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    北师大版数学八年级上册数据的分析——知识讲解 (含答案)
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    北师大版数学八年级上册数据的分析——知识讲解 (含答案)

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    这是一份北师大版数学八年级上册数据的分析——知识讲解 (含答案),共8页。

    数据的分析——知识讲解

    【学习目标】

    1、了解加权平均数的意义和求法,会求一组数据的平均数,体会用样本平均数估计总体平均数的思想.

    2、了解中位数和众数的意义,掌握它们的求法.进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征.

    3、了解极差、方差和标准差的意义求法,体会它们刻画数据波动的不同特征.体会用样本方差估计总体方差的思想,掌握分析数据的思想和方法.

    4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动,经历数据处理的基本过程,体验统计与生活的联系,感受统计在生活和生产中的作用,养成用数据说话的习惯.

    【要点梳理】

    要点一、算术平均数和加权平均数

    一般地,对于个数,我们把叫做这个数的算术平均数,简称平均数,记作.计算公式为.

    要点诠释:

    平均数表示一组数据的平均水平,反映了一组数据的集中趋势.

    (1)当一组数据较大时,并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时,一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数,为取定的接近这组数据的平均数的较的数.

    (2)平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系,其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

    个数的权分别是,则叫做这个数的加权平均数.

    要点诠释:

    (1)相同数据的个数叫做权,越大,表示的个数越多,就越重. 数据的权能够反映数据的相对重要程度.

    (2)加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式,是平均数的简便运算.

    要点二、中位数和众数

    1.中位数

    一般地,n个数据按照大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

    要点诠释:

    (1)一组数据的中位数是唯一的;一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

    (2)由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

    2.众数

    一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.

    要点诠释:

    (1)一组数据的众数一定出现在这组数据中;一组数据的众数可能不止一个.

    (2)众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

    要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

    联系:平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量,其中以平均数最为重要.

    区别:平均数的大小与每一个数据都有关,任何一个数的波动都会引起平均数的波动,当一组数据中有个别数据太高或太低,用平均数来描述整体趋势则不合适,用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关,个别数据的波动对中位数没影响;众数主要研究各数据出现的频数,当一组数据中不少数据多次重复出现时,可用众数来描述.

    要点四、极差、方差和标准差

    1.极差

    一组数据中最大数据与最小数据的差,称为极差,极差=最大数据-最小数据.

    要点诠释:

    极差是最简单的一种度量数据波动情况的量,它受极端值的影响较大.一组数据极差越小,这组数据就越稳定.

    2.方差

    方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是:

    ,其中,的平均数. 

    要点诠释:

    (1)方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.

    (2)一组数据的每一个数都加上(或减去)同一个常数,所得的一组新数据的方差不变.

    (3)一组数据的每一个数据都变为原来的倍,则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.

    3.标准差

    方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,用符号表示,即:

      ;标准差的数量单位与原数据一致.

    4.极差、方差和标准差的联系与区别

    联系:极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数.

    区别:极差表示一组数据波动范围的大小,它受极端数据的影响较大;方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大,稳定性也越小;反之,则稳定性越好.所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差,在考虑到这组数据的稳定性时用方差.

    要点五、用样本估计总体

    在考察总体的平均水平或方差时,往往都是通过抽取样本,用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.

    要点诠释:

    (1)如果总体数量太多,或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性,都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.

    (2)用样本估计总体时,样本容量越大,样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要,又要考虑实现的可能性所付出的代价.

    【典型例题】

    类型一、平均数、中位数、众数

    1、2020福州)若一组数据1234x的平均数与中位数相同,则实数x的值不可能是(  )

    A0    B2.5   C3    D5

    【答案与解析

    解:(1)将这组数据从小到大的顺序排列为1234x,处于中间位置的数是3

    中位数是3

    平均数为(1+2+3+4+x÷5

    3=1+2+3+4+x÷5

    解得x=5;符合排列顺序;

    2)将这组数据从小到大的顺序排列后123x4,中位数是3

    此时平均数是(1+2+3+4+x÷5=3

    解得x=5,不符合排列顺序;

    3)将这组数据从小到大的顺序排列后1x234,中位数是2

    平均数(1+2+3+4+x÷5=2

    解得x=0,不符合排列顺序;

    4)将这组数据从小到大的顺序排列后x1234,中位数是2

    平均数(1+2+3+4+x÷5=2

    解得x=0,符合排列顺序;

    5)将这组数据从小到大的顺序排列后12x34,中位数,x

    平均数(1+2+3+4+x÷5=x

    解得x=2.5,符合排列顺序;

    x的值为02.55

    故选C

    总结升华考查了确定一组数据的中位数,涉及到分类讨论思想,较难,要明确中位数的值与大小排列顺序有关,一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而解答不完整.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求;如果是偶数个,则找中间两位数的平均数

    举一反三:

     

    【变式】若数据3.2,3.4,3.2,,3.9,3.7的中位数是3.5,则其众数是________,平均数是________.

    【答案】3.2;3.5;

    解:由题意,所以众数是3.2,平均数是3.5.  

    2、2020广州)某校为了提升初中学生学习数学的兴趣,培养学生的创新精神,举办玩转数学比赛,现有甲、乙、丙三个小组进入决赛,评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分,各项成绩均按百分制记录,甲、乙、丙三个小组各项得分如下表:

    小组

     

    研究报告

     

    小组展示

     

    答辩

     

     

    91

     

    80

     

    78

     

     

    81

     

    74

     

    85

     

     

    79

     

    83

     

    90

     

    计算各小组的平均成绩,并从高分到低分确定小组的排名顺序:
    如果按照研究报告占40%,小组展示占30%,答辩占30%,计算各小组的成绩,哪个小组的成绩最高?

