北师大版八年级上册3 平行线的判定课后测评

命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解

【学习目标】

1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；

2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；

4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；

5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.

【要点梳理】

要点一、定义与命题

1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

要点诠释：

（1）定义实际上就是一种规定.

（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.

2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.

真命题：正确的命题叫做真命题.

假命题：不正确的命题叫做假命题.

要点诠释：

（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.

（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.

要点二、证明的必要性

要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.

要点三、公理与定理

1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.

要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.

2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.

要点诠释：

证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.

要点四、平行公理及平行线的判定定理

1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

2．平行线的判定定理

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

【典型例题】

类型一、定义与命题

1．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：

（1）在同一个三角形中，等角对等边；

（2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

（3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似.

【答案与解析】

解：（1）先把这个命题写成“如果……那么……”的形式：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

条件：同一个三角形中的两个角相等；结论：这两个角所对的两条边相等.它是真命题.

（2）原命题可以写成：如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.

条件：两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等；结论：这两个三角形全等.它是真命题.

（3）原命题可以写成：如果两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等，那么这两个三角形相似.

条件：两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等；结论：这两个三角形相似.

它是假命题，反例：如下图：

【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.

举一反三：

【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题的话，请指出是真命题还是假命题?

  (1)三角形的三条高交于一点；(2)解方程；   (3)1＋2≠3.

【答案】（2）不是命题；（1）（3）是命题，其中（1）是真命题，（3）是假命题.

【变式2】下列真命题的个数是 (   )

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.

（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．

A．1个    B .2个    C．3个    D．4个

【答案】B

类型二、公理、定理及证明

2．证明：对顶角相等.

【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.

【答案与解析】

已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠1和∠2是对顶角.

求证：∠1＝∠2.

证明：∵∠1和∠2是对顶角（已知），

∴OA与OB互为反向延长线（对顶角的意义）.

∴∠AOB是平角（平角的定义）.

同理，∠COD也是平角.

∴∠1和∠2都是∠AOC的补角（补角的定义）.

∴∠1＝∠2（等角的补角相等）.

【总结升华】“对顶角相等”是一个定理,而不是公理.

举一反三：

【变式】证明：相似三角形的周长比等于相似比．

【答案】

已知：如图，△ADE∽△ABC,   AE∶AC=k

求证：C△ADE :C△ABC＝k

证明：∵△ADE∽△ABC

      ∴AE:AC＝AD:AB＝DE:BC＝ k

      ∴(AE+AD+DE):(AC+AB+BC)＝k

      ∴C△ADE :C△ABC＝k

类型三、平行公理及平行线的判定

3.（2020春•无锡）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．

（1）如图①，α=　  　°时，BC∥DE；

（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：图②中α=　 　°时，　 　∥　 　；图③中α=　 　°时，　 　∥　　 ．

【思路点拨】（1）利用两直线平行同位角相等，并求得α=45°﹣30°=15°；

（2）利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可．

【答案与解析】解：（1）图①中α=15°时，BC∥DE，

∵BC∥DE，

∴∠1=∠B=60°，

∵∠1=∠D+∠α，∠D=45°，

∴∠α=15°

α=∠CAD﹣∠CAB=45°﹣30°=15°．

（2）图②中α=60°时，BC∥DA，

∵∠BAC=30°，∠α=60°，

∴∠DAC=90°=∠C，

∴∠DAC+∠C=180°，

∴BC∥DA；

图③中α=105°时，BC∥EA．

∵∠α=105°，∠DAE=45°，

∴∠EAB=60°，

∵∠B=60°，

∴∠EAB=∠B，

∴BC∥EA．

故答案为：（1）15；（2）60；BC；DA；105；BC；AE．

【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，并判断旋转角为多少度，难度不大，但易错．

举一反三：

【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(    ) ．

    A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

    B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

    C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

    D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

【答案】A

提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．

    图B显然不同向，因为路线不平行．

    图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．

    图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．

    只有图A路线平行且同向，故应选A．

4.（2020春•太仓市期末）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．

【思路点拨】根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．

【答案与解析】

  解：BE∥DF．理由如下：

∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC，

∴∠1+∠3=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°，

又∠1+∠AEB=90°，

∴∠3=∠AEB

∴BE∥DF

【总结升华】此题运用了四边形的内角和是360°、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能运用自如.

举一反三：

【变式1】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

【答案】

解：AB∥CD，理由如下：

    ∵  BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，

    ∴  ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．

    又∵  ∠1+∠2＝90°，

    ∴  ∠ABD+∠CDB＝180°．

    ∴  AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．

【变式2】（2015•长春一模）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°．若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（　　 ）

A．70° B．50° C．30° D．20°

【答案】

解：∵b⊥c，

∴∠2=90°．

∵∠1=70°，a∥b，

∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°﹣70°=20°．

故选D．