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    北师大版数学八年级上册三角形的内角和(基础)知识讲解 (含答案)

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    北师大版数学八年级上册三角形的内角和(基础)知识讲解 (含答案)

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    这是一份北师大版数学八年级上册三角形的内角和(基础)知识讲解 (含答案),共7页。
    三角形的内角和(基础)知识讲解【学习目标】1.理解三角形内角和定理的证明方法;2.掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质;3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算,证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和    三角形内角和定理:三角形的内角和为180°要点诠释:应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题:在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数;已知三角形三个内角的关系,可以求出其内角的度数;求一个三角形中各角之间的关系.要点二、三角形的外角1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.如图,ACD是ABC的一个外角.要点诠释:(1)外角的特征:顶点在三角形的一个顶点上一条边是三角形的一边另一条边是三角形某条边的延长线. (2)三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角.所以三角形共有六个外角,通常每个顶点处取一个外角,因此,我们常说三角形有三个外角.2.性质:(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. (2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.要点诠释:三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据.另外,在证角的不等关系时也常想到外角的性质.3.三角形的外角和:   三角形的外角和等于360°.要点诠释:因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角,由三角形的内角和是180°,可推出三角形的三个外角和是360°【典型例题】类型一、三角形的内角和 1.证明:三角形的内角和为180°.【答案与解析解:已知:如图,已知ABC,求证:A+B+C=180°.     证法1如图1所示,延长BCE,作CDAB.因为ABCD(已作),所以1=A(两直线平行,内错角相等),B=2(两直线平行,同位角相等).    ACB+1+2=180°(平角定义),    所以ACB+A+B=180°(等量代换).证法2如图2所示,在BC边上任取一点D,作DEAB,交ACEDFAC,交AB于点F因为DFAC(已作),所以1=C(两直线平行,同位角相等),2=DEC(两直线平行,内错角相等).因为DEAB(已作).所以3=BDEC=A(两直线平行,同位角相等).所以A=2(等量代换).1+2+3=180°(平角定义),所以A+B+C=180°(等量代换).证法3如图3所示,过A点任作直线,过B点作,过C点作       因为(已作).      所以l=2(两直线平行,内错角相等).      同理3=4(已作),所以5+1+6+4=180°(两直线平行,同旁内角互补).      所以5+2+6+3=180°(等量代换).      2+3=ACB      所以BAC+ABC+ACB=180°(等量代换). 证法4如图4,将ΔABC的三个内角剪下,拼成以C为顶点的平角.证法5:如图51和图52,在图51中作1A,得CDAB,有2B;在图52中过AMNBC1B2C,进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种,无论哪种证明方法,都是应用的平行线的性质. 2.2020宜兴市校级月考)如图,BEABD的平分线,CFACD的平分线,BECF交于G,若BDC=140°BGC=110°,则A为(  )A70° B75° C80° D85°思路点拨首先根据三角形的内角和定理,求出1+2=40°1+2+3+4=70°;然后判断出3+4=30°,再根据BEABD的平分线,CFACD的平分线,判断出5+6=30°;最后根据三角形的内角和定理,用180°减去1+2+3+4+5+6的度数,求出A为多少度即可.【答案与解析】解:如图,∵∠BDC=140°∴∠1+2=180°﹣140°=40°∵∠BGC=110°∴∠1+2+3+4=180°﹣110°=70°∴∠3+4=70°﹣40°=30°BEABD的平分线,CFACD的平分线,∴∠3=54=6∵∠3+4=30°∴∠5+6=30°∴∠1+2+3+4+5+6=1+2+3+4+5+6=70°+30°=100°∴∠A=180°﹣100°=80°故选:C【总结升华】此题主要考查了三角形的内角和定理,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:三角形的内角和是180°举一反三:【变式】已知,如图 ,在ABC中,C=ABC=2ABDAC边上的高,求DBC的度数.      【答案】解:已知△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得:x=36°∴∠C=2x=72°BDC BDAC边上的高∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°90°-72°=18°类型二、三角形的外角 3.1)如图,ABCD交于交于点O,求证:ACBD 2)如图,求证:D=AB +C【答案与解析】解:(1)如图,在AOC中,COB是一个外角,由外角的性质可得:COB=AC同理,在BOD中,COB=BD所以ACBD(2如图,延长线段BD交线段与点E,ABE中,BEC=AB  DCE中,BDC=BECC  代入得,BDC=ABC,即得证【总结升华】重要结论:(1)“8”字形图:ACBD(2)燕尾形图D=AB +C举一反三:【变式1】(新疆建设兵团)如图,ABCDADBC相交于点OA40°AOB75°C等于(  )     A40°     B65°           C75°  D115°【答案】B【变式2】(2020春•龙口市)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为  度.
       【答案】如图连接CE,根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3,在△DCE中有,∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°,∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°.类型三、三角形的内角外角综合4.(2020春•绿园)如图,∠ABC=38°,∠ACB=100°,AD平分∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE的度数. 思路点拨先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,由角平分线的定义得出∠BAD的度数,根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数,由两角互补的性质即可得出结论.【答案与解析】  解:∵∠ABC=38°,∠ACB=100°(己知)∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°(三角形内角和180°).又∵AD平分∠BAC(己知),∴∠BAD=21°,∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°(三角形的外角性质).又∵AE是BC边上的高,即∠E=90°,∴∠DAE=90°﹣59°=31°.      【总结升华】此题考查的是三角形的内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.举一反三:【变式】如图所示,已知ABC中,P为内角平分线ADBECF的交点,过点PPGBCG,试说明BPDCPG的大小关系并说明理由.【答案】 解:BPDCPG.理由如下:      ADBECF分别是BACABCACB的角平分线,      1ABC2BAC3ACB      1+2+3(ABC+BAC+ACB)=90°  41+2  4+390°  PGBC  3+590°    45,即BPDCPG 

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