2023年河南省安阳市殷都区中考数学一模试卷（含答案）

2023年河南省安阳市殷都区中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（3分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外无其它差别，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　）

A．至少有2个红球 B．至少有1个红球 

C．至少有2个白球 D．至少有1个白球

3．（3分）如图，在△OAB中，点C、D分别在边OB、OA的反向延长线上，且CD∥AB．若OC＝2，OB＝4，OD＝3，则OA的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

4．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

5．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）一个扇形的弧长是2π，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（　　）

A．45° B．90° C．120° D．180°

7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠B＝110°，则∠AOC的度数为（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°

8．（3分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）

A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625 

C．625x2＝400 D．400x2＝625

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA与x轴重合，AB⊥x轴，反比例函数 的图象经过线段AB的中点C．若△OAB的面积为8，则k的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8

10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①ac＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别是﹣1和3．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）式子2cos30°﹣tan45°的值是 　   　．

12．（3分）已知点A（2，m）与B（﹣2，5）关于原点对称，则m＝　   　．

13．（3分）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度OH为4m时，水面的宽度AB为 　   　m．

14．（3分）如图，将△OAB按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OAB＝90°，∠B＝30°，顶点A的坐标为（﹣1，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转60°得到△OA'B'，则点B′的坐标为 　   　．

15．（3分）如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为 　   　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（8分）如图，正比例函数y＝3x与反比例函数的图象交于点A（﹣2，a）、B两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）结合图象直接写出不等式的解集．

17．（9分）为深入学习贯彻党的二十大精神，某学校决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级一班有1男3女共4名学生报名参加演讲比赛．

（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是 　   　；

（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用画树状图或列表的方法，求这2名学生都是女生的概率．

18．（9分）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．

（1）求证：△AOC∽△OBD；

（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．

19．（9分）某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊AB的高度．如图，在C处测得字坊顶端B的仰角为37°，然后沿CA方向前进6.3m到达点D处，测得字坊顶端B的仰角为45°，求字坊AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）

20．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DA延长线上一点，且∠CED＝∠CAB．

（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求线段CE的长．

21．（10分）兔年来临之际，某商店销售一种小兔子毛绒玩具，每件进价为30元，经过试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如下关系：y＝﹣x+60．

（1）求该商店销售这种毛绒玩具每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；

（2）若商店销售这种毛绒玩具每天想获得200元的利润，且最大限度让利给顾客，则销售单价应定为多少元？

22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A，B（1，0），与y轴交于点C，且OA＝OC．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）当k≤x＜0，且k＜﹣1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝﹣1，求k的值．

23．（11分）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．

操作探究：

（1）如图1，△OAB为等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF，则∠BAE＝　   　°，OF与DE的数量关系是 　   　；

迁移探究：

（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当△OAB绕点O逆时针旋转，点D正好落在∠AOB的角平分线上，得到△ODE，求出此时∠BAE的度数及OF与DE的数量关系；

拓展应用：

（3）如图3，在等腰三角形OAB中，OA＝OB＝4，∠AOB＝90°．将△OAB绕点O旋转，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF．当∠EAB＝15°时，请直接写出OF的长．

2023年河南省安阳市殷都区中考数学一模试卷

（参考答案与详解）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：C．

2．（3分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外无其它差别，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　）

A．至少有2个红球 B．至少有1个红球 

C．至少有2个白球 D．至少有1个白球

【分析】A．根据随机事件的概念进行判断即可得出答案；

B．根据随机事件的概念进行判断即可得出答案；

C．根据随机事件的概念进行判断即可得出答案；

D．根据必然事件的概念进行判断即可得出答案．

【解答】解：至少有2个球是红球是随机事件，故本A不符合题意；

至少有1个球是红球是随机事件，故本B不符合题意；

至少有2个球是白球是随机事件，故C项不符合题意；

至少有1个球是白球是必然事件，故D项符合题意；

故选：D．

3．（3分）如图，在△OAB中，点C、D分别在边OB、OA的反向延长线上，且CD∥AB．若OC＝2，OB＝4，OD＝3，则OA的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解．

