高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精练，共32页。

4.3.1　等比数列的概念
【考点梳理】
考点一　等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1).
考点二　等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
考点三　等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
考点四　等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数．
等比数列的应用及性质
考点五　实际应用题常见的数列模型
1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n.
2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n.
考点六　等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.





【题型归纳】
题型一：等比数列中的基本运算
1．（2022·福建龙岩·高二期中）在等比数列中，如果，那么（    ）
A．40 B．36 C．54 D．128
2．（2022·湖南·长郡中学高二期中）在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））数列满足，且，则（    ）
A．4 B． C． D．

题型二：等比中项的应用
4．（2022·陕西省商洛中学高二期末（理））已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则公差为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·甘肃·敦煌中学高二期中）已知正项等比数列，满足，则（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西贵港·高二期末（理））已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则（    ）
A． B． C． D．

题型三：等比数列的性质及其应用
7．（2022·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（    ）
A．2 B．4 C． D．


8．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二）等比数列的各项均为正数，且，则（    ）
A．20 B．15 C．8 D．
9．（2022·广东·顺德市李兆基中学高二期中）等比数列{}中，已知=8，+=4，则的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．5

题型四：等比数列子数列的性质
10．（2022·吉林白山·高二期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
11．（2022·北京·人大附中高二期中）设是等比数列，且，，则（    ）
A．12 B．2 C．30 D．32
12．（2022·河南·濮阳一高高二期中（文））在等比数列中，已知，，那么等于（    ）
A． B． C． D．

题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）
13．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（    ）
A．， B．，
C． D．
14．（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是(    )
A．， B．，
C．， D．，


15．（2020·江苏省板浦高级中学高二期中）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则值为（    ）
A． B． C． D．

题型六：等比数列的证明
16．（2022·全国·高二）已知数列满足，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列中的最小项.

17．（2022·全国·高二）数列满足，．
(1)求，；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式．


18．（2022·浙江·高二阶段练习）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．








【双基达标】
一、单选题
19．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）设等比数列满足，，则的最大值为（    ）
A．32 B．16 C．128 D．64
20．（2022·江苏苏州·高二期中）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
21．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（    ）
A．13 B． C．3或 D．或13
22．（2022·江苏·西安交大苏州附中高二阶段练习）若，，成等差数列，而，，和，，都分别成等比数列，则的值为（    ）
A．16 B．15 C．14 D．12
23．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列满足，，设 ，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
24．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高二）三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（    ）
A． B． C． D．
25．（2022·福建省华安县第一中学高二）设等比数列中，，，则（    ）
A．16 B．32 C．12 D．18



26．（2022·上海市大同中学高二）已知数列的前项和为，，且对任意的均有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（    ）
①存在实数，使得为等差数列；
②存在实数，使得为等比数列；
③若存在，使得，则实数唯一.
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
27．（2022·陕西·白水县白水中学高二阶段练习）已知正项等比数列中，成等差数列，其前n项和为，若，则为（    ）
A． B． C． D．
28．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知等比数列的公比，则（    ）
A． B． C． D．3
29．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））已知是等差数列，，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若等比数列满足，，求的通项公式.
30．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为等差数列的前项和，求使成立的的最大值.








【高分突破】
一：单选题
31．（2022·全国·高二）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（    ）

A． B．1 C． D．
32．（2022·福建省龙岩第一中学高二）在正项等比数列中，若存在两项，使得，且，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
33．（2022·全国·高二）已知数列满足，则（    ）．
A． B．
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
34．（2022·全国·高二课时练习）在1和10之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，则（    ）
A． B．11 C．44 D．52

二、多选题
35．（2022·甘肃·高台县第一中学高二期中）已知数列是等比数列，下列结论正确的为（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
36．（2022·甘肃·白银市第九中学高二）已知等比数列 ，=1， ，则（     ）.
A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列 D．数列 是递增数列
37．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
38．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知在数列中，，，其前项和为，则（    ）
A．当时，
B．当时，数列是递增数列
C．
D．对任意，存在，使得数列成等比数列
39．（2022·福建·莆田第二十五中学高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（       ）
A．
B．数列是公比为28的等比数列
C．若，则数列的前2020项和为4040
D．若，则数列的前2020项和为
40．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．是中最小的项
D．使成立的的最大值为18
41．（2022·江苏南京·高二期末）正项等比数列中，、、成等差数列，且存在两项使得，则（    ）
A．数列公比为 B．的最小值是
C． D．的最小值是
42．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二期中）已知数列满足：，，下列说法正确的是（    ）
A．，成等差数列 B．
C． D．，一定不成等比数列

