北师大版数学八年级上册《二元一次方程组》全章复习与巩固(提高)知识讲解 (含答案)

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《二元一次方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解 【学习目标】1.了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的（数字系数）；能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.毛2.二元一次方程组的图像解法，初步体会方程与函数的关系.3.了解解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的划归思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.要点诠释：（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.（3）图像法解二元一次方程组的一般过程：①把二元一次方程化成一次函数的形式． ②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点．③交点坐标就是方程组的解．要点诠释：二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点）  二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点）利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、实际问题与二元一次方程组 要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.要点四、二元一次方程（组）与一次函数1.二元一次方程与一次函数的关系    （1）任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.（2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.2. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.3.用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.
2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.
3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 要点五、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组.要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念 1. （2020春•潮州期末）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） A.     B.    C.   D. 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义判断即可.【答案】C.【解析】C选项是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项符合题意，选C.【总结升华】熟记二元一次方程组的定义是解此题的关键.举一反三：【变式1】若关于x、y的方程是二元一次方程，则m =       ．【答案】1．【变式2】已知方程组有无数多个解，则a、b 的值等于        ．   【答案】a＝﹣3，b＝﹣14．类型二、二元一次方程组的解法    2.解方程组【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有(x-y)，因此可以把(x-y)看作一个整体，消去(x-y)可得到一个关于y的一元一次方程．【答案与解析】 解：由①×9得：6(x-y)+9y＝45    ③    ②×4得：6(x-y)-10y＝-12        ④    ③-④得：19y＝57，    解得y＝3．    把y＝3代入①，得x＝6．所以原方程组的解是．【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果．举一反三：【变式】（2015•黄冈模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k的值． 【答案】解：由方程组得：∵此方程组的解也是方程2x+3y=6的解∴2×7k+3×（﹣2k）=6即k=．3.方程的整数解的个数是       ．【思路点拨】把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是1与0，于是一个方程裂变为多个方程组，通过解方程组来求解的个数．【答案】2组【解析】解：由条件得或 即 或即或或或，解得，或或或【总结升华】根据已知条件构造出方程组，再选择恰当方法求得方程组的解，然后再所求得出答案．举一反三：类型三、实际问题与二元一次方程组4.（2020•朝阳）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？阶梯电量电价一档0﹣180度0.6元/度二档181﹣400度二档电价三档401度及以上三档电价【答案与解析】解：设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度，根据题意得，，解得，答：二档电价是0.7元/度、三档电价是0.9元/度．【总结升华】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确列出方程组．举一反三：【变式】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下： 甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 【答案】解：（1） （元）答：乙班比甲班少付出49元．（2）设甲班第一次、第二次分别购买苹果、千克，则依据题意得：①当，，则有：，解得：，经检验满足题意；   ②当，，则有：    ，解得：，经检验不满足题意；③当，，则有：，不满足题意．答：甲班第一次购买苹果28千克，第二次购买42千克．类型四、二元一次方程（组）与一次函数5.在同一坐标系中画出函数y=2x+1和y=﹣2x+1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标即为方程组的解．6. 甲车以某一速度沿公路从A地匀速驶往B地，到达B地停留m小时后，立即以原速沿原路匀速返回A地，共用11小时．甲车出发一段时间后，乙车沿同一条公路以每小时120千米的速度从A地匀速驶往B地，甲车从A地出发9小时后，两车在距离A地160千米处相遇，甲车回到A地的同时乙车到达了B地．如图所示的折线是甲车离A地的距离y1（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．（1）求乙车离A地的距离y2（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并在同一坐标系中画出其函数图象；（2）求m的值．【思路点拨】（1）设y2=kx+b，根据题意可得当x=9时，y=160，当x=10时，y=160+120=280，然后利用待定系数法求一次函数解析式，再求出x=11时的y值，然后作出图形即可；（2）先求出甲车的速度，再求出甲车往返两地的时间，然后求解即可．【答案与解析】解：（1）设y2=kx+b（k≠0），当x=9时，y=160，∵乙车以120千米/小时的速度从A地匀速驶往B地，∴当x=10时，y=160+120=280，，解得，∴y2=120x﹣920，∵甲车回到A地的同时乙车到达了B地，∴当x=11时，y2=400．故点D（11，400）在函数图象上，函数图象见图； （2）由题意知，甲车的速度为160÷（11﹣9）=80km/h，往返共用400×2÷80=10h，所以m=11﹣10=1h．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法用二元一次方程组确定一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，从图中准确获取信息是解题的关键．类型五、三元一次方程组7.现有面值为2元、1元和5角的纸币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种面值各多少张？【思路点拨】此题有三个未知数：面值分别为2元、1元、5角的纸币的张数，相等关系：（1）面值为2元、1元和5角的纸币共24张；（2）24张纸币的币值共计29元；（3）面值为2元的比1元的少6张.【答案与解析】解：设面值为2元、1元和5角的纸币分别为张、张和.依题意，得把③分别代入①和②，得⑤×2，得，得，.把代入③，得.把代入①，得.所以方程组的解是答：面值为2元、1元和5角的纸币分别为7张、13张和4张.【总结升华】列方程时，单位要统一，如本题中的5角要化为元.举一反三：【变式】解方程组【答案】解：各方程去分母，整理得由①，得，④把④分别代入②、③并整理成方程组，得解这个方程组，得  将、值代入④求得.所以方程组的解是