【解答】解：∵CD∥AB，

∴，

∵OC＝2，OB＝4，OD＝3，

∴，

∴OA＝6，

故选：B．

4．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．

【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

5．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．

【解答】解：从物体左面看，是左边2个正方形，右边1个正方形．

故选：A．

6．（3分）一个扇形的弧长是2π，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（　　）

A．45° B．90° C．120° D．180°

【分析】利用弧长公式求解即可．

【解答】解：设圆心角为n°，

则有＝2π，

∴n＝90，

∴该扇形的圆心角的度数是90°．

故选：B．

7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠B＝110°，则∠AOC的度数为（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D，再利用圆周角定理解答．

【解答】解：∵∠B＝110°，

∴∠D＝180°﹣∠B＝70°，

∴∠AOC＝2∠D＝140°．

故选：D．

8．（3分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）

A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625 

C．625x2＝400 D．400x2＝625

【分析】第三年的植树量＝第一年的植树量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．

【解答】解：根据题意得：400（1+x）2＝625，

故选：B．

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA与x轴重合，AB⊥x轴，反比例函数 的图象经过线段AB的中点C．若△OAB的面积为8，则k的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8

【分析】连接OC，根据线段中点定义得AC＝BC＝，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解．

【解答】解：连接OC，如图，

∵C为AB的中点，

∴AC＝BC＝，

∵AB⊥x轴，△OAB的面积为8，

∴，

∴OA•AB＝16，

∴，

∴，即|k|＝8，

∵反比例函数图象在第一象限，

∴k＝8．

故选：C．

10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①ac＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别是﹣1和3．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】由二次函数图象和性质即可解决问题．

【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，

∴a＜0，

∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交y轴于原点上方，

∴c＞0，

∴ac＜0，

故①错误；

∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝﹣＝1，

∴2a+b＝0，

故②正确；

当x＝1时，y＝a+b+c＞0，

故③正确；

当x≥1时，y随x的增大而减小，

故④错误；

∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，

∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别是﹣1和3，

故④正确．

其中正确的结论有②③⑤．

故选：B．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）式子2cos30°﹣tan45°的值是 　﹣1　．

【分析】将特殊角的三角函数值直接代入即可求解．

【解答】解：2cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1．

故答案为：﹣1．

12．（3分）已知点A（2，m）与B（﹣2，5）关于原点对称，则m＝　﹣5　．

【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．

【解答】解：∵点A（2，m）与B（﹣2，5）关于原点对称，

∴m＝﹣5．

故答案为：﹣5．

13．（3分）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度OH为4m时，水面的宽度AB为 　16　m．

【分析】求出当y＝﹣4时x的值即可得出答案．

【解答】解：由题意，当y＝﹣4时，﹣x2＝﹣4，

解得x＝±8，

则AB＝16m，

故答案为：16．

14．（3分）如图，将△OAB按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OAB＝90°，∠B＝30°，顶点A的坐标为（﹣1，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转60°得到△OA'B'，则点B′的坐标为 　（1，）　．

【分析】过B′作B′C⊥y轴于C，由旋转的性质得OB′＝OB，∠A′OA＝60°，可得∠B′OC＝30°，证明△B′OC≌△OBA，根据全等三角形的性质得OC＝AB＝，B′C＝OA＝1，即可求解．

【解答】解：过B′作B′C⊥y轴于C，

∴∠B′CO＝∠OAB＝90°，

∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，

∴∠AOB＝60°，

由旋转的性质得OB′＝OB，∠B′OB＝60°，

∴∠BOC＝30°，

∴∠B′OC＝∠B′OB﹣∠BOC＝30°，

在△B′OC和△OBA中，

，

∴△B′OC≌△OBA（AAS），

∴OC＝AB＝，B′C＝OA＝1，

∴点B'的坐标为（1，）．

故答案为：（1，）．

15．（3分）如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为 　π﹣2　．

【分析】根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，

∴AC＝AO，BC＝BO，

∵AO＝BO，

∴四边形AOBC是菱形，

连接OC交AB于D，

∵OC＝OA，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠CAO＝∠AOC＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∵AC＝2，

∴OC＝2，AD＝AC＝，

∴AB＝2AD＝2，

∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣×2×2＝π﹣2．

故答案为：π﹣2．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（8分）如图，正比例函数y＝3x与反比例函数的图象交于点A（﹣2，a）、B两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）结合图象直接写出不等式的解集．

