7.3.1空间向量在立体几何中的应用（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第七章 空间向量与立体几何
7.3.1空间向量在立体几何中的应用（题型战法）
知识梳理
一 空间向量的线性运算与坐标运算
1.空间向量的线性运算
包含向量的加减运算，数乘，用基地表示向量等。
2.空间向量的坐标运算
一般地，A=(x1，y1，z1)，B=(x2，y2，z2).那么AB=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)
空间向量a，b，其坐标形式为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)
减法
a-b
a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)
数乘
λa
λa=(λx1，λy1，λz1)
数量积
a·b
a·b=x1x2+y1y2+z1z2
特别地，（1）如果μ，v是两个实数，那么μa+vb=(μx1+vx2，μy1+vy2，μz1+vz2).
（2）|a|=.
（3）cos=(a≠0，b≠0).
3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，
则有a∥b⇔(其中x1y1z1≠0)；
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.

4.空间向量共面定理
（1）如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c=xa+yb.
（2）ABCD四点共面,O为面外的一点：OD=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1
二 空间向量的夹角与距离问题
1.线线角的求法
设直线AB、CD对应的方向向量分别为AB,CD，则直线AB与CD所成的角为。
cosθ=cosAB,CD。
注意：线线角的范围
2.线面角的求法
设n是平面的法向量，是直线的方向向量，直线与平面所成角为。
sinθ=cosAB,n。
注意：线面角的范围
3.二面角的求法
设分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小。

注意：二面角的范围
4.距离的求法
设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，，n是平面的法向量。则点A到平面的距离：
d=AB,nn。


题型战法
题型战法一 空间向量的线性运算
典例1．如图所示，在三棱锥中，设，，，若，，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接OM，ON，利用向量的线性运算可求的表示形式，从而可得正确的选项.
【详解】连接OM，ON，

则


．
故选：A．
变式1-1．如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：A
变式1-2．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（          ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.
故选：A．
变式1-3．如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解.
【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，
所以，
故选：D.
变式1-4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算求解．
【详解】由题意

，又，，，
∴,
故选：B．

题型战法二 空间向量的坐标运算
典例2．已知向量，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的数乘以及减法运算，即可求得答案.
【详解】,
故选:D．
变式2-1．已知 ，且 ，则（          ）
A． B．
C． D．x=1，y=-1
【答案】B
【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答.
【详解】向量，则，，
因，于是得，解得，
所以.
故选：B
变式2-2．已知向量a=1,1,0，b=-1,0,2，且与互相垂直，则的值是（       ）
A．－1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出与的坐标，再由与互相垂直，可得，从而可求出的值.
【详解】因为a=1,1,0，b=-1,0,2，
所以，，
因为与互相垂直，
所以，解得，
故选：D
变式2-3．已知，，则（       ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.
【详解】解：，，
.
故选：B.
变式2-4．设、，向量，，且，，则（          ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.

题型战法三 空间向量共面定理
典例3．已知空间向量，若共面，则(       )
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据共面向量，得到对应关系，求出的值即可．
【详解】若、、共面，则，
即，1，，，，
故，故，
故选：B．
变式3-1．已知a=2，-1，3，b=-1，4，-2，c=1，3，λ，若向量a，b，c共面，则实数等于（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由向量a，b，c共面，建立方程组，即可求解.
【详解】向量a，b，c共面，则，（）.
则有，
所以
解得：x=1，y=1，=1.
故选：A
变式3-2．已知A，，三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与A，，一定共面的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共面定理的推论判断的系数之和是否等于1，即可得出答案.
【详解】解：对于A，因为，所以此条件不能保证点与A，，共面；
对于B，因为，所以此条件能保证点与A，，共面；
对于C，因为，所以此条件不能保证点与A，，共面；
对于D，因为，所以此条件不能保证点与A，，共面.
故选：B．
变式3-3．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据四点共面结论：若四点共面，则且，
【详解】若，，，四点共面，则，则
故选：D．
变式3-4．若空间四点､､､共面且则的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【分析】化简可得，由四点共面可知系数和，计算即可得解.
【详解】依题意，
由四点共面,则系数和，则.
故选：D