三、填空题
43．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二期中）已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则__________．
44．（2022·陕西·西安中学高二期中）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.
45．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的_______倍.
46．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））已知3为，的等差中项，2为，的等比中项，则___________.
47．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））在正项等比数列中，，则______．
48．（2022·浙江·高二期末）已知数列满足，对于每一个，，，构成公差为2的等差数列，，，构成公比为的等比数列，若，不等式恒成立，则正整数的最小值为______.


四、解答题
49．（2022·甘肃·敦煌中学高二期中）已知数列为等比数列，，，．
(1)求；
(2)若数列满足，，求．
50．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）在等比数列中，，公比，且，又有4是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前21项和．
51．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的首项，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

【答案详解】
1．D
【分析】设公比为，依题意可得即可求出，最后根据计算可得.
【详解】解：设公比为，由，，
所以，所以.
故选：D
2．B
【分析】设等比数列的公比为，则，根据题意可得出、的等量关系，即可求得数列的公比.
【详解】设等比数列的公比为，则，
由题意可得，即，则，故.
故选：B.
3．C
【分析】根据对数运算求得的关系式，判断是等比数列，结合等差数列的性质求得正确答案.
【详解】由于，
所以，所以，
所以数列是公比的等比数列.
由于，所以，
所以.
故选：C
4．C
【分析】由等差数列的性质，通项公式以及等比数列的性质求解即可
【详解】因为，故，解得．
又成等比数列，
所以．
设公差为d，
所以，整理得，
因为，所以．
故选：C
5．A
【分析】根据题意先得，变形可得，进而等比数列的性质可得答案．
【详解】根据题意，正项等比数列中，
若，则有，
又，，
所以．
故选：A．
6．B
【分析】利用等差数列的性质求出，再由，，成等比数列，求出，最后根据等差数列的通项公式可求出结果.
【详解】因为，所以，解得．
又，，成等比数列，所以，
设公差为d，所以，
整理得，因为，所以，
从而．
故选：B
7．A
【分析】利用对数运算性质、等比中项可得且，根据已知有，即可求公比.
【详解】令公比为，
由，故且，
所以，则，
又，则，
所以，
综上，.
故选：A
8．B
【分析】由等比数列的性质计算．
【详解】是等比数列，则，，，
，
故选：B．
9．C
【分析】由等比数列性质求出公比，将原式化简后计算
【详解】设等比数列{}的公比为，则＝，＝，所以＝=.
又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，
＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，
所以＋＋＋＝2＋1＝3.
故选：C
10．A
【分析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案.
【详解】因为，，且q为整数，
所以，，即q=2.
所以.
故选：A
11．D
【分析】利用等比数列的性质进行求解即可.
【详解】设该等比数列的公比为，
因为，
所以由，
所以，
故选：D
12．A
【分析】根据题中条件求出等比数列的公比，再由可计算出的值.
【详解】设等比数列的公比为，，
，，故选A.
【点睛】本题考查等比数列性质的应用，在求解等比数列的问题时，一般要结合题中条件求出公比的值，充分利用等比数列的性质求解，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.
13．C
【分析】分析可知，分、两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的的取值范围，即可得出结论.
【详解】因为，若，则数列为摆动数列，与题意不符，所以，.
①若，则对任意的，，由可得，即；
②若，则对任意的，，由可得，此时.
所以，为递增数列的充要条件是，或，    ，
当，时，，则；
当，时，，则.
因此，数列为递增数列的充要条件是.
故选：C.
14．D
【分析】根据指数函数单调性和单调性的性质逐项分析即可．
【详解】对于A，，，则单调递减，故A不符题意；
对于B，，，则会随着n取奇数或偶数发生符号改变，数列为摆动数列，故B不符题意；
对于C，，，则为常数数列，不具有单调性，故C不符题意；
对于D，，，∵，y=在R上单调递减，故为递增数列，故D符合题意．
故选：D﹒
15．A
【分析】由题意转化条件得数列的连续四项在集合中，结合等比数列的性质即可得解.
【详解】，且数列有连续四项在集合中，
，数列的连续四项在集合中，
因为是等比数列，等比数列中一定有正项和负项相邻，则，所以等比数列各项的绝对值递增或递减.
按绝对值的顺序排列上述数值得，相邻两项相除，
则可得是数列的连续四项，
或（舍去）
故选:A.
16．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据等比数列的定义证明；
（2）由（1）求得后可得，利用作商的方法得出，从第2项开始递增，从而易得最小项．
（1）
因为，,
所以是首项为1，公比为的等比数列；
（2）
由（1）得，所以，则
当时，，；②当时，，，又，所以，
所以，即.
17．(1)，
(2)证明见解析，

