形图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
反思感悟 排列数公式的应用技巧（1）连续正整数的乘积可以写成某个排列数，这是排列数公式的逆用.（2）应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样做往往能减少运算量.
分析 由于等式左、右两边的排列数上标、下标均为字母，不宜使用排列数的第一个公式，可以用第二个公式展开、化简或用模型法证明.
三、元素“相邻”与“不相邻”问题
例3 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，分别求满足下列条件的节目编排方法有多少种.（1）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；（2）2个唱歌节目互不相邻；（3）2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
反思感悟 “相邻”与“不相邻”问题的求解方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.（1）元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再“松绑”，将这若干个元素内部全排列.（2）元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
四、元素“在”与“不在”问题
例4 3名男生和4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法种数.（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（3）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端.
解 （1）（特殊元素优先法）先考虑甲的位置，有A13种方法，再将其余6人全排列，有A66种方法.故有A13A66＝2 160种方法.（2）（特殊元素优先法）先安排甲、乙的位置，有A22种方法，再将其余5人全排列，有A55种方法.故有A22A55＝240种方法.
（3）（方法一 特殊元素优先法）按甲是否在最右端分两类：第一类，甲在最右端有A66种方法；第二类，甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，乙也有A15个位置可选，其余5人全排列，有A55种方法.故有A66+A15A15A55＝3 720种方法.（方法二 间接法）无限制条件的排列方法共有A77种，而甲在最左端或乙在最右端的排法各有A66种，甲在最左端且乙在最右端的排法有A55种.故有A77-2A66+A55＝3 720种方法.（方法三 特殊位置优先法）按最左端优先安排分步.对于最左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排列有A66种排法，但要减去乙在最右端的排法A15A55种.故有A16A66-A15A55＝3 720种方法.
反思感悟 元素“在”与“不在”问题的求解方法（1）特殊优先法：先考虑安排好特殊元素（或位置），再安排一般的元素（或位置），即先特殊后一般；（2）分类讨论法：按特殊元素当选情况（或特殊位置放哪个元素）分类，再安排一般的元素（或位置），即先分类后分步；（3）间接法：先不考虑特殊元素（或位置），而求出所有元素的全排列数，再从中减去不满足特殊元素（或位置）要求的排列数，即先全体后排除.
例5 用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个.（1）六位奇数；（2）个位数字不是5的六位数.
反思感悟 排数字问题常见的解题方法1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排首位.2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计算.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.
2.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.8 B.24 C.48 D.120
3.已知下列问题:①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母;④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 ①是排列问题,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关;②不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关;③不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关;④是排列问题,因为取出的两个数字还需要按顺序排列.
4.甲、乙、丙、丁四人轮流读同一本书,则甲首先读的安排方法有 种.
5.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?
6.有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间,乙必在两端;(2)甲不在左端,乙不在右端;(3)男、女生分别排在一起;(4)男女相间;(5)男生不全相邻.
1.知识清单：(1)排列及排列数的概念.(2)排列数公式、阶乘.(3)排列及排列数的应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：不能正确进行排列计数，易重复计或漏计.
1.理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列.2.掌握排列数公式及其推导方法，并能运用排列数公式进行运算或证明.3.了解排列的应用，能用排列及排列数公式解决简单的实际问题.核心素养：数学抽象、逻辑推理
问题1 3名同学排成一行照相，共有多少种排法？
分析 设3名同学分别为A，B，C.将3名同学排成一行，可以看作将字母A，B，C放入如图（1）的方格中.第1步：第一个位置可以从A，B，C三人中任选1人，有3种方法；第2步：第二个位置可以从除了已经排在第一个位置的人之外的2个人中任选1人，有2种方法，即第一个位置的每一种方法都对应2种方法；第3步：第三个位置只能是除了已经排在第一个位置和第二个位置的2个人之外剩下的1人，有1种方法，即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应1种方法，如图（2）.因此，根据分步乘法计数原理，3名同学排成一行照相，共有N＝3×2×1＝6种排法.
（1） （2）
问题2 北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，请列举出所有机票的情况，并指出共有多少种机票.
分析 北京、广州、南京、武汉4个城市间有多少种机票，是指起点和终点不同的机票共有多少种.第1步：确定可以作为起点的城市，有4种方法；第2步：作为终点的城市可以从起点城市之外的3个城市中任选1个，有3种方法.如图.因此，根据分步乘法计数原理，北京、广州、南京、武汉4个城市间，共有4×3＝12种机票.
