3.2.2导数的应用-单调性、极值、最值（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第三章 导数
3.2.2导数的应用-单调性、极值、最值（针对练习）
针对练习
针对练习一 利用导数求函数的单调区间
1．函数的单调减区间是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可解得结果.
【详解】
,
由，得，
所以的单调递减区间为.
故选：B
2．函数的单调递减区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对求导，令 解 的取值范围即为的单调递减区间
【详解】
，
令 ，即 ，解得
的单调递减区间为
故选：A
3．函数的单调递减区间是（       ）
A． B．
C． D．（0，1）
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数求函数的单调递减区间即得解.
【详解】
解：由题意可得，且函数的定义域为（0，+∞）．
由，得，即的单调递减区间是．
故选：B
4．函数的单调递增区间是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的性质进行求解即可.
【详解】
由，或，
故选：A
5．函数的单调递减区间是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求导求单调性即可求解.
【详解】
，令，解得，
所以函数在区间上单调递减.
故选：C.

针对练习二 由函数的单调性求参数
6．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设可得f'x≥0在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.
【详解】
，
因为在上为单调递增函数，故f'x≥0在上恒成立，
所以即，
故选：A.
7．若函数在区间（－∞，2上是减函数，则实数的取值范围是
A．－，+∞） B．（－∞，－ C．，+∞） D．（－∞，
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：二次函数对称轴为，由在区间（－∞，2上是减函数得
考点：二次函数单调性
8．函数在上是减函数，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得在恒成立，进而有，结合指数函数的单调性即可得出结果.
【详解】
由题意知，
在恒成立，
得，
又函数在上单调递减，
所以，
.
故选：D．
9．已知在上递增，则实数的范围是（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
转化为导函数在给定区间上大于等于0恒成立，然后利用不等式恒成立的意义和二次函数的性质得解.
【详解】
由已知可得在上满足，即在上恒成立，
由于在上的最小值为时取得，最小值为3，
，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数判定函数的单调性问题，属基础题，关键是将函数的单调性问题转化为导数在给定区间上大于等于0恒成立问题.
10．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得导函数，根据函数单调性与导数的关系得到,对于上恒成立，利用正弦函数的性质得到的取值范围.
【详解】
解：由已知得，即,对于上恒成立，
∴，
故选：D.
【点睛】
本题考查导数与函数的单调性的关系，涉及三角函数的性质，不等式恒成立问题，属基础题.

针对练习三 含参的单调性讨论（一根型）
11．已知函数，求函数的单调区间；
【答案】答案见解析．
【解析】
【分析】
求导后，对分类讨论，根据导数的符号可得结果；
【详解】
，
当时，在R上单调递减；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，的增区间为；
当时，的增区间为，减区间为.
12．已知函数，求函数的单调区间；
【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
【解析】
【分析】
首先求出函数的导函数，分与利用与求得的单调区间；
【详解】
解：因为，所以
当时，函数，在上单调递增；当时，，
令，得，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
综上可得当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
13．已知函数，求的单调区间；
【答案】答案见解析.
【解析】
求得函数的导数，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；
【详解】
由题意，函数，可得，
若，由，可得；由，可得，
所以的递减区间为，递增区间为；
若，由，可得；由，可得，
所以的递减区间为，递增区间为.
14．设，函数，求函数单调区间.
【答案】当，单调递增区间为；当，单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
对参数分类讨论，分别求出函数的单调性；
【详解】
解：因为，所以函数的定义域为
.
若，则，是在区间上的增函数，
若，令得：.
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.
15．已知函数fx=x+alnx,a∈R，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析.
【解析】
利用导数求函数的单调性即可；
【详解】
定义域为0,+∞，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，；当时，
即在上单调递减，在上单调递增.

