人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列课堂检测

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列课堂检测，共29页。

4.2.1　等差数列的概念
【考点梳理】
考点一　等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
考点二　等差中项的概念
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.
考点三　等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
考点四　从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
等差数列的性质
考点一　等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．










考点二　等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)

2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；
d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
【题型归纳】
题型一：利用定义法求等差数列的通项公式
1．（2022·福建省龙岩第一中学高二）已知数列的前项和为，满足，，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南郑州·高二）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（    ）
A． B． C． D．

题型二：等差数列的通项公式基本量的计算
3．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知数列满足，则满足的的最大取值为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2022·江苏盐城·高二期中）已知是等差数列，且，则（    ）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）在等差数列中，，，则的值为（    ）
A．33 B．30 C．27 D．24

6．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）等差数列的公差，数列的前项和，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，

题型三：等差中项及应用
7．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京丰台·高二期中）在等差数列中，，则的值是（    ）
A．24 B．32 C．48 D．96
9．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）已知等差数列的前三项分别为，，，则此数列的第四项为（    ）
A．12 B．13 C．10 D．15

题型四：等差数列性质的应用
10．（2022·新疆·乌鲁木齐市高级中学高二期中）已知数列为等差数列，，则（    ）
A．8 B．12 C．15 D．24
11．（2022·重庆长寿·高二期末）在等差数列中，，则的值是（      ）
A．36 B．48 C．72 D．24
12．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列，都是等差数列，且，，则（    ）
A． B． C．1 D．2

题型五：等差数列的应用
13．（2022·浙江·杭州市余杭中学高二期中）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（    ）
A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺 D．12.5 尺

14．（2022·全国·高二）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ）
A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元
15．（2022·北京丰台·高二期中）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

题型六：等差数列的判定与证明
16．（2022·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由.

17．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期中（文））已知数列满足，.
(1)求､､；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.

18．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知数列{}满足
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记，求数列{·}的前2022项和；


【双基达标】
一、单选题
19．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知是首项为，公差为的等差数列，如果，则序号等于（    ）
A．664 B．665 C．674 D．675
20．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ）
A．数列，，，…，…为等差数列
B．数列，，，…，，…为等差数列
C．数列为等差数列
D．数列为等差数列
21．（2022·福建漳州·高二期中）已知等差数列中，是函数的两个零点，则=（    ）
A．2 B．3 C．4 D．6
22．（2022·江苏省震泽中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，，且满足.则取最小值时，取值为（    ）
A．4 B．8 C．9 D．
23．（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高二期中）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（    ）

A．20180 B．20200 C．20220 D．20240


24．（2022·江苏·苏州中学高二阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ）
A．103 B．107 C．109 D．105
25．（2022·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；
26．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知等差数列中．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

【高分突破】
一：单选题
27．（2022·山东·兰陵四中高二）设数列的前项和，则（    ）
A． B． C． D．
28．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为，则数列的前24项和为（    ）
A． B． C． D．6
29．（2022·全国·高二单元测试）若数列满足（其中d是常数），则称数列是“等方差数列”．已知数列是公差为m的等差数列，则“”是“是等方差数列”的（    ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件


30．（2022·全国·高二）若，，，…，为各项都大于0的等差数列，公差，则（    ）．
A． B．
C． D．
31．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若公差为，、为数列的任意两项，则当时，下列结论：
①；②；③；④．
其中必定成立的有（    ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
32．（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；
②若，则数列是等差数列；
③若（b、c是常量），则数列是等差数列．
其中真命题有（    ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
33．（2022·湖南·长郡中学高二期中）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（    ）
A．B．C．(为常数)D．
34．（2022·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（    ）
A．公差d的取值范围是 B．
C． D．的最小值为1
35．（2022·福建省华安县第一中学高二）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（    ）
A． B． C． D．


36．（2021·浙江·测试·编辑教研五高二期中）已知数列的通项公式为，则（    ）
A． B．是该数列中的项
C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列
37．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（    ）
A． B． C． D．
38．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（    ）
A．d＝2 B．
C． D．的前n项和为
39．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是(    )
A． B．是递增数列
C． D．数列为周期数列

三、填空题
40．（2022·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）已知数列中，，，求数列的通项公式___________
41．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高二期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项.


