9.2.2统计模型（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第九章 统计与统计模型9.2.2统计模型（针对练习）针对练习针对练习一 相关系数与误差分析1．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（　　）A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强    B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强    C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强    D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强【答案】C【分析】根据相关系数的知识确定正确选项.【详解】依题意：，所以正相关，负相关，，所以的线性相关性较强.故选：C2．如图是变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程；，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到回归直线方程：，相关系数为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得变量和呈正相关，剔除点前的拟合效果不及剔除点后的效果，由此可得结论.【详解】解：观察题中散点图可知，变量和呈正相关关系，所以，，剔除点之后，回归模型的拟合效果更好，所以更接近于1．所以．故选：A．3．已知下列命题：①回归直线恒过样本中心点；②两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1；③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；④线性相关系数，则两个变量线性正相关；反之，则两个变量线性负相关．其中正确命题的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①线性回归方程恒过样本中心点；②两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1；③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；④线性相关系数接近于0时，可以判断两个变量不具有线性相关性.【详解】①回归直线恒过样本中心点，①正确；②两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1，②正确；③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，③正确；④线性相关系数接近于0时，可以判断两个变量不具有线性相关性，故④错误．故选：D4．下列命题：①在线性回归模型中，用相关指数来刻画回归效果，越小，则残差平方和越小，说明拟合效果越好；②对两个变量和进行回归分析，若相关系数为 r=-0.9462则变量和之间具有线性相关关系；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.5个单位；④对于两个分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，“与有关系”的把握程度越大. 其中不正确命题的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据相关指数的性质可判断①，根据相关系数的性质可判断②，根据回归方程的性质可判断③，根据随机变量的观测值的关系可判断④.【详解】解：对于①，在线性回归模型中，用相关指数来刻画回归效果，越小，则残差平方和越小，说明拟合效果越差，故①错误；对于②，对两个变量和进行回归分析，若相关系数为r=-0.9462，即，则变量和之间具有线性相关关系，故②正确；对于③，在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故③错误；对于④，对于两个分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，“与有关系”的把握程度越小，故④错误.故选：C.5．下列说法错误的是（    ）A．线性回归直线一定过样本点中心B．在回归分析中，为0.91的模型比为0.88的模型拟合的效果好C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强【答案】D【分析】根据回归方程相关知识逐项判断即可.【详解】回归直线必过样本点中心，故A正确；拟合系数越大拟合效果越好，故B正确；残差点分布区域越窄，拟合精度越高，故C正确；相关系数越接近于1，相关性越强，故当时，r的值越大，变量间的相关性越弱，故D错误.故选：D 针对练习二 回归分析6．下表所示是我国2015年至2021年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）.年份2015201620172018201920202021处理量（亿吨）1.81.972.12.262.42.552.69(1)由数据可知，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国生活垃圾无害化处理量.附：，，，.相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】(1)答案见解析(2)，预测2023年我国生活垃圾无害化处理量将约3亿吨 【分析】（1）根据相关系数的计算公式，直接计算求解即可.（2）根据题意，列方程计算出回归方程，进而代入预测值，即可求解.（1）由表中数据和附注中数据可得：，，所以.因为y与t的相关系数近似为0.999，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.（2）由（1）得，.所以y关于t的回归方程为：.将2023代入回归方程得：.所以预测2023年我国生活垃圾无害化处理量将约3亿吨.7．据贵州省气候中心报，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之间，毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超过100mm.若我省某地区2021年端午节前后3天，每一天下雨的概率均为.通过模拟实验的方法来估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数（，且）表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨.因为是3天，所以每三个随机数作为一组，从随机数表中随机取得20组数如下:332    714    740    945    593    468    491    272    073    445    992    772    951    431    169    332    435    027    898    719     （1）求出k的值，使得该地区每一天下雨的概率均为；并根据上述20组随机数估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2020年该地区端午节当天降雨量（单位:mm）如表：时间2016年2017年2018年2019年2020年年份12345降雨量2827252322经研究表明：从2016年到2020年，该地区端午节有降雨的年份的降雨量与年份具有线性相关关系，求回归直线方程.并预测该地区2022年端午节有降雨的话，降雨量约为多少？参考公式：，.【答案】（1）4， ；（2），．【分析】（1）由于该地区每一天下雨的概率均为，所以，从而可求出k的值，在所给的20组数据中找出有两天小于等于k的数，从而利用古典概型的概率公式可求出概率，（2）直接利用所给的数据和公式求出回归直线方程。然后令可预测该地区2022年端午节的降雨量【详解】（1）由题意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨．所给的20组数据中，，，，，，，，共组表示天中恰好有天下雨，故所求的概率为．（2）由题中所给的数据可得，，所以，，所以回归方程为，当时，．所以该地区年端午节有降雨的话，降雨量约为．8．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：研发投入x（亿元）12345产品收益y（亿元）3791011(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益．参考数据：，，．附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距．