2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第二章 函数2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）知识梳理一 函数的周期性函数满足定义域内的任一实数(其中为常数)(1)，则是以为周期的周期函数； (2), 则是以为周期的周期函数；  (3)，则是以为周期的周期函数；(4)，则是以为周期的周期函数； 二 函数的对称性轴对称：若‎         则f(x)关于对称.中心对称：若  则f(x)关于(，m) 对称.三 由对称性推周期性(1) 函数满足（），①若为奇函数，则函数周期为，②若为偶函数，则函数周期为.(2) 函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为最小正周期的周期函数；(3) 函数的图象关于两点,都对称，则函数是以为最小正周期的周期函数；(4) 函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为最小正周期的周期函数；题型战法题型战法一 周期性与对称性的判断典例1．下列函数是周期函数的有（       ）①       ②       ③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【解析】【分析】根据三角函数和二次函数的性质可得.【详解】易得和是周期函数，不是周期函数.故选：C.变式1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用函数性质判断即可.【详解】选项A中不是周期函数,故排除A;选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;故选:C.【点睛】本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题.变式1-2．函数与的图象（       ）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】B【解析】【分析】设点在函数图象上，证明关于轴对称的点在函数的图象上.【详解】解：设点在函数图象上，则，则关于轴对称的点满足，所以点在函数的图象上.故选：B变式1-3．函数的图像（       ）A．关于直线对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于轴对称【答案】B【解析】【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数为偶函数，进而判断对称性.【详解】解：因为，易知为偶函数，所以函数的图象关于轴对称.故选：B.变式1-4．函数的图象关于（       ）对称.A．直线 B．原点 C．轴 D．轴【答案】B【解析】根据函数的奇偶性判断.【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选：B 题型战法二 由函数周期性求函数值典例2．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（       ）A．1 B．-1 C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解.【详解】∵为上的偶函数，∴，又当时，，∴，当时，，∴.故选：A.变式2-1．定义在R上的函数满足，当时，，则（     ）A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】由可知，函数的周期为2，利用周期性把所给的自变量转化到区间上，代入求值即可.【详解】由可知，函数的周期为2，当时，，∴.故选：B变式2-2．已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（       ）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】由可得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可得，然后由已知的解析式可求得答案【详解】∵函数是上的偶函数，∴，又∵对于都有，∴，∵当时，，∴，故选：C.变式2-3．已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求得的周期，结合奇偶性求得的值.【详解】依题意对，有成立，令，则，所以，故，所以是周期为的周期函数，故.故选：C变式2-4．已知函数是定义在上的奇函数，（1），且，则的值为（       ）A．0 B． C．2 D．5【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得，即函数是周期为8的周期函数，则有，（1），由奇函数的性质求出与（1）的值，相加即可得答案.【详解】解：根据题意，函数满足，则有，即函数是周期为8的周期函数，函数是定义在上的奇函数，则，(4)，(5)（1），则（1），故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题. 题型战法三 由函数对称性求函数值典例3．如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为（       ）A．2 B．3 C．4 D．－1【答案】C【解析】根据，可知：关于对称，根据对称性，要求函数在上的最大值与最小值之和，即求函数在上的最大值与最小值之和，代入即可得解.【详解】根据，可知：关于对称，那么要求函数在上的最大值与最小值之和，即求函数在上的最大值与最小值之和，因为递增，所以最小值与最大值分别为：，，，故答案为：C.【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了转化思想，计算量较小，思路要求较高，属于中档题.变式3-1．已知，若，则（       ）A．－14 B．14 C．6 D．10【答案】A【解析】【分析】先计算，再代入数值得结果.【详解】,又，所以故选A【点睛】本题考查函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.变式3-2．已知函数的图象与指数函数的图象关于轴对称，则实数的值是A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【解析】【分析】指数函数关于轴对称的函数为，由此得到与的关系，即可求解出的值.【详解】因为两函数的图象关于轴对称，所以与互为倒数，所以，解得．故选C.【点睛】本题考查指数函数图象对称与底数之间关系，难度较易.关于轴对称的指数函数的底数互为倒数.变式3-3．设函数的图象关于直线对称，则的值为A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为函数的图象关于直线对称，所以点与点，关于直线对称，，故选D.考点： 函数的图象与性质.变式3-4．已知函数的图象关于直线对称，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先由对称性求得，再将代入函数解析式即可求得答案.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，则．故选：B 题型战法四 由周期性与对称性求函数解析式典例4．