北师大版数学八年级上册勾股定理的逆定理（基础）知识讲解 (含答案)

勾股定理的逆定理（基础）

【学习目标】

1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；

2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；

3. 理解勾股数的含义；

4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.

【要点梳理】

要点一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

         （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）       首先确定最大边（如）.

（2）       验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

要点三、勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；

【典型例题】

类型一、勾股定理的逆定理 

1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．

（1）＝7，＝24，＝25；

（2）＝，＝1，＝；

（3），，()；

【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．

【答案与解析】

解：（1）∵  ，，

∴  ．

∴  由线段组成的三角形是直角三角形．

   （2）∵  ，，，

∴  ．

∴  由线段组成的三角形不是直角三角形．

    （3）∵  ，

∴  ，．

∵，

，

∴  ．

∴  由线段组成的三角形是直角三角形．

【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．

举一反三：

【变式】（2015春•安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（　　）

　 A.1组    B.2组     C.3组    D.4组

【答案】C.

解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；

②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；

③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；

④72+242=252，∴能组成直角三角形．

故选C．

2、（2020春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．

【思路点拨】由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC，则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积，也可求出线段AC的长．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．

【答案与解析】

解：连接AC，在△ABC中，

因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，

所以，所以AC＝5，

在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，

所以，

即．

所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．

所以

．

【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察．

类型二、勾股定理逆定理的应用

3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.

【答案与解析】

解：∵

∴

∴，

∴△ABC是直角三角形.

【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.

举一反三：

【变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：

∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，                         第一步

∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），            第二步

∴c2=a2+b2，                                 第三步

∴△ABC为直角三角形．                      第四步

问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：　_________　；

（2）错误的原因是：　_________　；

（3）本题正确的结论是：　_________　．

【答案】

解：（1）第三步；

（2）方程两边同时除以（a2﹣b2）时，没有考虑（a2﹣b2）的值有可能是0；

（3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）

∴c2=a2+b2或a2﹣b2=0

∵a2﹣b2=0

∴a+b=0或a﹣b=0

∵a+b≠0

∴c2=a2+b2或a﹣b=0

∴c2=a2+b2或a=b

∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．

4、（2020•秦皇岛校级模拟）如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是第九十四中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．

（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．

（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？

【思路点拨】（1）过点A作AE⊥MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE=80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；

（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可．

【答案与解析】

解：（1）会受到影响．

过点A作AE⊥MN于点E，

∵点A到铁路MN的距离为80米，

∴AE=80m，

∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，

∴学校会受到影响；

（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，

在Rt△ABE中，

∵AB=100m，AE=80m，

∴BE===60m，

∴BC=2BE=120m，

∵火车的速度是180千米/时=50m/s，

∴t===2.4s．

答：学校受到影响的时间是2.4秒．

【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．