针对练习四 含参的单调性讨论（二根型）
16．已知函数，求函数的单调区间
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
求得，通分分解因式，对参数进行分类讨论，利用导数研究不同情况下函数的单调性即可.
【详解】
函数的定义域为．
．
若，．所以函数的单调递增区间为；
若，令，解得，．
当时，，的变化情况如下表









单调递增
极大值
单调递减
函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，，的变化情况如下表









单调递增
极大值
单调递减
函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
综上所述：，的单调递增区间为；，单调递增区间是，
单调递减区间是；，单调递增区间是，单调递减区间是

【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，属基础题.
17．已知函数，讨论函数的单调区间.
【答案】当时，函数的增区间是（0,1），减区间是；当时，函数的增区间是和，减区间是；当时，函数增区间是，没有减区间；当时，函数的增区间是（0,1）和，减区间是.
【解析】
【分析】
求导，根据参数对导数正负的影响对参数进行分类讨论，求得对应的单调性和单调区间.
【详解】
，

①当时，，由，得，
则函数的增区间是（0,1），减区间是；
②当时，由，得，
再讨论两根的大小关系；
⒈当时，，由，得或者，
则函数的增区间是和，减区间是；
⒉当时，，
则函数的增区间是，没有减区间；
⒊当时，，由，得或者，
则函数的增区间是（0,1）和，减区间是；
综上，当时，函数的增区间是（0,1），减区间是；
当时，函数的增区间是和，减区间是；
当时，函数增区间是，没有减区间；
当时，函数的增区间是（0,1）和，减区间是.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，属导数基础题.
18．讨论函数的单调区间．
【答案】 当时，在单调递增；
当时， 在单调递减；
当时， 在上单调递减，在单调递增．
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，然后对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论.
【详解】
解：的定义域为，
，
当时，即时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得，
当时，；
时，，
故在上单调递减，在单调递增．
综上所述： 当时，在单调递增；
当时， 在单调递减；
当时， 在上单调递减，在单调递增．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，考查分类讨论思想，是一道中档题．
19．已知：函数，求的单调区间;
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
对函数求导，分情况讨论导函数的正负进而确定单调性；
【详解】
的定义域为，

当时，则当时恒成立
令，则
∴在上单调递减，在上单调递增
当时，则当时恒成立
令，则
∴在上单调递减，在上单调递增
综上所述：
当时， 为单调递减区间， 为单调递增区间
当时， 为单调递减区间在为单调递增区间
20．已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
求得，通分后对参数进行分类讨论，利用导数研究不同情况下对应函数的单调性即可.
【详解】
的定义域为，
，
对于，，
当时，，则在上是增函数.
当时，对于，有，则在上是增函数.
当时，
令，得或，
令，得，
所以在，上是增函数，
在上是减函数.
综上，当时，在上是增函数；
当时，在，上是增函数，
在上是减函数.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，属基础题.


针对练习五 求函数的极值点、极值
21．函数的极小值点是（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用极值点的定义求解.
【详解】
解：由题意得：∵，
∴，
令，则，
当时，，函数单调递增
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增
故是函数的极小值点.
故选：A
22．函数在区间上的极小值点是（       ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数研究的区间单调性，进而确定极小值点.
【详解】
由题设，
所以在上，递减，
在上，递增，
所以极小值点为.
故选：B
23．已知函数，则该函数的极小值为（       ）
A． B．3 C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的极小值的定义求解.
【详解】
解：由题意得，
令，得或－1，
当或时，，当时，，
所以，
所以极小值为e．
故选：A．
24．函数，有（       ）
A．极大值25，极小值 B．极大值25，极小值
C．极大值25，无极小值 D．极小值，无极大值
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数直接求函数的极值即可
【详解】
由，得，
令，则，解得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得极小值，无极大值，
极小值为，
故选：D
25．函数的极大值与极小值之和为（       ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出导函数，确定单调性与极值，计算极大值与极小值的和．
【详解】
根据题意，今，∴或1，当或时，，当时，，
所以极小值，极大值，所以极大值与极小值之和为.
故选：D．