42．（2022·江苏盐城·高二期中）已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________.
43．（2022·甘肃·白银市第九中学高二阶段练习）已知在等差数列中，是方程的两个根，则__________.
44．（2022·全国·高二课时练习）设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是______．①；②；③；④．
45．（2022·全国·高二课时练习）已知是等差数列，且，，则______．
46．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．
47．（2022·辽宁营口·高二期末）已知a，b，c三个数成等差数列，函数的图像过定点A，函数的图像经过点A，则函数的定义域为______________．

四、解答题
48．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：．
(1)若，求的值；
(2)设，，数列是否有最大项，最小项？若有，分别指出第几项最大，最小；若没有，试说明理由．
49．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)对于正整数，已知三数构成等差数列，求正整数的值.



50．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)判断96是不是数列中的项？
51．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知数列满足，；
(1)设，，，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，，，数列是否有最大项，最小项？若有，分别指出第几项最大，最小；若没有，试说明理由；

【答案详解】
1．A
【分析】由题意可知数列是公差为1的等差数列，先求出数列的通项公式，再利用与的关系求出即可.
【详解】∵a1 = 1，－ = 1，
∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴，即，
∴（）.
当时，也适合上式，.
故选：A.
2．B
【分析】当可求得；当时，可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可推导得到，由求得后，利用可求得结果.
【详解】当时，，解得：；
当时，由得：，即，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，解得：，，
经检验：满足，，

故选：B.
3．B
【分析】首先地推公式变形，得，，求得数列的通项公式后，再解不等式.
【详解】因为，两边取倒数，得，
整理为：，，
所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，
，，
因为，即，得，
解得：，,
所以的最大值是7.
故选：B
4．B
【分析】结合等差数列通项公式即可解决.
【详解】设等差数列的公差为 ，由得，，
则

故选：B.
5．A
【分析】用基本量表示题干条件，求出，即得解.
【详解】因为数列是等差数列，
所以，即，
解得 ，
所以.
故选：A
6．B
【分析】利用等差数列的性质及数列的前项和，列出关于的方程组，解之即可求得的值.
【详解】等差数列的公差，数列前项和
则，，
由，则，则
可得
故选：B
7．C
【分析】利用等差中项的性质可求得结果.
【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.
故选：C.
8．C
【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：C
9．B
【分析】根据题意，，解方程得，进而得答案.
【详解】解：因为等差数列的前三项分别为，，，
所以，解得
所以该等差数列的前三项为，公差为，
所以此数列的第四项为.
故选：B
10．B
【分析】根据等差数列的性质求解即可.
【详解】解：因为数列为等差数列，，
所以，解得，
所以，.
故选：B
11．A
【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：A
12．A
【分析】利用等差数列的性质和通项公式的基本运算求解.
【详解】解：因为数列，都是等差数列，
所以数列是等差数列，
又，，
所以其公差为，
所以则，
故选：A
13．D
【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出春分的日影长.
【详解】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故春分的日影长为12.5尺.
故选：D
14．C
【分析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可知，五年累计总投入资金为：
，
因为，
所以，
当且仅当时取等号，
故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，
故选：C.
15．B
【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.
【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，
且，故公差，
故，
故选：B.
16．(1)证明见解析
(2)最小值，最大值3，理由见解析

【分析】（1）求，化简后由等差数列定义证明
（2）先求的通项公式后得出的通项公式，结合单调性求解
(1)
证明：因为，，
所以当时，
.
又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
(2)
由（1）知，则.
设函数，在区间和上单调递减，
结合函数的图象可知，
当时，取得最小值；
当时，取得最大值3.
17．(1)，，；
(2)证明见解析，.