    【思路点拨】(1)运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩,比较得出结果;(2)将三人的成绩按比例求出测试成绩,比较得出结果.

    【答案与解析

    解:(1)由题意可得,
    甲组的平均成绩是:(分),
    乙组的平均成绩是:(分),
    丙组的平均成绩是:(分),
    从高分到低分小组的排名顺序是:丙>甲>乙;
    2)由题意可得,
    甲组的平均成绩是:(分),
    乙组的平均成绩是:(分),
    丙组的平均成绩是:(分),
    由上可得,甲组的成绩最高.

    答案:甲组的成绩最高
    总结升华本题考查算术平均数、加权平均数、统计表,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.

    举一反三:

     

    【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为:测验一得89分,测验二得78分,测验三得85分,期中考试得90分,期末考试得87分,如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分,那么小王该学期的总评成绩应该为多少?

    【答案】

    解:小王平时测试的平均成绩(分).

    所以(分).

    答:小王该学期的总评成绩应该为87.6分.

     

    3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损).

        已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分.

        (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?

        (2)设此班30名学生成绩的众数为,中位数为,求的值.

    【答案与解析

    解:(1)设该班得80分的有人,得90分的有人.

    根据题意和平均数的定义,得

    整理得  解得

        即该班得80分的有8人,得90分的有5人.

        (2)因为80分出现8次且出现次数最多.所以=80,第15、16两个数均为80分,所以=80,则=80+80=160.

    总结升华本题为统计题,考查平均数、众数与中位数的意义.解题的关键是准确理解题意,建立等量关系.

    举一反三:

    【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导,对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计,并绘制了统计图表如图所示的统计图.

    零花钱数额(元)

    5

    10

    15

    20

    学生个数(个)

    15

    20

    5

    请根据图表中的信息,回答以下问题.

        (1)求的值;

        (2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数.

    【答案】

    解:(1) =50-15-20-5=10.

    (2)众数是15.

    平均数为(5×10+10×15+15×20+20×5)=12.

    类型二、极差、方差和标准差

    4、2020徐州)某中学开展唱红歌比赛活动,九年级(1)、(2)班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示.

     

     

     

    1)根据图示填写下表;

    班级

    平均数(分)

    中位数(分)

    众数(分)

    九(1

     

    85

     

    九(2

    85

     

    100

    2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩较好;

    3)计算两班复赛成绩的方差.

    【思路点拨】1)观察图分别写出九(1)班和九(2)班5名选手的复赛成绩,然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可;

    2)在平均数相同的情况下,中位数高的成绩较好;

    3)根据方差公式计算即可:s2=[x12+x22++xn2](可简单记忆为等于差方的平均数

    【答案与解析解:(1)由图可知九(1)班5名选手的复赛成绩为:75808585100

    九(2)班5名选手的复赛成绩为:701001007580

    九(1)的平均数为(75+80+85+85+100÷5=85

    九(1)的中位数为85

    九(1)的众数为85

    把九(2)的成绩按从小到大的顺序排列为:707580100100

    九(2)班的中位数是80

    班级

    平均数(分)

    中位数(分)

    众数(分)

    九(1

    85

    85

    85

    九(2

    85

    80

    100

    2)九(1)班成绩好些.因为九(1)班的中位数高,所以九(1)班成绩好些.(回答合理即可给分)

    3

    总结升华本题考查了中位数、众数以及平均数的求法,同时也考查了方差公式,解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式.

    举一反三:

     

    【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次,数据如下(单位:分)

    95

    82

    88

    81

    93

    79

    84

    78

    83

    75

    80

    80

    90

    85

    92

    95

        (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数;

        (2)现要从中选派一人参加操作技能比赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由.

    【答案】

    解:(分),

        (分).

        甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分.

        (2)由(1)知分,所以

    从平均数看,甲、乙均为85分,平均水平相同;

    从中位数看,乙的中位数大于甲,乙的成绩好于甲;

    从方差来看,因为,所以甲的成绩较稳定;

    从数据特点看,获得85分以上(含85分)的次数,甲有3次,而乙有4次,故乙的成绩好些;

    从数据的变化趋势看,乙后几次的成绩均高于甲,且呈上升趋势,因此乙更具潜力.

    综上分析可知,甲的成绩虽然比乙稳定,但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析,乙具有明显优势,所以应派乙参赛更有望取得成绩.

    类型三、统计思想

    5、我国是世界上严重缺水的国家之一.为了倡导节约用水从我做起,小刚在他所在班的50名同学中,随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位:t),并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图.

        (1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数;

    (2)根据样本数据,估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户.

    【思路点拨】(1)根据条形统计图,即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量.再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解;(2)首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比,再进一步估计总体.

    【答案与解析

     解:(1)观察条形图,可知这组样本数据的平均数是

    这组样本数据的平均数为6.8.

    在这组样本数据中,6.5出现了4次,出现的次数最多.

    这组数据的众数是6.5.

    将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是6.5,有

           这组数据的中位数是6.5.

    (2)10户中月均用水量不超过7t的有7户,有

    根据样本数据,可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户.

    总结升华本题考查的是条形统计图的运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.掌握平均数、中位数和众数的计算方法.

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