10.1.1排列组合（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布列10.1.1排列组合（题型战法）知识梳理一 分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。2.分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。原则：先分类后分步；由特殊点入手。二 排列与排列数1.排列：从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.2.排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作三 组合与组合数1.组合：从个不同元素中取出个元素组成一个组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.公式：（1）（2）（，且）.特别地，性质：（1）①；②.（2）①；②题型战法题型战法一 数字排列问题典例1．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（    ）A．36 B．48 C．60 D．72 变式1-1．在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（    ）A．36个 B．48个 C．54个 D．60个 变式1-2．用这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有（    ）A．36 B．48 C．60 D．72 变式1-3．用 四个数字组成无重复数字的四位数， 其中比大的偶数共有（    ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 变式1-4．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（    ）A．120个 B．192个 C．252个 D．300个 题型战法二 染色问题典例2．用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（    ）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种  变式2-1．如图，有、、、四块区域需要植入花卉，现有种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（　　）A．种 B．种 C．种 D．种 变式2-2．用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（    ）A．72 B．48 C．36 D．24 变式2-3．给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种  变式2-4．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同涂色方法有（    ）A．48种 B．64种 C．96种 D．144种 题型战法三 位置（元素）有限的排列问题（优先法）典例3．将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车方案有（    ）A．24种 B．78种 C．96种 D．120种 变式3-1．4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（    ）A．14种 B．16种 C．10种 D．13种 变式3-2．甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（    ）A．30种 B．54种 C．84种 D．120种 变式3-3．甲、乙、丙、丁名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种 变式3-4．某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（    ）A．12 B．14 C．16 D．18 题型战法四 相邻问题的排列问题（捆绑法）典例4．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（    ）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 变式4-1．“宫、商、角、徵、羽”起源于春秋时期，是中国古乐的五个基本音阶，亦称五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，要求宫、商两音阶相邻且宫音阶不在正中间，则可排成不同的音序共有（    ）A．48种 B．36种 C．32种 D．24种 变式4-2．把语文，数学，英语，物理等7本不同的书放入书架，若数学书和物理书相邻，语文书不放在最左边，英语书不放在最右边，则不同的放法共有（    ）A．780 B．960 C．1440 D．1008 变式4-3．小明跟父母､爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.则小明的父母都与他相邻的概率为（    ）A． B． C． D． 变式4-4．“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ）A．216种 B．108种 C．72种 D．54种题型战法五 不相邻的排列问题（插空法）典例5．“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（    ）A．480 B．240 C．384 D．1440变式5-1．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ）A．24 B．48 C．144 D．244 变式5-2．在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（   ）A．420种 B．260种 C．180种 D．80种 变式5-3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同排法的种数是（    ）A． B． C． D． 变式5-4．某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（      ）A．60种 B．120种 C．144种 D．300种 题型战法六 部分定序问题的排列问题（缩倍法）典例6．5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排放在b的左边，则一共有多少种排放方法（    ）A．42 B．60 C．30 D．36   变式6-1．用组成没有重复数字的七位数，若的顺序一定，则符合条件的七位数有（    ）个A．840 B．210 C．640 D．410 变式6-2．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（    ）.A．42 B．56 C．30 D．72 变式6-3．习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ）A．100 B．120 C．300 D．600 变式6-4．某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（    ）A．240种 B．480种 C．540种 D．720种 题型战法七 分组分配问题典例7．佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（    ）A．240 B．180 C．690 D．150变式7-1．6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（    ）A．105种 B．144种 C．150种 D．210种变式7-2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒．某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（    ）A．8 B．10 C．12 D．14 变式7-3．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（   ）A．28 种 B．32 种 C．36 种 D．42 种 变式7-4．某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（    ）A．360种 B．480种 C．600种 D．720种 题型战法八 x+y+z=n整数解的个数问题（隔板法）典例8．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案.A． B． C． D． 变式8-1．袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ）A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 变式8-2．将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（    ）A．16 B．18 C．27 D．28  变式8-3．7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法．A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 变式8-4．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（    ）A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 题型战法九 正难则反的排列组合问题（间接法）典例9．甲、乙、丙、丁名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种 变式9-1．某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（    ）A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 变式9-2．某社区拟从6名男生､3名女生这9名志愿者中选出3人到某小区协助新冠肺炎防控工作，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（    ）A．48种 B．53种 C．56种 D．63种 变式9-3．某学校开展劳动教育，决定在3月12日植树节当天把包含甲、乙两班在内的6个班级平均分到附近的3个植树点植树，则甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数为（    ）A．72 B．90 C．84 D．18 变式9-4．某大学开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门课．若要求两类选修课至少各选一门，则不同的选法有（    ）A．30种 B．60种 C．12种 D．7种