【分析】（1）由数列的递推关系，令和即可求出答案；
（2）由题意可求出，即可求出数列是首项为，公比为的等比数列，即可求出的通项公式.
（1）由，令，则，令，则故，；
（2）．因为，所以数列的各项均不为0，所以，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
18．(1)；
(2)不存在，证明见解析.

【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当时，”变形，构造数列即可求解作答.
（2）假定存在符合条件的三项，列出等式，结合的单调性推理作答.
（1），，则当时，，即，而，因此，数列是公比为2的等比数列，则，即，所以.
（2）记，由（1）知，，不妨假设存在三项成等差数列，则，因为，所以，令，则，于是有对是递增的，则，即，因此，即，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列中不存在成等差数列的三项．
19．D
【分析】结合已知条件，求出的通项公式，然后求解当时的范围，进而可得到答案.
【详解】因为等比数列满足，，
所以，
从而，
故，则数列是单调递减数列，
当时，，
故.
故选：D.
20．C
【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可知，由得，设，则，利用一次函数和指数函数的性质，结合图形，可得时；时；时，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为()，
若，则，得，解得，不符合题意；
所以，得，又，
令，得，即①，
设，则且，
所以①式变为，
由题意，知和是方程的两个解，
令，且，
则一次函数与指数函数的图象至少有2个交点，
作出两个函数图象，如图，
        
当函数与单调递增或递减时，才会有2个解，
且无论哪种情况，都有时，；
时，；时，；
所以，，，，
即，，，.
故选：C.
21．D
【分析】根据等差中项得到，根据等比中项得到，计算得到答案.
【详解】a是4与6的等差中项，故，
b是与的等比中项，则，则，或.
故选：D
22．D
【分析】根据等差数列和等比数列的性质列方程组求解．
【详解】因为，，成等差数列，而，，和，，都分别成等比数列，
所以，解得､､，
故选：D.
23．A
【分析】由题意求得，则可得，根据其单调性可得，化简可得恒成立，即可求得答案.
【详解】由题意数列满足，可知，是以2为首项，2为公比
的等比数列，
所以 ，所以,
因为数列是递增数列，所以 ，对于任意的恒成立，
即,即恒成立 ,
因为时,取得最小值3 ，
故 ，即实数的取值范围是 ，
故选：A,
24．D
【分析】设原来的三个数为、、，根据题意可得出关于的等式，解出的值，即可得解.
【详解】设原来的三个数为、、，
由题意可知，，，，且，
所以，，即，解得或.
则的所有取值中的最小值是.
故选：D.
25．A
【分析】利用等比数列的性质求出公比，代入计算即可.
【详解】由题，
则
故选：A.
26．A
【分析】先求出，由此容易判断①②，对于③，当为偶数时，，当为奇数时，，若存在，使得，则，且，由此可分为奇数和偶数讨论即可判断
【详解】因为，
所以，则，
所以数列、为等差数列，且公差为2，
由，得，
所以，
①当时，，所以，所以为等差数列，①对；
②若存在实数，使得为等比数列，则，即，
因为方程组无解，所以不可能为等比数列，②错；
③当为偶数时，因为，， ，，
将上述各式相加，可得，
当为奇数时，，
若存在，使得，所以，且，
当为偶数时，，解得；
当为奇数时，，解得，
所以不唯一，③错．
故选：A
27．B
【分析】根据等差等比数列的性质，列出相应的方程，求出，进而利用等比数列通项公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为q，．因为成等差数列，所以．又因为；，所以．所以．
故选B．
28．B
【分析】利用等比数列通项公式化简求解即可.
【详解】解：因为等比数列的公比，
所以.
故选：B.
29．(1)，
(2)

【分析】（1）根据条件列出方程求出公差即可得解；
（2）根据条件列出方程求出公比，即可得出通项公式.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则.
∴，
.
（2）设等比数列的公比为，
由，，可得，
∴的通项公式为.
30．(1)；
(2)13.