【分析】（1）根据递推公式，结合，逐项求解即可；
（2）对递推公式进行变形，结合等差数列的定义，即可证明，再求，即可求得.
(1)
由得，
代入，n依次取值2，3，4，得
，，.
(2)
证明：由变形，得，
即，所以是等差数列.
由，所以，变形得，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由递推公式构造数列证明
（2）由裂项相消法求和
(1)
依题设可得
∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
∴，
∴
(2)
由（1）可得，
∴，
∴
19．D
【分析】由列方程，解方程求得.
【详解】，解得.
故选：D
20．C
【分析】利用等差数列的定义判断即可.
【详解】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；
B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；
C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；
D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.
故选：C.
21．D
【分析】由根与系数关系有，再根据等差数列下标和性质即可求值.
【详解】由题意知，又是等差数列，
所以.
故选：D
22．A
【分析】结合已知条件可得是等差数列，进而求出的通项公式，然后根据通项公式的特征即可求解.
【详解】因为，
所以，
因为，则，
所以是首项为，公差为1的等差数列，
从而，即，
从而易知，数列中仅有，，为负，
因为，，，
所以取最小值时，.
故选：A.
23．B
【分析】先求出第100行的第一个数，再根据第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，从而得到第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200．
【详解】第一列的数字为4，7，10，13，16，……，成等差数列，公差d＝3，其通项公式＝4＋3(n－1)＝3n＋1，故第100行的第一个数为＝301，
再看行，第一行的数是公差为3的等差数列，第二行的数是公差为5的等差数列，第三行的数是公差为7的等差数列，…，第n行的数是公差为3＋2×(n－1)的等差数列，
则第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，
所以第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200．
故选：B．
24．B
【分析】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，即可得出，求得答案.
【详解】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，
即，则，
∴，
故选：B
25．证明见解析，.
【分析】利用已知条件，确定k的值，最值得递推关系式，得证为等差数列，即可求解通项公式.
【详解】证明：，，，则，即，解得，
所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.
26．(1)；
(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算量列出方程组，求出首项和公差，写出通项公式；
求出的通项公式，列出方程，求出，故不存在正整数m.
（1）
设等差数列的公差为，
由，
得
所以，
即；
（2）
，
∵，
∴，
则，解得，不符合题意，
∴不存在正整数，使得.
27．A
【分析】根据数列与的关系化简计算可得，等式两边同时除以得，结合等差数列的定义可知是以6为首项，5为公差的等差数列，进而求出的通项公式，即可求解.
【详解】由题意知，，
当时，，解得，
当时，，
则，
整理，得，等式两边同时除以，
得，又，
所以数列是以6为首项，5为公差的等差数列，
有，则，
所以.
故选：A.
28．A
【分析】先由等方差数列的定义得到是公差为2的等差数列，进而求出，代入得，再利用裂项相消法求得结果.
【详解】根据题意，得，故是公差为2的等差数列，
所以，即，
所以，
故数列的前24项和为：.
故选：A.
29．C
【分析】由得到为常数列，从而，故是等方差数列，充分性成立，再由是等方差数列，也是等差数列，得到，结合，分析出，，必要性得证.
【详解】若，则为常数列，满足，所以是等方差数列，充分性成立，
因为是等方差数列，所以，则，
因为数列是公差为m的等差数列，所以，
所以，由于,
当时，随着的改变而改变，
不是定值，不合要求，
当时，为定值，此时满足题意，
综上必要性成立.
故选：C
30．B
【分析】根据等差中项的推论，以及结合通项公式进行作差法，可得答案.
【详解】由题意，可知，，故选项C、D错误；
由，，，
则
，即，
故选：B.
31．C
【分析】根据等差数列通项公式依次讨论即可得答案.
【详解】解：由等差数列通项公式得，
所以，，，.
故②③④成立，①不成立.
故选：C
32．C
【分析】由等差数列的定义即可得出结论.
【详解】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；
，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；
，，，满足等差数列的定义，故③正确.
故选：C
33．BCD
【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.
【详解】对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意；
对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意；
对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，
故为等差数列，故选项C符合题意；
对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，故选项D符合题意，
故选：BCD.
34．AB
【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断B，由作差法可判断C，由基本不等式可判断D.
【详解】由题意得,,而，
，解得，∴，故A正确；
由，故B正确；
由，
可知，故C错误；
由，所以
有，
当且仅当时取到等号，但，故不能取“=”，所以D错.
故选：AB
35．BCD
【分析】先利用等差数列的通项公式求出，再由题意逐一判断即可
【详解】因为，，
所以，
数列中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，，
所以故A错误，BC正确；
设数列中的第项是数列中的第项，
则，
所以当时，，故，所以D正确，
故选：BCD
36．AB
【分析】对于A，取值即可判断；
对于B，分类讨论是奇数项与是偶数项两种情况即可判断；
对于CD，列出的前3项即可判断.
【详解】因为，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，若是奇数项，则，解得，不满足，舍去；
若是偶数项，则，解得，满足题意，故是中的第二项，故B正确；
对于C，当时，，故的前三项为，显然不是递增数列，故C错误；
对于D，由C易知，，故不是等差数列，故D错误.
故选：AB.
37．BD
【分析】设方程的四根分别为、、、，利用等差数列的基本性质结合韦达定理可求得这四个数的值，进而可求得、的值，即可得解.
【详解】设方程的四根分别为、、、，
则数列、、、是首项为的等差数列，设其公差为，
由等差数列的性质可得，
①若、为方程的两根，则、为方程的两根，
由韦达定理可得，可得，，则，，
此时，，则；
②若、为的两根，、为方程的两根，
同理可得，，则.
综上所述，.
故选：BD.
38．ABD
【分析】根据等差数列的通项公式求得，结合等差数列的性质即可判断A、B；
利用裂项相消求和法即可判断C、D.
【详解】由题意得，
，即，
解得，所以，故A、B正确；
得，
故，故C错误；
所以数列的前n项和为
，故D正确.
故选：ABD.
39．ABC
【分析】利用数列的递推关系式推出，说明数列是首项为，公差为1的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误．
【详解】数列满足：，当时，，
，
∴数列是首项为，公差为1的等差数列，
，
，故C正确；
，故A正确；
∵函数在x＞－1时单调递增，故是单调递增数列，故B正确，D错误．
故选：ABC．
40．
【分析】由已知条件可得，从而可得数列是等差数列，求出其通项公式后化简即可得到.
【详解】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴.
故答案为：.
41．28
【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作答.
【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，
即有，则，因此，即，有，
于是得数列的通项为，，由得：，
所以数列的第10项是数列的第28项.
故答案为：28
42．，
【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出的通项公式.
【详解】设数列的公差为由题意可知，，，
于是
因为，所以，所以
所以
故答案为：，
43．
【分析】根据韦达定理可求得，利用等差数列下标和性质可求得结果.
【详解】是方程的两个根，，
.
故答案为：.
44．①②
【分析】根据可以求出，再结合可以判断是否是等差数列.
【详解】①当时，；当也符合，所以，数列为等差数列；
②当时，；当时，，符合，所以，数列为等差数列；
③当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列；
④当时，；当时，，不符合，所以，数列不是等差数列.
故答案为：①②.
45．
【分析】由条件求出数列公差，再求其通项公式，由此可得数列的通项公式，由此可求.
【详解】因为是等差数列，设其公差为，
因为，，
所以，，
所以，即，又，
所以，
所以，所以，
故答案为：.
46．－82
【分析】根据等差数列通项公式化简求解.
【详解】∵是公差为－2的等差数列，
∴．
故答案为：-82
47．
【分析】由等差中项可得的关系，从而可以确定的坐标，再将的坐标代入函数即可得到定义域范围.
【详解】因为成等差数列，所以，
所以，当时，，
所以函数的图像过定点，
所以，解得，
所以，
令，则
所以函数的定义域为.
故答案为:.
48．(1)
(2)最大项为第3、4项，没有最小项

