北师大版数学八年级上册二元一次方程组解法（二）--加减法(提高)知识讲解 (含答案)

二元一次方程组解法（提高）知识讲解

【学习目标】

1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；

2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；

3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．

【要点梳理】

要点一、加减消元法解二元一次方程组

    两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

 (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；

(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．

要点二、选择适当的方法解二元一次方程组

    解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．

【典型例题】

类型一、加减法解二元一次方程组

1. （2020春•澧县期末）用加减消元法解方程组

【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.

【答案与解析】

解：此式可化为：

由(1)：3x+4y=18   (1)

由(2)：6x+5y=27   (2)

(1)×2：6x+8y=36  (3)

(3)－(2)：3y=9

        y=3

代入(1)：3x+12=18

           3x=6

            x=2

∴

【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元.

举一反三：

【变式】方程组的解为：          .

【答案】

2. （2020春•新乡期末）若关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解．

【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x+y，x-y看作一个整体，则两个方程同解．

【答案与解析】

 解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x+y)与(x-y)分别看成一个整体当作未知数，可得  解得：

【总结升华】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

举一反三：

【变式】三个同学对问题“若方程组的解是，

求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：          ．

【答案】

解：由方程组的解是，得，

上式可写成，与比较，

可得：．

类型二、用适当方法解二元一次方程组

3. 解方程组

【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.

【答案与解析】

解：设，则

原方程组可化为

解得

即 ，所以

解得

所以原方程组的解为．

【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.

举一反三：

【变式】

【答案】

解：去分母，整理化简得，，

②×3－①×2得，，即，

将代入①得，，即，

所以原方程组的解为.

4.  试求方程组的解．

【答案与解析】

解：

①－②，整理得   ③

∵，∴13－y≥0，即y≤13，

当时，③可化为，解得；

当时，③可化为，无解.

将代入②，得，解得.

综上可得，原方程组的解为：或.

【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.

举一反三：

【变式】（2020春•杭锦后旗校级期末）若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．

【答案】

解：方程组，

①×3+②得：11x=22，

解得：x=2，

将x=2代入①得：6﹣y=7，

解得：y=﹣1，

∴方程组的解为，

将代入y=kx+9得：k=﹣5，

则当k=﹣5时，（k+1）2=16．