2023年广东省万阅百校联考中考数学质检试卷（含答案）

2023年广东省万阅百校联考中考数学质检试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列数中，最小的是（　　）

A．﹣1 B．|﹣1| C．0 D．2

2．国产C919飞机，全称COMAC919，是我国按照国际民航规章自行研制、具有自主知识产权的大型喷气式民用飞机，最大航程达5555000m．数据5555000用科学记数法表示为（　　）

A．0.5555×107 B．5.555×106 C．55.55×105 D．5555×103

3．计算：＝（　　）

A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．2

4．如图，直线l与m平行，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

5．分式方程的解是（　　）

A．x＝2 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1

6．我国古代数学名著《直指算法统宗》中有问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，如果大和尚每人分3个，小和尚3人分一个（　　）

A．30 B．45 C．60 D．75

7．某养殖专业户为了估计其皖鱼养殖池中鲩鱼的数量，第一次随机捕捞了36条鲩鱼，将这些鱼一一做好标记后放回池塘中．一周后，其中有标记的鲩鱼共2条，估计该池塘中鲩鱼的数目为（　　）

A．54000 B．27000 C．13500 D．6750

8．在Rt△ABC中，各边的长度都变为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（　　）

A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 

C．变为原来的倍 D．保持不变

9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点横坐标x1，x2满足|x1|+|x2|＝2．当时，该函数有最大值4，则a的值为（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．2

10．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，AB的中点，点N为GE与BD的交点．下列结论：①GN＝NE；③BE平分∠DBC；④EF＝OC．其中必定正确的结论是（　　）

A．①②④ B．①③ C．①②③ D．③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11．分解因式：x2﹣2x﹣8＝　   　．

12．将抛物线y＝x2﹣x+1向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　   　．

13．佛山市清晖园、梁园，番禺余荫山房和东莞可园这四座古典园林被称为“岭南四大园林”．小明准备在“五一”假日期间在这四大园林中随机选择两处去游玩，则小明选择梁园和可园的概率是 　   　．

14．如图，在△ABC中，点E在BC上，且∠ABD＝∠ACD，若补充一个条件，则可以补充的条件为 　   　．（填写“E为BC中点”不得分）

15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），B（﹣1，0），D是y轴上的两个动点，且CD＝3，BC，则AD+BC的最小值为 　   　．

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.

16．解不等式组：．

17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°

（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）证明：BE＝2CE．

18．北京时间2022年12月4日．“神舟十四号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，“神舟十四号”载人飞行任务取得圆满成功．某校为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内随机选取了50名学生进行调查统计，一般关注和不关注四类，整理好全部调查问卷后

关注程度频数统计表

（1）m＝　   　，n＝　   　；

（2）扇形统计图中不关注对应的圆心角的度数为 　   　；

（3）若该校共有1200名学生，请估算该校学生中对航天科技比较关注和非常关注的共有多少人．

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19．2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件．已知购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元

（1）该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？

（2）该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元

20．如图，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°，点C在反比例函数第一象限的图象上，其中点A（﹣2，0），B（1，0）．

（1）求k的值；

（2）将Rt△ABC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到Rt△A′B′C′，边B′C′与反比例函数的图象交于点E，问当m为何值时

21．【学习新如】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2

（1）【初步应用】如图2，有两块平面镜AB，BC1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B＝90°，证明：DO1∥O2E；

（2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°1∥O3F，则∠C为多少度？

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接PA，交BC于点D．其中BC＝AB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求的最大值；

（3）若函数y＝ax2+bx+3在（其中）范围内的最大值为s，最小值为t，且，求m的取值范围．

23．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，AD与BC交于点E．

（1）求证：BC∥PF；

（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；

（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．

2023年广东省万阅百校联考中考数学质检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．解：∵|﹣1|＝1，