【分析】（1）先将点A（﹣2，a）代入正比例函数y＝3x中求得a＝﹣6，再根据待定系数法即可求解；

（2）联立两解析式求得B（2，6），分析题意可得要求当反比例函数的值小于等于正比例函数的值时x的取值范围，结合图象即可求解．

【解答】解：（1）∵点A（﹣2，a）在正比例函数y＝3x的图象上，

∴a＝3×（﹣2）＝﹣6，

∴A（﹣2，﹣6），

∵反比例函数的图象过点A（﹣2，﹣6），

∴，

解得：k＝12，

∴反比例函数的表达式为；

（2）联立得：，

解得：或，

∴B（2，6），

∵，即反比例函数的值小于等于正比例函数的值，

∴结合函数图象可知，此时﹣2≤x＜0或x≥2．

17．（9分）为深入学习贯彻党的二十大精神，某学校决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级一班有1男3女共4名学生报名参加演讲比赛．

（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是 　　；

（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用画树状图或列表的方法，求这2名学生都是女生的概率．

【分析】（1）利用树状图列出所有情况，找出所选的这名学生是女生的情况，代入即可得到答案；

（2）利用树状图列出所有情况，找出2名学生都是女生的情况，代入即可得到答案．

【解答】解：（1）由题意可得，

由上图可得总共有4种等可能情况，是女生的等情况数有3种，

∴所选的这名学生是女生的概率是 ，

∴选的这名学生是女生的概率是；

（2）由题意可得，

由上图可得总共有12种等可能情况，是男生的等情况数有6种，

∴2名学生都是男生的概率P＝＝，

∴这2名学生都是男生的概率为．

18．（9分）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．

（1）求证：△AOC∽△OBD；

（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．

【分析】（1）由余角的性质得到∠A＝∠BOD，又∠ACO＝∠BDO＝90°，即可证明问题；

（2）由勾股定理求出AC的长，由相似三角形的性质即可求出BD的长．

【解答】（1）证明：∵AC⊥MN，BD⊥MN，

∴∠ACO＝∠BDO＝90°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠A+∠AOC＝∠BOD+∠AOC，

∴∠A＝∠BOD，

∴△AOC∽△OBD；

（2）解：在Rt△ACO中，AC＝＝＝4，

∵△AOC∽△OBD，

∴OC：BD＝AC：OD，

∴3：BD＝4：3，

∴BD＝．

19．（9分）某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊AB的高度．如图，在C处测得字坊顶端B的仰角为37°，然后沿CA方向前进6.3m到达点D处，测得字坊顶端B的仰角为45°，求字坊AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）

【分析】根据题意可得：∠BAC＝90°，CD＝6.3m，设AB＝xm，然后分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AD的长，再根据AC﹣AD＝CD，列出关于x的方程，进行计算即可解答．

【解答】解：由题意得：∠BAC＝90°，CD＝6.3m，

设AB＝xm，

在Rt△ABC中，∠BCA＝37°，

∴AC＝≈＝x（m），

在Rt△ABD中，∠BDA＝45°，

∴AD＝＝x（m），

∵AC﹣AD＝CD，

∴x﹣x＝6.3，

解得：x＝18.9，

∴AB＝18.9m，

∴字坊AB的高度约为18.9m．

20．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DA延长线上一点，且∠CED＝∠CAB．

（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求线段CE的长．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，根据圆周角定理得出∠B＝∠D，推出∠DCE＝90°即可得出结论；

（2）根据∠B＝∠D，得到tanB＝tanD，再根据勾股定理得出CE即可．

【解答】解：（1）CE与⊙O相切，

理由：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠B＝90°，

∵∠CED＝∠CAB，∠B＝∠D，

∴∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴CD⊥CE，

∵OC是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线；

（2）由（1）知，CD⊥CE，

在Rt△ABC和Rt△DEC中，

∵∠B＝∠D，tanB＝，

∴tanB＝tanD＝＝，

∴CD＝2CE，

在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝3，

∴（2CE）2+CE2＝（3）2，

解得CE＝（负值舍去），

即线段CE的长为．

21．（10分）兔年来临之际，某商店销售一种小兔子毛绒玩具，每件进价为30元，经过试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如下关系：y＝﹣x+60．