题型战法四 线线角的向量求法
典例4．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，，，点P在棱DF上．

(1)求证：；
(2)若点P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平面平面ABCD证平面ABEF，再证即可；
（2）证明，，两两垂直，即可以此建立空间直角坐标系A-xyz，即可用求所需余弦值
（1）
因为平面平面ABCD，交线为AB，，所以平面ABEF．又平面ABEF，所以．
（2）
因为，所以，又平面ABEF，由（1）得，因为四边形ABCD为矩形，所以，
所以以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，
则，，，，所以，，
所以，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．

变式4-1．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点．

(1)求证平面；
(2)若E为的中点，求AE与所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】由已知，可建立空间直角坐标系，设出平面的法向量为，并求解，然后通
过计算，即可证明平面；
（2）由第（1）问建立起的空间直角坐标系，分别表示出和，然后计算夹角即可.
（1）
∵在三棱柱，平面ABC，∴平面ABC，∴，又∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，故AB，BC，两两垂直，如图，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系B－xyz．

设，则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得．
∵，
∴，又平面，则平面.
得证.
（2）
若为的中点，则，
，
，
由，可得，
则AE与所成的角为．
变式4-2．如图，正四棱锥中，，，为棱上的动点．

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)若满足，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出两条直线的方向向量的坐标，利用向量的夹角公式即可求解.
（1）
连接交于点,连接,因为四棱锥为正四棱锥，
所以四边形为正方形，所以为的中点，因为为棱的中点，所以,因为平面，平面，
所以平面.
（2）
因为四棱锥为正四棱锥,所以为顶点在底面的射影，
所以平面，且,,
故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

因为，，则
,
因为上的点满足，所以,
设，则，所以
所以，
所以
设异面直线与所成角为，则
.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
变式4-3．如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.


(1)求证：平面；
(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.
【答案】(1)证明见解析
(2)点应在线段的中点处
【分析】（1）设，连接，通过证明即可得出；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系可求出.
（1）
设，连接，因为是正方形，所以是中点，
又因为是矩形，是线段的中点，所以,,
所以四边形为平行四边形，所以,
因为平面，平面，所以平面；
（2）
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
依题意设，
则，，
因为，，，
与所成角是，
所以，即，
化简得，解得或（不合题意舍去），
从而，因此点应在线段的中点处．

变式4-4．如图，直三棱柱中，底面边长为.

(1)若侧棱长为1，求证：；
(2)若与所成角的大小为，求侧棱的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）利用空间向量法证明；
（2）利用空间向量的夹角公式求解.
（1）
解：因为，.
又平面ABC，
所以，.
又为正三角形，
所以.
因为，
，
所以；
（2）
结合（1）知，
又.
所以，
得，即侧棱长为2.

题型战法五 线面角的向量求法
典例5．用文具盒中的两块直角三角板（直角三角形和直角三角形）绕着公共斜边翻折成的二面角，如图和，，，，，将翻折到，使二面角成，为边上的点，且．

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取BC中点F，连接，可证明平面，再由线面垂直的性质即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
（1）
取BC中点F，连接，如图，

由已知知；又，则，
，
，，即，
又，平面，
平面，.
（2）
以F为坐标原点建系如图，
则，
故，，，
设平面的法向量，则
令，则，即，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
变式5-1．在如图所示的几何体中，面，面，，，为的中点．

(1)证明：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）构建空间直角坐标系，设并确定相关点坐标，进而可得、的坐标，应用向量数量积的坐标表示求得，即可证结论.
（2）由（1）求直线、平面的方向向量、法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
（1）
由面，面，则，
又，则，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则．
依题意，，，，，
，，则，
，即．
（2）
由（1）知：，，，
设面的法向量为，则，取，
设直线和平面所成角为，则．
因此直线和平面所成角的正弦值为.
变式5-2．如图，三棱柱中，平面平面，过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点.