问题3 从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？
分析 从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为信号，相当于从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中取出3面旗子放入如图（1）的3个方格中.第1步：第一个位置可以从4面不同颜色的旗子中任选1面，有4种方法；第2步：第二个位置可以从除了确定在第一个位置的那面旗子之外的3面中任选1面，有3种方法，即第一个位置的每一种方法都对应3种方法；第3步：第三个位置只能从除了确定在第一个位置和第二个位置的2面之外剩下的2面中任选1面，有2种方法，即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应2种方法，如图（2）.因此，根据分步乘法计数原理，从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为信号，共有4×3×2＝24种排法.每一种排法可以对应一种信号，故能组成24种信号.
（1） （2）
判断下列问题是否是排列问题:(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点的坐标;(2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会;(3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式.
解 (1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题.(2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题.(3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题.
例1 求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列.
反思感悟 利用“树形图”法解决简单排列问题的策略在画树形图时，先以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类，在每类中，再按余下元素在前面元素不变的情况下确定第二位并按序分类，依次进行直到完成一个排列，最后把所有的排列列举出来.
跟踪训练 四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来.
解 先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24种坐法.画出树形图如图.
由树形图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
反思感悟 排列数公式的应用技巧（1）连续正整数的乘积可以写成某个排列数，这是排列数公式的逆用.（2）应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样做往往能减少运算量.
分析 由于等式左、右两边的排列数上标、下标均为字母，不宜使用排列数的第一个公式，可以用第二个公式展开、化简或用模型法证明.
三、元素“相邻”与“不相邻”问题
例3 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，分别求满足下列条件的节目编排方法有多少种.（1）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；（2）2个唱歌节目互不相邻；（3）2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
反思感悟 “相邻”与“不相邻”问题的求解方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.（1）元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再“松绑”，将这若干个元素内部全排列.（2）元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
四、元素“在”与“不在”问题
例4 3名男生和4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法种数.（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（3）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端.
解 （1）（特殊元素优先法）先考虑甲的位置，有A13种方法，再将其余6人全排列，有A66种方法.故有A13A66＝2 160种方法.（2）（特殊元素优先法）先安排甲、乙的位置，有A22种方法，再将其余5人全排列，有A55种方法.故有A22A55＝240种方法.
（3）（方法一 特殊元素优先法）按甲是否在最右端分两类：第一类，甲在最右端有A66种方法；第二类，甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，乙也有A15个位置可选，其余5人全排列，有A55种方法.故有A66+A15A15A55＝3 720种方法.（方法二 间接法）无限制条件的排列方法共有A77种，而甲在最左端或乙在最右端的排法各有A66种，甲在最左端且乙在最右端的排法有A55种.故有A77-2A66+A55＝3 720种方法.（方法三 特殊位置优先法）按最左端优先安排分步.对于最左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排列有A66种排法，但要减去乙在最右端的排法A15A55种.故有A16A66-A15A55＝3 720种方法.
反思感悟 元素“在”与“不在”问题的求解方法（1）特殊优先法：先考虑安排好特殊元素（或位置），再安排一般的元素（或位置），即先特殊后一般；（2）分类讨论法：按特殊元素当选情况（或特殊位置放哪个元素）分类，再安排一般的元素（或位置），即先分类后分步；（3）间接法：先不考虑特殊元素（或位置），而求出所有元素的全排列数，再从中减去不满足特殊元素（或位置）要求的排列数，即先全体后排除.
例5 用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个.（1）六位奇数；（2）个位数字不是5的六位数.
反思感悟 排数字问题常见的解题方法1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排首位.2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计算.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.
2.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.8 B.24 C.48 D.120
3.已知下列问题:①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母;④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 ①是排列问题,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关;②不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关;③不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关;④是排列问题,因为取出的两个数字还需要按顺序排列.
4.甲、乙、丙、丁四人轮流读同一本书,则甲首先读的安排方法有 种.
5.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?
6.有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间,乙必在两端;(2)甲不在左端,乙不在右端;(3)男、女生分别排在一起;(4)男女相间;(5)男生不全相邻.
1.知识清单：(1)排列及排列数的概念.(2)排列数公式、阶乘.(3)排列及排列数的应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：不能正确进行排列计数，易重复计或漏计.
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