【答案】(1)，具有较高的线性相关程度(2)，40.3亿元 【分析】(1)将已知数据代入相关系数公式计算即可得结论.(2)求出回归直线方程，将代入线性回归方程计算即可.（1）∵，，，∴，∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度．（2）∵，，∴．∴y关于x的线性回归方程为，将代入线性回归方程可得，，∴预测研发投入20（亿元）时产品的收益为40.3（亿元）．9．今年全国两会期间，习近平总书记在看望参加全国政协十三届五次会议的农业界､社会福利和社会保障界委员时指出“粮食安全是‘国之大者’.悠悠万事，吃饭为大.”某校课题小组为了研究粮食产量与化肥施用量的关系，收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，每亩化肥施用量为（单位：公斤），粮食亩产量为（单位：百公斤）.参考数据：65091.552.51478.630.5151546.5表中.(1)根据散点图判断作为粮食亩产量y（单位：百公斤）关于每亩化肥施用量x（单位：公斤）的回归方程类型比较适宜.根据表中数据，建立y关于x的回归方程；(2)请预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；（预测时取）附：对于一组数据（），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】(1)(2) 【分析】（1）对两边取对数可得，即可得到，再根据所给数据求出、，即可得解；（2）将代入（1）中回归方程，计算可得；(1)解：由题意对两边取对数可得即，又，，有，，，所以，，所以，所以.(2)解：由（1）当时，.即每亩化肥施用量为公斤时，粮食亩产量约为百公斤；10．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度(单位：分贝)与声音能量(单位：)之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量(、、…、)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，．（1）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；（2）当声音强度大于分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且．已知点的声音能量等于声音能量与之和，请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】（1）；（2）点会受到噪声污染的干扰；理由见解析．【分析】（1）令，先建立关于的线性回归方程，再用替换即可求得声音强度关于声音能量的回归方程．（2）根据点的声音能量，根据（1）中的回归方程计算点的声音强度的预报值，比较即可得出结论．【详解】解：（1）令，先建立关于的线性回归方程，由于，∴，∴关于的线性回归方程是，即关于的回归方程是：；（2）点的声音能量，∵，∴，根据（1）中的回归方程，点的声音强度的预报值：，∴点会受到噪声污染的干扰． 针对练习三 独立性检验11．在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下： 无疲乏症状有疲乏症状总计未接种疫苗 20120接种疫苗   总计160  (1)请将上述列联表补充完整；(2)通过计算判断能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种疫苗有关．附：，其中．0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)答案见解析；(2)有85%的把握认为有疲乏症状与接种疫苗有关． 【分析】（1）根据已知数据可完善列联表；（2）计算，比较临界值后可得．(1)列联表如下： 无疲乏症状有疲乏症状总计未接种疫苗10020120接种疫苗602080总计16040200(2)由（1），所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种疫苗有关．12．心理健康越来越受到人们的重视，某高校将录制的心理健康讲座视频放在网站上播放.为了解观看该视频的人群年龄结构情况，从全市随机抽取了50人，对是否观看的情况进，行调查，结果如下表：年龄（单位：岁）调查人数41115875观看讲座人数41112631(1)以年龄50岁为分界点，由以上统计数据完成下面列联表. 年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计观看讲座人数   未观看讲座人数   合计   (2)根据（1）中列联表判断是否有99%的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关.下面的临界值表供参考：独立性检验统计量，其中【答案】(1)答案见解析(2)有的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关【分析】（1）由已知计算填表即可；（2）计算，再由独立性检验的基本思想求解即可(1)由以上统计数据填写下面列联表，如下 年龄低于岁的人数年龄不低于岁的人数合计观看讲座人数未观看讲座人数合计(2)根据公式计算，所以有的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关13．为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验．采用有放回简单随机抽样的方法，获取了容量为的样本数据（单位：只），得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用 服用  合计 (1)完成上面的列联表；(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为服用药物对预防疾病有效果?附：，其中． 【答案】(1)列联表答案见解析(2)不能 【分析】（1）根据题中信息可完善列联表；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.(1)解：根据题意可得如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用服用合计 (2)解：，所以，依据小概率值的独立性检验，不能认为服用药物对预防疾病有效果.14．某市在中学推行“明珠”课堂进行教学改革，为了比较教学效果，改革试点学校的某位数学老师用原传统模式和“明珠”课堂两种不同的教学模式在甲、乙两个同类型的班级进行教学实验.经过一学期的实验，在期末考试后分别统计两个班级中起点成绩相同的名同学的成绩，作出茎叶图如下：记成绩不低于分为“成绩优良”.(1)试用所学知识大致判断哪种教学方式的教学效果更佳？(2)由以上统计数据填写下面的列联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关？ 甲班级乙班级总计成绩优良   成绩不优良   总计   附： 【答案】(1)“明珠”课堂的教学方式的教学效果更佳(2)列联表见解析；在犯错误不超过的前提下，认为“成绩优良”与教学方式有关 【分析】（1）根据茎叶图可比较出甲乙两班的平均数和数据集中程度，由此可得结论；（2）根据茎叶图可补充列联表，并计算得到，由此可得结论.(1)，，乙班同学的平均成绩更高；由茎叶图可知：乙班的成绩主要在之间，集中在平均数附近；甲班的成绩分布更为分散，可知乙班的成绩更稳定；综上所述：“明珠”课堂的教学方式的教学效果更佳.(2)根据茎叶图数据可补充列联表如下： 甲班级乙班级总计成绩优良成绩不优良总计，在犯错误不超过的前提下，认为“成绩优良”与教学方式有关.15．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的列联表； 非体育迷体育迷总计男   女 1055总计   (2)据此资料你是否认为在犯错误的概率不超过0.10的前提下，“体育迷”与性别有关？附：参考公式：，其中参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】(1)填表见解析(2)在犯错误的概率不超过0.10的前提下可以认为“体育迷”与性别有关【分析】（1）由频率分布直方图可求得“体育迷”人数，即可得“非体育迷”人数，完成联表即可.（2）将表中数据代入公式，求得的值，分析即可得答案.(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为，“非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表： 非体育迷体育迷总计男301545女451055总计7525100 (2)将2×2列联表的数据代入公式计算：．所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下可以认为“体育迷”与性别有关．