(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由棱柱的性质有，根据线面平行的判定可得面，再由线面平行的性质证结论.
（2）构建空间直角坐标系，求的方向向量和面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
（1）
在三棱柱中，面，面，
所以面，又过的平面面，
所以.
（2）
面面面面 面，
所以面面则，
过作面，则可构建为原点，为轴的空间直角坐标系，
又，且，
所以，，，，
则，，，
若为面的法向量，则，令，
即，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.

变式5-3．如图，平面ABCD，，，四边形ABCD为菱形.

(1)证明：平面EBD；
(2)若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）设交于点，连接，根据线面垂直的性质可得，，证明，从而可得，进而可证，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法结合线AB与平面EBD所成角的正弦值求出，再利用向量法求出点到平面的距离，再根据棱锥的体积公式即可得解.
（1）
证明：设交于点，连接，
因为，所以四点共面，
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
因为平面ABCD，
所以，，
又四边形ABCD为菱形，
所以，，
因为，所以平面ACFE,所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
又平面EBD，
所以平面EBD；
（2）
解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，，
由（1）知是平面的一个法向量，
则，解得，
则，
则点到平面的距离，
又，则，
所以三棱锥的体积为.

变式5-4．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）证明出，.利用向量法求解；（3）利用向量法求解.
（1）
连接FG.

在△中，F、G分别为的中点，所以.
又因为平面, 平面，所以平面.
（2）
因为平面,平面，所以.
又，所以.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.

则,.,.
设平面SCD的一个法向量为.
则，即，
令,得.
所以平面SCD的一个法向量为.
又平面ESD的一个法向量为.
所以
由图形可知,二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
（3）
假设存在点H,设,则.
由（2）知,平面的一个法向量为.则，
即,所以.
故存在满足题意的点H,此时.

题型战法六 二面角的向量求法
典例6．在三棱柱中，平面平面，三角形是等边三角形，，．

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）由，，，得到，再利用面面垂直的性质定理和判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，由求解.
（1）
证明：因为，，，
所以，
则，即，
所以，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）
建立如图所示空间直角坐标系：

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以，
所以，
即二面角的正弦值为.
变式6-1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，M为PC中点．

(1)求证：PA∥平面MBD；
(2)若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质，可得答案；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求的两平面的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.
（1）
连接AC交BD于点O，连接OM，可知O为AC中点，M为PC中点，所以OM∥PA，
且平面，平面，所以PA∥平面MBD.

（2）
由题意可得平行四边形ABCD为菱形，建立如图坐标系，如下图：

在菱形ABCD，AB=AD= 2，∠BAD=120°，，
所以：，
所以，，，，
设平面MBA的法向量，则，得，
令，则则面MBA的法向量，
同理可得：平面MDA的法向量，
所以，所以
故二面角的正弦值为.
变式6-2．如图，在四棱锥中，为等腰梯形，，，，，．

(1)证明：平面；
(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)​
【分析】（1）先证明平面，从而证明，再证明，根据线面垂直的判定定理即可证明结论.
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PBC,PAD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
（1）
证明：在等腰梯形中，,,
由余弦定理可得,
所以,所以．
又，且平面,
所以平面,平面,
故而．
又，即,
所以,又平面,
所以平面．
（2）
由（1）可知，两两垂直，故以D为坐标原点以DA,DB,DP为x,y,z轴建立如图的空间直角坐标系，

故而．
由题意可知 ,故为等腰三角形，
且．
所以．
所以，
设为平面的一个法向量，则,
即,令．
所以，即,
由于平面．所以为平面的一个法向量．
设平面和平面所成锐二面角为,
所以,
所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为．
变式6-3．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．