设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知时，，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合时，，可得答案．【详解】解：∵是定义在R上的周期为2的偶函数，时，， ∴时， ，， 此时， 时， ，， 此时， 综上可得：时， 故选：C．【点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．变式4-1．已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，根据时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式．【详解】令，则，∵当时，有，∴f（x+2）＝2x+2，∵f（x+2）＝f（x），∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，．故选：C．【点睛】本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题．变式4-2．已知是定义在上周期为2的函数，当时，，那么当时（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用周期函数的定义求解即可.【详解】设,则,由题意知,,因为函数是定义在上周期为2的函数,所以,即.故选: C【点睛】本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.变式4-3．若函数与的图象关于直线对称，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先设出函数图像上任意点的坐标，再求出关于直线对称的点，代入函数的解析式即可求解．【详解】解：设函数图像上的点为，关于直线对称的点为，将点代入函数的解析式可得：，故，故选：D．变式4-4．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设所求函数图象上任意一点为，由其关于直线的对称点在函数的图象上可解得结果.【详解】设所求函数图象上任意一点为，则其关于直线的对称点在函数的图象上，所以.故选：B. 题型战法五 由周期性与对称性比较大小典例5．定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由，得到是周期为4的周期函数，得到，，结合在上单调递增，得到，即可求解.【详解】由题意，函数满足，即函数是周期为4的周期函数，则，又由函数在区间上单调递增，可得，即，所以.故选：D.变式5-1．已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，，的大小关系是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据已知等式判断出函数的周期性，再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可.【详解】，由此可知函数的周期为4，函数是奇函数，，所以有：，，因为在区间是减函数，，所以，即，故选：B变式5-2．已知函数的定义域为 R，且满足下列三个条件： ①对任意的 ，且 ，都有 ；② ；③ 是偶函数；若，，则的大小关系正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知条件可知在上单调递增，周期为，对称轴为.则，，，再结合函数的单调性即可判断大小.【详解】解：由①知，在上单调递增；由②知，的周期为；由③知，的对称轴为；则，，，因为，由函数的单调性可知，.故选:D.【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的周期，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质.变式5-3．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由①②可得函数是周期为4的函数，且是奇函数，由③可得函数在上单调递增，进而可得函数在上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解.【详解】解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，所以，所以函数的图象关于对称，又，所以，即，因为，所以函数是周期为4的函数，所以，，，因为，且，所以，所以函数为奇函数，又因为对任意的，，，都有成立，即，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为，所以，故选：B.变式5-4．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据单调性的定义可得在上单调递增，根据已知条件可得是周期为的奇函数，根据周期性和单调性即可求解.【详解】由可得的周期为，因为为奇函数，所以为奇函数，因为时，，所以在上单调递增，因为为奇函数，所以在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，，所以，即.故选：C. 题型战法六 由抽象函数周期性与对称性求函数值典例6．已知是定义域为R的偶函数，，，.若是偶函数，则（       ）A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】根据得到关于对称，得到，结合和为偶函数即可得周期为4，进而即得.【详解】因为为偶函数，则关于对称，即.即，即，也满足.又是定义域为R偶函数，关于y轴对称，∴，，∴周期为4，∴，∴.故选：D.变式6-1．已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先利用赋值法求出，代入等式赋值得到，即对称轴为，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到，则可求出结果.【详解】因为对任意，都有 令 得 解得 则 即 所以函数的图象关于直线对称.又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以 所以 所以8是函数的一个周期，所以 故选：D.变式6-2．若定义在实数集R上的偶函数满足，，对任意的恒成立，则（       ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】根据题干条件得到为周期函数，最小正周期为4，进而得到，利用是偶函数得到，进而得到，结合，得到.【详解】，则，所以，即，为周期函数，最小正周期为4，则，令得：，即，又因为为偶函数，所以，故，即，因为，所以.故选：D变式6-3．已知定义在上的函数，满足，，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是奇函数，进而推导的周期，然后求出函数值即可.【详解】,,是奇函数，,.,,由,，的周期为...故选：C变式6-4．函数定义域为R，且，若函数的图象关于对称，且，则=（       ）A．3 B．-3 C．6 D．-6【答案】A【解析】【分析】由题设可知为偶函数且，即可得，易知是周期为4的函数，利用周期性求即可.【详解】∵的图象关于对称，∴关于轴对称，即为偶函数，又，即，而，∴，故，∴是周期为4的函数，综上，.故选：A