∴﹣8＜0＜|﹣1|＜7，

即最小的数是﹣1．

故选：A．

2．解：5555000＝5.55×106．

故选：B．

3．解：﹣4×＝﹣4×．

故选：A．

4．解：如图，过点B作BD∥l，

∵直线l∥m，

∴BD∥l∥m，

∴∠2＝∠ABD＝20°，

∵△ABC是有一个角是45°的直角三角板，

∴∠CBD＝45°﹣∠ABD＝45°﹣20°＝25°，

∴∠1＝∠CBD＝25°．

故选：B．

5．解：去分母得：7+3（x﹣4）＝x，

去括号得：7+3x﹣8＝x，

移项并合并得：2x＝﹣4，

解得：x＝﹣2，

检验：当x＝﹣2时，x﹣1≠8，

∴x＝﹣2是原方程的解．

故选：C．

6．解：设大和尚x人，小和尚y人，

根据题意得：，

解得：，

∴小和尚75人．

故选：D．

7．解：根据题意得：

36÷＝13500（条）．

答：估计该池塘中鲩鱼的数目为13500条．

故选：C．

8．解：∵三角形各边的长度都变为原来的2倍，

∴得到的三角形与原三角形相似，

∴锐角A的大小不变，

∴锐角A的正弦值不变，

故选：D．

9．解：∵当时，该函数有最大值8，

∴，

解得，

∴x3+x2＝﹣＝﹣1，x5•x2＝＝+，

∵x1+x6＝﹣1，

∴x1，x5至少有一个负数，

当x1，x2都小于3时，﹣（x1+x2）＝6≠2，不符合题意，

当x1＜7，x2＞0时，

|x6|+|x2|＝2可化为x7﹣x1＝2，

∴（x5+x2）2﹣7x1•x2＝5，

∴1﹣4（+）＝7，

解得a＝﹣4，

故选：A．

10．解：∵E，F，G分别是OC，AB的中点，

∴EF是△OCD的中位线，BG＝，

∴EF＝CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴EF∥BG，EF＝BG，

∴四边形BEFG是平行四边形，

∴GN＝NE，故①正确；

∵∠ACF＜∠ACD，

∴AE⊥CF不符合题意，故②错误；

∵BD＝2AD，BC＝AD，

∴BO＝BC，

∵点E是OC的中点，

∴BE平分∠CBO，故③正确；

∵CD与OC的数量关系不确定，故④不一定正确，

故选：B．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11．解：x2﹣2x﹣3＝（x﹣4）（x+2），

故答案为：（x﹣4）（x+2）．

12．解：由题意知，y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，

∴将抛物线y＝x2﹣x+3向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度得y＝（x+）8﹣，

故答案为：y＝（x+）2﹣．

13．解：将佛山市清晖园、梁园、B、C、D，

根据题意画树状图，如图所示，

从上图可以看出，共有12种等可能结果，

所以小明选择梁园和可园的概率为＝，

故答案为：．

14．解：①当补充条件是：AE是∠BAC的平分线，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠BAE＝∠CAE，

在△ABD与△ACD中，

，

∴△ABD与≌△ACD（AAS），

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形，

∴AE是BC边上的中线，

∴BE＝CE；

②当补充条件是：∠BDE＝∠CDE，

可得∠BAE＝∠CAE，

∴AE是∠BAC的平分线，

同①可得BE＝CE；

故答案为：AE是∠BAC的平分线（答案不唯一）．

15．解：把BC向下平移3个单位到DE，作点E关于y轴的对称点F，

则DF＝DE＝BC，连接AF，

则AD+BC＝AD+DF≥AF，

AF＝＝2，

故答案为：5．

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.

16．解：，

解不等式①得：x＞4，

解不等式②得：x≤，

则不等式组的解集为8＜x≤．

17．（1）解：如图，DE即为所求.

（2）证明：连接AE，

∵DE为线段AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，∠ADE＝90°，

∴∠BAE＝∠B＝30°，∠ADE＝∠C，

∵∠C＝90°，

∴∠BAC＝60°，

∴∠CAE＝30°，

∴∠CAE＝∠BAE，

∵AE＝AE，

∴△ADE≌△ACE（AAS），

∴CE＝DE，

在Rt△BDE中，∠B＝30°，

∴BE＝2DE，

∴BE＝2CE．

18．解：（1）m＝50×16%＝8，

n＝50﹣24﹣14﹣8＝7．

故答案为：8，4；

（2）360°×＝28.8°．

故扇形统计图中不关注对应的圆心角的度数为28.8°；

故答案为：28.5°；

（3）1200×＝912（人）．

故估算该校学生中对航天科技比较关注和非常关注的共有912人．

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19．解：（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价（x﹣15）元，