针对练习六 由函数的极值点、极值求参数
26．若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先对命题进行转化，化归为有大于零的零点，然后求解.
【详解】
原命题等价于有大于零的零点，显然在上单调递增，又因为时，，所以，所以
故选：A.
27．已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知，可解出，再求出另外一个极值点即可．
【详解】
，由题意有，解得，所以，令，解得或，所以函数的另一个极值点为．
故选：A．
28．若是函数的一个极值点，则的极大值为（       ）
A． B． C．5 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用极值点定义求出参数，再判断出函数的单调性、极大值点，进而求出极大值.
【详解】
因为，所以，
所以，.
令，解得或，
所以当单调递增；
当时，单调递减；
当单调递增，
所以的极大值为.
故选：C.
29．函数在处有极大值，则的值等于（       ）
A．0 B．6 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
求导，根据列方程组求解可得.
【详解】

因为在处有极大值，
所以，解得
所以
故选：A
30．已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（     ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设知有两个变号零点，结合判别式的符号求m的范围即可.
【详解】
由，又有极大值、极小值，
所以有两个变号零点，则，
整理得，可得或.
故选：B

针对练习七 求函数的最值
31．函数的最大值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；
【详解】
解：因为，所以，
令可得，令可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，即最大值，所以．
故选：C．
32．已知函数，则的（        ）
A．最大值为3 B．最小值为3
C．最大值为-1 D．最小值为-1
【答案】C
【解析】
【分析】
求导，根据函数的单调性即可求解.
【详解】
， ，
，
令 ，当 时， ，是增函数，
当 时， ，是减函数，
∴在x=-1处， 取得最大值= ；
故选：C.
33．函数在区间上的最大、最小值分别为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数得到函数的单调性，根据单调性即得最值.
【详解】
由题意，，，
，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
.
故选：C
34．已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出函数的导函数，根据代入求出的值，即可得到函数解析式，从而求出函数的导函数，得到函数的单调区间与极值，再计算出区间端点函数值，即可得解；
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
令，则或，
当或时，，即函数在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，，
故函数在区间上的最大值为，
故选：A．
35．已知函数，，则函数的最大值是（       ）
A． B． C．-1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接求导确定函数的单调性，进而求出最大值.
【详解】
依题意函数，，则函数在上递增，在上递减．
因此在上，．
故选：B．

针对练习八 由函数的最值求参数
36．若函数在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（       ）
A．-5 B．7 C．10 D．-19
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数判断函数的单调性，根据最值，即可求得，再求函数在该区间的最小值.
【详解】
，，
当时，，函数单调递减，
所以函数的最大值是，得，
函数的最小值是.
故选：A
37．已知函数存在最大值0，则a的值为（       ）
A．1 B．2 C．e D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求导，再分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可求出.
【详解】
，
当时，恒成立，故函数单调递增，不存在最大值；
当时，令， 得出，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，解得：.
故选：D
【点睛】
本题考查利用导数求解单调区间与最值，考查分类讨论的思想.
38．函数在上的最大值为4，则的值为（       ）
A．7 B． C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
本题先求导函数，并运用导函数判断原函数的单调性，最后求函数的最大值并令其等于4，建立方程求参数即可.
【详解】
解：∵，∴
∴ 导数在时，，单调递减；
导数在时，，单调递增；
∵ ，，
∴在处取得最大值为，即，
故选：D.
【点睛】
本题考查运用导函数求原函数的最值以及求参数，是基础题.
39．已知函数在区间上的最大值为0，则实数的取值范围为 （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求导得到，得到函数的单调区间，根据，可知，计算得到答案.
【详解】
由，
可知函数的增区间为，减区间为，
又由，可知，得.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据函数的最值求参数，确定函数的单调性是解题的关键.
40．若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
对函数进行求导，求出函数的单调区间，结合已知条件进行求解即可.
【详解】
，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递减，因此函数的极小值为：
或
要想函数区间上有最小值，则有：
.
故选：A
【点睛】
本题考查了函数在区间有最小值求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.