(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；
(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离.
（2）设，求得点坐标，利用二面角的余弦值列方程，求得，进而求得.
（1）
∵，，∴．
如下图所示，连接，则,
所以，
所以，
结合折叠前后图形的关系可知，故四边形为正方形，
∴，即为的中点，∴，∴．
∵侧面底面，侧面底面，
∴平面，
易知，，两两垂直．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，
则，取，得，，
则为平面的一个法向量，
则点到平面的距离．
（2）
假设存在满足题意的点，且（）．
∵，∴，
∴，
∴．
设平面的法向量为，
又∵，，
∴，
取，则，，
取为平面的一个法向量．
易知平面的一个法向量为，
∵二面角的余弦值为，
∴，
化简，得，
解得或（舍去）．
∴线段上存在满足题意的点，且．

变式6-4．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点M为的中点．

(1)证明：平面；
(2)AC上是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）连接与交于点O，连接OM，证明，根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，不妨设，设，，利用向量法求出，从而可得出的结论.
（1）解：连接与交于点O，则O为的中点，连接OM，因为点M为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为，所以，所以，如图建立空间直角坐标系，设，则，，，设，，所以，，，设平面的一个法向量为，则有，取，得，设平面的一个法向量为，则有，取得，因为，解得或（舍），此时，所以AC上存在点N，当时，二面角的大小为.


题型战法七 空间向量中的距离问题
典例7．在多面体中，平面平面ABCD，EDCF是面积为的矩形，，，AB＝2.

(1)证明：.
(2)求点D到平面ABFE的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)点D到平面ABFE的距离为.
【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面ABCD，由此可得，再证明 ，利用用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；（2）以点D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式可求点D到平面ABFE的距离..
（1）
因为平面平面，且平面平面，，
平面，
所以平面，
又平面，所以，
在四边形中，作于M，于N，
因为，，，
所以四边形为等腰梯形，则，所以，，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
又因为平面，所以；
（2）
由(1) 平面，，
以点D为原点，，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为矩形EDCF的面积为 ，，所以
所以，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，可取，
设点D到平面ABFE的距离为，则
.

变式7-1．如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．

(1)求证：平面ACF：
(2)求点B到平面ACF的距离．
【答案】(1)证明见详解.
(2).
【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明与平面的一个法向量重合来证明平面.
（2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.
（1）
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则,
设面的一个法向量为，，
可得，即，不妨令则,
平面.
（2）
，则点到平面的距离为.
变式7-2．如图，矩形和梯形，，平面平面，且，过的平面交平面于．

(1)求证：与相交；
(2)当为中点时，求点到平面的距离：
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由条件先证出平面，再由线面平行的性质定理，可得，从而可得与相交.
（2）根据条件，建立以为原点，以为轴、轴和轴的空间直角坐标系，求得平面的法向量，代入点到面的距离公式即可.
（1）
因为矩形，所以，且
又因为平面，平面，所以平面，
又由过的平面交平面与，
由线面平行的性质定理，可得，
又由，所以，且，
所以直线与相交．
（2）

由平面平面，其交线为，
且，平面，所以平面，
又由四边形为矩形，以为原点，以为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为，
所以点到平面的距离为．
变式7-3．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，．

(1)求证：平面EAC；
(2)求直线DM到平面EAC的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）说明PO，AC，BD两两垂直，由此可建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面EAC的一个法向量，计算的值，结合线面平行的判定即可证明结论；
（2）由于平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离，由此利用空间距离的向量形式的公式计算，可得答案.
（1）
证明：在正四棱锥中，连接BD，则O为BD的中点，且，
由于平面ABCD，AC，平面ABCD，
所以，，所以PO，AC，BD两两垂直．
以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，故E为PB的靠近B的三等分点，

则，，，，，
所以，，，
设平面EAC的法向量为，
则,取，则，，
则为平面EAC的一个法向量，
因为，所以，
又因为平面EAC，所以平面EAC．
（2）
由（1）知平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离．
由（1）知，平面EAC的一个法向量为，
所以点D到平面EAC的距离,
故直线DM到平面EAC的距离为．
变式7-4．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：

(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明出平面平面，可得出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面的距离．
（1）
解：因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面，
平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，直线与平面的距离为.
（2）
解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.