根据题意得：3x+4（x﹣15）＝220，

解得x＝40，

∴x﹣15＝40﹣15＝25，

答：A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元；

（2）设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件（50﹣m）件，

则（48﹣40）m+（30﹣25）（50﹣m）＞310，

解得m＞20，

答：A型号兔子挂件至少要购进21件．

20．解：（1）∵直线y＝ax+4经过点A（﹣2，3），

∴﹣2a+4＝8，

∴a＝2，

∴AC所在直线的解析式为y＝2x+4，

∵B（1，0），

∴8×1+4＝6，

∴C（1，6），

∵点C在反比例函数第一象限的图象上，

∴k＝7×6＝6；

（2）当x＝2时，y＝2x+4＝6，

∴OD＝4，

由平移的性质得到C′（1+m，2），

由题意得OD∥EC′，

∴当EC′＝OD＝4时，四边形ODC′E是平行四边形，

由（1）得反比例函数的解析式为y＝，

∵E点在点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，

∴E点的纵坐标为，

∴EC′＝B′C′﹣B′E＝6﹣＝2，

解得m＝2，

即当m为2时，四边形ODC′E是平行四边形．

21．（1）证明：∵∠B＝90°，∠B+∠2+∠3＝180°，

∴∠5+∠3＝90°，

∵∠1＝∠6，∠3＝∠4，

∴∠3+∠2+∠3+∠5＝180°，

∵∠1+∠DO1O3+∠2＝180°，∠3+∠O3O2E+∠4＝180°，

∴∠DO6O2+∠O1O6E＝180°，

∴DO1∥O2E；

（2）解：如图4，过点O2作O2M∥O6E，

∵∠1＝∠2＝36°，∠B＝120°，

∴∠8＝180°﹣36°﹣120°＝24°，

∴∠4＝∠3＝24°，

∵∠7＝∠2＝36°，∠1+∠EO8O2+∠2＝180°，

∴∠EO3O2＝108°，

同理，∠O1O2O3＝132°，

∵O2M∥O2E，

∴∠EO1O2+∠O5O2M＝180°，

∴∠O1O3M＝72°，

∴∠MO2O3＝∠EO5O2﹣∠O1O2M＝60°，

∵O2M∥O1E，EO6∥O3F，

∴O2M∥O8F，

∴∠MO2O3+∠O5O3F＝180°，

∴∠O2O2F＝120°，

∴∠5＝∠6＝×（180°﹣∠O2O6F）＝30°，

∴∠C＝180°﹣∠4﹣∠5＝126°．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分

22．解：（1）在y＝ax2+bx+3中，令x＝6得y＝3，

∴C（0，8），

∴OC＝3，

在Rt△BOC中，

∵tan∠ABC＝，

∴＝，即＝，

∴OB＝6，

∴B（4，0）＝5，

∵AB＝BC＝8，

∴OA＝AB﹣OB＝5﹣4＝7，

∴A（﹣1，0），

把A（﹣2，0），0）代入y＝ax2+bx+3得：

，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；

（2）过P作PM∥AB交抛物线于P，如图：

由B（4，2），3）得直线BC解析式为y＝﹣，

设P（m，﹣ m3+m+2），

在y＝﹣x+7中m7+m+2得：

﹣m8+m+4＝﹣，

解得x＝m4﹣3m，

∴M（m2﹣7m，﹣ m6+m+4），

∴PM＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m4+4m，

∵PM∥AB，

∴△PMD∽△ABD，

∴＝＝＝﹣2+，

∵﹣＜7，

∴当m＝2时，取最大值，

∴的最大值为；

（3）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣）2+，

∴抛物线y＝﹣x2+x+3的对称轴为直线x＝，

∴当x≤时，y＝﹣x2+x+3中，

∵m≤，

∴m+≤＜，

∴在（其中，

当x＝m+时，y取最大值（m+）2+（m+，

当x＝m﹣时，y取最小值（m﹣）2+（m﹣，

∴s﹣t＝[﹣（m+）2+（m+（m﹣）2+（m﹣m+，

∵≤s﹣t＜，

∴≤﹣＜，

解得＜m≤，

∴m的取值范围是＜m≤．

23．（1）证明：连接OD，如图，

∵D为劣弧的中点，

∴，

∴OD⊥BC．

∵PF是⊙O的切线，

∴OD⊥PF，

∴BC∥PF；

（2）连接OD，BD，

设AE＝x，则AD＝1+x．

∵D为劣弧的中点，

∴，

∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．

∵∠CDE＝∠ADC，

∴△CDE∽△ADC，

∴，

∴CD2＝DE•AD＝5×（1+x）＝1+x．

∴BD2＝1+x．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD2+BD2＝AB2．

∵⊙O的半径为，

∴AB＝5．

∴，

解得：x＝3或x＝﹣8（不合题意，舍去），

∴AE＝3．

（3）连接OD，BD，如图，

由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝7＝5，

∵∠ADB＝90°，

∴cos∠DAB＝＝．

∵OA＝OD，

∴∠DAB＝∠ADO，

∴cos∠ADO＝cos∠DAB＝．

∵OH⊥BC，

∴BH＝CH，cos∠ADO＝，

∴DH＝DE×＝．

∴OH＝OD﹣DH＝﹣＝．

∴BH＝＝，

∴CH＝BH＝．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，

∴四边形CHDP为矩形，

∴∠P＝90°，CP＝DH＝，

∴△DCP的面积＝CP•DP＝．