北师大版数学八年级上册数据的分析——知识讲解 (含答案)
展开数据的分析——知识讲解
【学习目标】
1、了解加权平均数的意义和求法,会求一组数据的平均数,体会用样本平均数估计总体平均数的思想.
2、了解中位数和众数的意义,掌握它们的求法.进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征.
3、了解极差、方差和标准差的意义及求法,体会它们在刻画数据波动时的不同特征.体会用样本方差估计总体方差的思想,掌握分析数据的思想和方法.
4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动,经历数据处理的基本过程,体验统计与生活的联系,感受统计在生活和生产中的作用,养成用数据说话的习惯.
【要点梳理】
要点一、算术平均数和加权平均数
一般地,对于个数,我们把叫做这个数的算术平均数,简称平均数,记作.计算公式为.
要点诠释:
平均数表示一组数据的“平均水平”,反映了一组数据的集中趋势.
(1)当一组数据较大时,并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时,一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数,为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.
(2)平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系,其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
若个数的权分别是,则叫做这个数的加权平均数.
要点诠释:
(1)相同数据的个数叫做权,越大,表示的个数越多,“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
(2)加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式,是平均数的简便运算.
要点二、中位数和众数
1.中位数
一般地,n个数据按照大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
要点诠释:
(1)一组数据的中位数是唯一的;一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
(2)由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
要点诠释:
(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中;一组数据的众数可能不止一个.
(2)众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系:平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量,其中以平均数最为重要.
区别:平均数的大小与每一个数据都有关,任何一个数的波动都会引起平均数的波动,当一组数据中有个别数据太高或太低,用平均数来描述整体趋势则不合适,用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关,个别数据的波动对中位数没影响;众数主要研究各数据出现的频数,当一组数据中不少数据多次重复出现时,可用众数来描述.
要点四、极差、方差和标准差
1.极差
一组数据中最大数据与最小数据的差,称为极差,极差=最大数据-最小数据.
要点诠释:
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量,它受极端值的影响较大.一组数据极差越小,这组数据就越稳定.
2.方差
方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是:
,其中,是,,…的平均数.
要点诠释:
(1)方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.
(2)一组数据的每一个数都加上(或减去)同一个常数,所得的一组新数据的方差不变.
(3)一组数据的每一个数据都变为原来的倍,则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
3.标准差
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,用符号表示,即:
;标准差的数量单位与原数据一致.
4.极差、方差和标准差的联系与区别
联系:极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数.
区别:极差表示一组数据波动范围的大小,它受极端数据的影响较大;方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大,稳定性也越小;反之,则稳定性越好.所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差,在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
要点五、用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时,往往都是通过抽取样本,用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释:
(1)如果总体数量太多,或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性,都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
(2)用样本估计总体时,样本容量越大,样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要,又要考虑实现的可能性所付出的代价.
【典型例题】
类型一、平均数、中位数、众数
1、(2020•福州)若一组数据1,2,3,4,x的平均数与中位数相同,则实数x的值不可能是( )
A.0 B.2.5 C.3 D.5
【答案与解析】
解:(1)将这组数据从小到大的顺序排列为1,2,3,4,x,处于中间位置的数是3,
∴中位数是3,
平均数为(1+2+3+4+x)÷5,
∴3=(1+2+3+4+x)÷5,
解得x=5;符合排列顺序;
(2)将这组数据从小到大的顺序排列后1,2,3,x,4,中位数是3,
此时平均数是(1+2+3+4+x)÷5=3,
解得x=5,不符合排列顺序;
(3)将这组数据从小到大的顺序排列后1,x,2,3,4,中位数是2,
平均数(1+2+3+4+x)÷5=2,
解得x=0,不符合排列顺序;
(4)将这组数据从小到大的顺序排列后x,1,2,3,4,中位数是2,
平均数(1+2+3+4+x)÷5=2,
解得x=0,符合排列顺序;
(5)将这组数据从小到大的顺序排列后1,2,x,3,4,中位数,x,
平均数(1+2+3+4+x)÷5=x,
解得x=2.5,符合排列顺序;
∴x的值为0、2.5或5.
故选C.
【总结升华】考查了确定一组数据的中位数,涉及到分类讨论思想,较难,要明确中位数的值与大小排列顺序有关,一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而解答不完整.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求;如果是偶数个,则找中间两位数的平均数
举一反三:
【变式】若数据3.2,3.4,3.2,,3.9,3.7的中位数是3.5,则其众数是________,平均数是________.
【答案】3.2;3.5;
解:由题意,所以众数是3.2,平均数是3.5.
2、(2020•广州)某校为了提升初中学生学习数学的兴趣,培养学生的创新精神,举办“玩转数学”比赛,现有甲、乙、丙三个小组进入决赛,评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分,各项成绩均按百分制记录,甲、乙、丙三个小组各项得分如下表:
小组
| 研究报告
| 小组展示
| 答辩
|
甲
| 91
| 80
| 78
|
乙
| 81
| 74
| 85
|
丙
| 79
| 83
| 90
|
计算各小组的平均成绩,并从高分到低分确定小组的排名顺序:
如果按照研究报告占40%,小组展示占30%,答辩占30%,计算各小组的成绩,哪个小组的成绩最高?