【分析】（1）根据题设中的递推关系可求；
（2）求出，根据数列单调性定义可判断数列的最大项.
【详解】（1）
（2）由（1）可得为等差数列，且，故，
所以，故，
故，
故

，
故当时，即；
当时，；
当时，；
故有最大项且最大项为，
当时，，而当时，，
故没有最小项.
综上，最大项为第3、4项，没有最小项.
49．(1)
(2)

【分析】（1）根据求出，得到为等差数列，设出公差，利用求出公差，进而求出通项公式；
（2）由等差数列性质得到，变形为，结合正整数，得到只有，等式才成立，进而求出正整数的值.
【详解】（1）变形为①，
当时，②，①－②得：
，
由于在分母上，故，所以，
整理得：，
因为，所以，
即，
所以为等差数列，首项为，设公差为，
当时，，即，
解得：，
所以，经验证，满足要求；
（2）由题意得成等差数列，
故，
因为且为正整数，
所以，其中为正整数，
因为，
而，
故只有时，才成立，
此时，由于为正整数，
所以.
50．(1)；
(2)不是.

【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差即可求解作答.
（2）利用（1）的结论，求解方程即可作答.
（1）
设等差数列的公差为，则，而，于是得，，
所以数列的通项公式是.
（2）
由（1）知，，由得：不是正整数，
所以96不是数列中的项.
51．(1)证明见解析，，；
(2)最大项为第3、4项，没有最小项.

【分析】（1）由递推式得，再对应化简即可证结论，根据等差数列定义写出通项公式；
（2）由（1）得，令且，研究单调性，进而求最值，即可得结果.
（1）
由题设，则，
所以，故，
故是公差为的等差数列，又，
所以，.
（2）
由（1）知：，则，故，
所以，
令且，若，
易知：上递增，上递减，所以，
在上，在上，
由，则，此时或，有最大项，而没有最小项；
综上，最大项为第3、4项，没有最小项.