（1）求该商店销售这种毛绒玩具每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；

（2）若商店销售这种毛绒玩具每天想获得200元的利润，且最大限度让利给顾客，则销售单价应定为多少元？

【分析】（1）根据总利润＝每个玩具的利润×销售量可得答案；

（2）根据题意得到关于x的方程，解之求出x的值，依据“最大限度让利给顾客”的条件确定答案．

【解答】解：（1）由题意知，w＝（x﹣30）（﹣x+60）

＝﹣x2+90x﹣1800；

（2）由题意知，﹣x2+90x﹣1800＝200，

解得x1＝40，x2＝50，

∵要最大限度让利给顾客，

∴x＝40，

答：销售单价应定为40元．

22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A，B（1，0），与y轴交于点C，且OA＝OC．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）当k≤x＜0，且k＜﹣1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝﹣1，求k的值．

【分析】（1）令x＝0，得y＝3，可得C（0，3），再由OA＝OC，可得A（﹣3，0），利用待定系数法可得抛物线解析式，运用配方法可得出顶点坐标；

（2）函数的最大值为m＝4，由m+n＝﹣1可得n＝﹣5，当y＝﹣5时，解方程﹣x2﹣2x+3＝﹣5，即可得出答案．

【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，

∴C（0，3），

∴OC＝3，

∵OA＝OC，

∴A（﹣3，0），

把A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx+3中，

得，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）∵当k≤x＜0，且k＜﹣1时，y的最大值和最小值分别为m，n，

∴m＝4，

∵m+n＝﹣1，

∴n＝﹣1﹣m＝﹣1﹣4＝﹣5，

当y＝﹣5时，﹣x2﹣2x+3＝﹣5，

解得：x1＝﹣4，x2＝2，

∵k≤x＜0，

∴k＝﹣4．

23．（11分）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．

操作探究：

（1）如图1，△OAB为等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF，则∠BAE＝　90　°，OF与DE的数量关系是 　DE＝2OF　；

迁移探究：

（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当△OAB绕点O逆时针旋转，点D正好落在∠AOB的角平分线上，得到△ODE，求出此时∠BAE的度数及OF与DE的数量关系；

拓展应用：

（3）如图3，在等腰三角形OAB中，OA＝OB＝4，∠AOB＝90°．将△OAB绕点O旋转，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF．当∠EAB＝15°时，请直接写出OF的长．

【分析】（1）证明△OAB为等边三角形，根据旋转的性质得△OAB≌△ODE，求出∠AOE＝120°，根据等腰三角形的性质可得∠DAE＝30°，OF⊥AE，即可得∠BAE＝90°，OA＝DE＝2OF；

（2）根据旋转的性质得△OAB≌△ODE，由OD平分∠AOB得∠AOD＝30°，可得∠AOE＝90°，∠OAE＝45°，即可得∠BAE＝15°，根据等腰直角三角形的性质可得DE＝OF；

（3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在OB右边时，②当点E在OB左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．

【解答】解：（1）∵△OAB为等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，

∴△OAB为等边三角形，

∵将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，

∴△OAB≌△ODE，

∴△ODE为等边三角形，OA＝OB＝AB＝DE＝OE，∠AOB＝∠OAB＝60°，

∴∠AOE＝120°，

∴∠AEB＝∠OAE＝30°，

∴∠BAE＝90°，

∵OA＝OE，F是AE的中点，

∴OF⊥AE，

∴OA＝DE＝2OF，

故答案为：90，DE＝2OF；

（2）由旋转的性质，可知△OAB≌△ODE，

∵△OAB为等边三角形，OD平分∠AOB，△ODE为等边三角形，

∴∠DOE＝60°，∠AOD＝∠AOB＝30°，

∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝90°，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝45°，

∴△AOB是等腰直角三角形，∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝15°，

∵F是AE的中点，

∴OF⊥AE，

∴△OEF是等腰直角三角形，

∴DE＝OE＝OF；

（3）分以下两种情况进行讨论：

①如图3﹣1．当点E在OB右边时，

∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠OAB＝45°．

∵∠EAB＝15°，

∴∠OAE＝60°，

由旋转的性质，得OA＝OB＝OE＝OD＝4，

∴OAE为等边三角形，

∵F是AE的中点，

∴OF⊥AE，OF平分∠AOE，

∴∠AOF＝∠AOE＝30°，

∴AF＝OA＝2，

∴OF＝AF＝2；

②如图3﹣2，当点E在OB左边时，

同理，可得∠OAE＝30°，OF⊥AE，

∴OF＝OA＝2．

综上所述，OF的长为2或2．