2023届甘肃省武威市高三下学期第一次联考（月考）数学（理）试题含答案

这是一份2023届甘肃省武威市高三下学期第一次联考（月考）数学（理）试题含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届甘肃省武威市高三下学期第一次联考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．设复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）A． B． C． D．3．在中，，，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．4．某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（    ）A．计算 B．计算C．计算 D．计算5．若，则（    ）A． B． C． D．6．若，满足约束条件则下列目标函数中最大值为0的是（    ）A． B． C． D．7．在正四棱柱中，是的中点，，，则与平面所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．8．随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ）A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元9．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．10．已知正三角形的边长为6， ，，且，则点到直线距离的最大值为（    ）A． B．3 C． D．11．已知是离心率为2的双曲线：（）的右支上一点，则到直线0的距离与到点的距离之和的最小值为（    ）A． B． C． D．12．若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，该圆台的体积为，则该圆台的高为______．14．将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______．15．定义在上的奇函数满足，当时，，则______．16．为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设等比数列的前项和为，已知，且．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：当时，．18．（12分）为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有500名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图．（1）估计所有参赛学生的平均成绩（各组的数据以该组区间的中间值作代表）；（2）若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线；（3）以这100名学生成绩不低于80分的频率为概率，从参赛的500名学生中随机选20名，其中参赛学生成绩不低于80分的人数记为，求的方差．19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点．（1）证明：平面．（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．20．（12分）已知直线与抛物线：（）交于，两点，且．（1）求的方程．（2）若直线（）与交于，两点，点与点关于轴对称，试问直线是否过定点?若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由．21．（12分）已知函数．（1）求在上的极值；（2）若，，求的最小值．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过曲线上任意一点作与直线的夹角为45°的直线，且与交于点，求的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数的最大值为，若正数，满足，求的最小值．                  2023届甘肃省武威市高三下学期第一次联考数学参考答案（理科）1．B  2．D 3．B  4．A 5．C  6．B  7．A 8．C  9．B 11．A  12．A  13．3 14．280  15． 16． 17．（1）解：设数列的公比为，因为，所以．又，所以，所以，解得．故．（2）证明：由（1）知，所以．易知在上单调递增，当时，，即．18．解：（1）由，得．这100名参赛学生的平均成绩约为分，故估计所有参赛学生的平均成绩为82分．（2）获得表彰的学生人数的频率为，设获得表彰的学生的最低分数线为，由分数在区间的频率为，可知，由，得，故估计获得表彰的学生的最低分数线为95分．（3）这100名学生成绩不低于80分的频率为，则，故．19．（1）证明：连接．因为，且，所以．因为，所以．因为是棱的中点，所以．因为，，平面，且，所以平面．因为平面，所以．由题意可得，则，故．因为，平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，，所以，所以．因为，平面，且，所以平面．（2）解：以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，从而，，，．因为，所以，所以．设平面的法向量为，则令，得．平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则．因为，所以．20．解：（1）将代入，得，则，，则，解得，故的方程为．（2）设，，则，联立方程组整理得，，则，所以，因此直线的方程为，整理得，即，当时，，故直线过定点．21．解：（1），令，得，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以当时，取得极小值，无极大值．（2）由题知，设，则，．令，则，设，则，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，所以在处取得极大值，且极大值为．①若，即，此时，则即单调递减，又，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，可知在处取得极大值，且极大值为，所以，则当时，符合条件．②若，即，此时，所以存在，使在区间上，，故即单调递增，又，则在区间上，，所以在区间上，单调递减，则，不满足条件．综上所述，的最小值为．22．解：（1）由，消去参数，得到曲线的普通方程为．由得直线的直角坐标方程为．（2）设，则点到的距离．因为过点的直线与的夹角为45°，所以，故的最小值为．23．解：（1）当时，不等式转化为，解得．当时，不等式转化为，解得．当时，不等式转化为，解得．综上所述，不等式的解集为．（2），所以，则，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为．