【思路点拨】(1)运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩,比较得出结果;(2)将三人的成绩按比例求出测试成绩,比较得出结果.
【答案与解析】
解:(1)由题意可得,
甲组的平均成绩是:(分),
乙组的平均成绩是:(分),
丙组的平均成绩是:(分),
从高分到低分小组的排名顺序是:丙>甲>乙;
(2)由题意可得,
甲组的平均成绩是:(分),
乙组的平均成绩是:(分),
丙组的平均成绩是:(分),
由上可得,甲组的成绩最高.
答案:甲组的成绩最高
【总结升华】本题考查算术平均数、加权平均数、统计表,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
举一反三:
【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为:测验一得89分,测验二得78分,测验三得85分,期中考试得90分,期末考试得87分,如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分,那么小王该学期的总评成绩应该为多少?
【答案】
解:小王平时测试的平均成绩(分).
所以(分).
答:小王该学期的总评成绩应该为87.6分.
3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损).
已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分.
(1)求该班80分和90分的人数分别是多少?
(2)设此班30名学生成绩的众数为,中位数为,求的值.
【答案与解析】
解:(1)设该班得80分的有人,得90分的有人.
根据题意和平均数的定义,得
整理得 解得
即该班得80分的有8人,得90分的有5人.
(2)因为80分出现8次且出现次数最多.所以=80,第15、16两个数均为80分,所以=80,则=80+80=160.
【总结升华】本题为统计题,考查平均数、众数与中位数的意义.解题的关键是准确理解题意,建立等量关系.
举一反三:
【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导,对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计,并绘制了统计图表如图所示的统计图.
零花钱数额(元) | 5 | 10 | 15 | 20 |
学生个数(个) | 15 | 20 | 5 |
请根据图表中的信息,回答以下问题.
(1)求的值;
(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数.
【答案】
解:(1) =50-15-20-5=10.
(2)众数是15.
平均数为(5×10+10×15+15×20+20×5)=12.
类型二、极差、方差和标准差
4、(2020•徐州)某中学开展“唱红歌”比赛活动,九年级(1)、(2)班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示.
(1)根据图示填写下表;
班级 | 平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) |
九(1) |
| 85 |
|
九(2) | 85 |
| 100 |
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩较好;
(3)计算两班复赛成绩的方差.
【思路点拨】(1)观察图分别写出九(1)班和九(2)班5名选手的复赛成绩,然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可;
(2)在平均数相同的情况下,中位数高的成绩较好;
(3)根据方差公式计算即可:s2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2](可简单记忆为“等于差方的平均数”)
【答案与解析】解:(1)由图可知九(1)班5名选手的复赛成绩为:75、80、85、85、100,
九(2)班5名选手的复赛成绩为:70、100、100、75、80,
∴九(1)的平均数为(75+80+85+85+100)÷5=85,
九(1)的中位数为85,
九(1)的众数为85,
把九(2)的成绩按从小到大的顺序排列为:70、75、80、100、100,
∴九(2)班的中位数是80;
班级 | 平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) |
九(1) | 85 | 85 | 85 |
九(2) | 85 | 80 | 100 |
(2)九(1)班成绩好些.因为九(1)班的中位数高,所以九(1)班成绩好些.(回答合理即可给分)
(3),
【总结升华】本题考查了中位数、众数以及平均数的求法,同时也考查了方差公式,解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式.
举一反三:
【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次,数据如下(单位:分)
甲 | 95 | 82 | 88 | 81 | 93 | 79 | 84 | 78 |
乙 | 83 | 75 | 80 | 80 | 90 | 85 | 92 | 95 |
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数;
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由.
【答案】
解:(分),
(分).
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分.
(2)由(1)知分,所以
,
.
①从平均数看,甲、乙均为85分,平均水平相同;
②从中位数看,乙的中位数大于甲,乙的成绩好于甲;
③从方差来看,因为,,所以甲的成绩较稳定;
④从数据特点看,获得85分以上(含85分)的次数,甲有3次,而乙有4次,故乙的成绩好些;
⑤从数据的变化趋势看,乙后几次的成绩均高于甲,且呈上升趋势,因此乙更具潜力.
综上分析可知,甲的成绩虽然比乙稳定,但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析,乙具有明显优势,所以应派乙参赛更有望取得成绩.
类型三、统计思想
5、我国是世界上严重缺水的国家之一.为了倡导“节约用水从我做起”,小刚在他所在班的50名同学中,随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位:t),并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图.
(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数;
(2)根据样本数据,估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户.
【思路点拨】(1)根据条形统计图,即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量.再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解;(2)首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比,再进一步估计总体.
【答案与解析】
解:(1)观察条形图,可知这组样本数据的平均数是
.
∴这组样本数据的平均数为6.8.
∴在这组样本数据中,6.5出现了4次,出现的次数最多.
∴这组数据的众数是6.5.
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是6.5,有.
∴这组数据的中位数是6.5.
(2)∵10户中月均用水量不超过7t的有7户,有.
∴根据样本数据,可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户.
【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.掌握平均数、中位数和众数的计算方法.