初中数学北师大版八年级上册第二章 实数6 实数当堂达标检测题

无理数与实数（基础）

【学习目标】

1. 了解无理数和实数的意义；

2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .

【要点梳理】

要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.

要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

         （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.

1.实数的分类

按定义分：

    实数

按与0的大小关系分：

    实数

   2.实数与数轴上的点一 一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

要点四、实数的运算

有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

【典型例题】

类型一、实数概念 

1、指出下列各数中的有理数和无理数：

【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.

【答案与解析】有理数有

无理数有……

【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.

常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.

举一反三：

【变式】下列说法错误的是（    ）

①无限小数一定是无理数；  ②无理数一定是无限小数；

③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.

A．①②③     B. ②③④       C. ①③④      D. ①②④

【答案】C；

类型二、实数大小的比较

2、（2020秋•新华区校级期中）比较和1的大小．

【答案与解析】

解：∵＜＜，

    即2＜＜3，

∴1＜﹣1＜2，

∴＜1．

【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键．

举一反三：

【变式】比较大小

【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.

3、（2020•通州区二模）如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数的点数接近的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D

【思路点拨】先估算出与比较接近的两个整数，再根据数轴即可得到哪个点与最接近，本题得以解决．

【答案】C；

【解析】解：∵，

∴4＜＜5，

∴数轴上与表示数的点数接近的点是C，

故选C．

【总结升华】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，可以估算出与哪两个整数最接近．

类型三、实数的运算

4、化简：

    (1)       (2)          (3)

【答案与解析】

解：   

.

【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

举一反三：

【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣．

【答案】解：原式=4+﹣1﹣3

=．

5、若，则________．

【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.

【答案】3；

【解析】

解：由非负数性质可知：，即，∴  ．

【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .

举一反三：

【变式】已知，求的值．

【答案】

解：由已知得，解得．

     ∴＝.