北师大版数学八年级上册勾股定理（基础）知识讲解 (含答案)

勾股定理（基础）

【学习目标】

1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；

2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；

3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．

     （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．

（3）理解勾股定理的一些变式：

，， ．

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．

　　　 图（1）中，所以．

　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．

　　　　 　　图（2）中，所以．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

　　　　   ，所以．

要点三、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；

3． 与勾股定理有关的面积计算；

4．勾股定理在实际生活中的应用．

【典型例题】

类型一、勾股定理的直接应用 

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．

（1）若＝5，＝12，求；

（2）若＝26，＝24，求．

【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长．

【答案与解析】

解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，

所以．所以＝13．

（2）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，

所以．所以＝10．

【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．

举一反三：

【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．

（1）已知＝6，＝10，求；

（2）已知，＝32，求、．

【答案】

解：（1）∵  ∠C＝90°，＝6，＝10，

∴  ，

∴  ＝8．

（2）设，，

∵  ∠C＝90°，＝32，

∴  ．

即．

解得＝8．

∴  ，．

类型二、与勾股定理有关的证明 

2、（2020•丰台区一模）阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．

由图1可以得到（a+b）2=4×，

整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．

所以a2+b2=c2．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到　　                        ，

整理，得　                        　，

所以　                      　．

【答案与解析】

证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，

∴c2=4×ab+（b﹣a）2，

整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，

∴c2=a2+b2．

故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．

【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（ ）
　　A．AC2　　　 B．BD2 　　　C．BC2　　　 D．DE2

【答案】连接AD构造直角三角形，得
，选A．

类型三、与勾股定理有关的线段长

3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（    ）

A．3          B．4            C．5          D．6

【答案】D；

【解析】

解：设AB＝，则AF＝，

∵  △ABE折叠后的图形为△AFE，

∴  △ABE≌△AFE．BE＝EF，

EC＝BC－BE＝8－3＝5，

在Rt△EFC中，

由勾股定理解得FC＝4，

在Rt△ABC中，，解得．

【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．

类型四、与勾股定理有关的面积计算

4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）

A．6          B．5            C．11          D．16

【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积．

【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
∵

∴△ABC≌△CDE
∴BC=DE
∵

∴

∴b的面积为5+11=16，故选D．

【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．

举一反三：

【变式】（2020•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S=4，S=9，S=8，S=10，则S=（　　）

 A.25      B.31       C.32       D.40

【答案】解：如图，由题意得：

AB2=S1+S2=13，

AC2=S3+S4=18，

∴BC2=AB2+AC2=31，

∴S=BC2=31，

故选B．

类型五、利用勾股定理解决实际问题

5、（2020春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．

【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．

【答案与解析】

解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，

根据勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，

解得：x=7.5，

竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．

【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．

举一反三：

【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？

【答案】

解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，

∴  ．

∴  ()．

∴  BC＋AB＝5＋13＝18()．

∴  旗杆折断前的高度为18．