初中数学北师大版八年级上册7 二次根式课后练习题

二次根式的乘除运算—知识讲解（基础）

【学习目标】

1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.

2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.

【要点梳理】

要点一、二次根式的乘法
1.乘法法则：

（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0，≥0，…..≥0）.

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

要点二、二次根式的除法
1.除法法则：

（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
要点三、分母有理化

1.分母有理化

把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.

2.有理化因式

  两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：

   ①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式.

②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.

要点诠释：

   分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；  ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘除运算

1．(1)×； 　(2)×； (3)；   (4)；

【答案与解析】(1)×=；

 (2)×==；
(3)===2；
(4)==×2=2.

【总结升华】直接利用计算即可．

举一反三：
【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：
     (1)；

    (2)×=4××=4×=4=8.

【答案】(1)不正确．
改正：=＝×=2×3=6；
(2)不正确．
改正：×=×===＝4.

2. （2020春•德州校级月考）计算：．

【思路点拨】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．

【答案与解析】

解：

=3×（﹣）×2

=﹣×5

=﹣．

【总结升华】本题考查了二次根式的乘除混合运算，正确转换成乘法运算是关键．

3.已知0＜＜,化简.

【答案与解析】原式===

【总结升华】成立的条件是＞0；若＜0,则.

类型二、分母有理化

4. 把下列各式分母有理化：

【思路点拨】找分母有理化因式.

【答案与解析】

  （1）

   （2）

   （3） 

【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，与，a与a，b与b都是互为有理化因式.

举一反三：
【变式】（2020•科左中旗校级一模）观察下列等式：

①==﹣1

②==﹣

③==﹣

……

回答下列问题：

（1）化简：=　　                 ；（n为正整数）

（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++．

【答案】

解：（1）=；

故答案为：．

（2）+++…++

=…+

=﹣1．