【分析】（1）根据等差数列的性质及等比中项列出方程求出公差，即可得通项公式；
（2）由前n项和公式求和，解不等式即可求解.
（1）
因为，所以，
设等差数列的公差为，
由，则，解得，
所以.
（2）
由可得，

由  得
又，所以的最大值为13.
31．A
【分析】设第n个正三角形的边长为，根据已知条件可得，由等比数列的定义写出通项公式并求，即可得最小的正三角形的面积.
【详解】设第n个正三角形的边长为，则，
由勾股定理知，
所以，又，则，
所以是首项为243，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，故最小的正三角形的面积为.
故选：A
32．A
【分析】设等比数列的公比，利用等比数列的通项公式求得，结合进行讨论求解.
【详解】设等比数列的公比，（其中），
因为，可得，
即，解得或（舍去）
又因为，所以，
即，所以，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
综上所述，的最小值为.
故选：A.
33．C
【分析】依题意可得，即可得到数列是常数数列，即可判断.
【详解】解：因为，
所以，即，所以，故A、B错误；
因为，所以数列是等差数列，故C正确；
显然数列是常数数列，若，则，则不是等比数列，故D错误；
故选：C
34．C
【分析】由条件结合等比数列通项公式求出，再根据指数运算性质及等差数列求和公式求出，由此可求，再由等差数列求和公式求的值.
【详解】设这个数构成的等比数列为，则，，所以．又，所以．故．
故选：C．
35．BD
【分析】A选项，设出公比，得到，当时，，A错误；
B选项，由得到，从而得到；
C选项，由得到，从而得到；
D选项，根据得到，由等比数列通项公式的性质计算，结合基本不等式得到.
【详解】设等比数列的公比为，由，得到，
因为，所以，
则，若，则，此时，A错误；
若，则，故，则，B正确；
若，则，故，则，C错误；
若，则，不等式两边同除以，得到，
所以，D正确.
故选：BD
36．ACD
【分析】求出数列与的通项公式，再判断是否是等比或等差数列；等差数列的单调性决定于公差的正负，等比数列的单调性决定于首项的正负和公比与1的大小.
【详解】由=1，得，，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确；
，数列 是递增的等差数列，故C，D正确.
故选：ACD.
37．ABC
【分析】根据等比数列的通项公式及所给条件得到，即可判断A、B，再根据数列的单调性判断C，最后根据下标和性质判断D；
【详解】解：等比数列的公比为，若，则．
由，可得，则数列各项均为正值，
若，则，，则，故A正确；
所以，故B正确；
根据，可知是数列中的最大项，故C正确；
由等比数列的性质可得，
所以，故D错误．
故选：ABC
38．CD
【分析】通过计算判断AC选项的正确性，利用特殊值判断B选项错误，根据等比数列的知识判断D选项的正确性.
【详解】A选项，当时，，
由于，所以，……，
以此类推，可知此时数列的奇数项为，偶数项为，，所以A选项错误.
C选项，，，，
，所以C选项正确.
B选项，不妨设，根据C选项的分析可知，
此时数列不是递增数列，所以B选项错误.
D选项，当时，由得，
，
要使数列成等比数列，则，
即任意，存在，使数列成首项为，
公比为的等比数列，所以D选项正确.
故选：CD
39．BCD
【分析】应用等差数列的前n项和、通项公式求基本量可得，进而判断A，再由及等比数列的定义判断B，应用分组求和、裂项求和判断C、D.
【详解】由题设，，则，
若等差数列的公差为，故，而，
所以，则，
，A错误；
，易知是公比为28的等比数列，B正确；
，则前2020项和为，C正确；
，则前n项和为，
所以前2020项和为，D正确.
故选：BCD
40．AC
【分析】对于A：利用直接求出；对于B：由解得，即可得到；对于C：判断出时，；时， 得到是中最小的项；对于D：直接求出使成立的的最大值为17.
【详解】对于A：因为，所以，所以，所以.故A正确；
对于B：因为，所以时，，所以数列为递增数列.
因为，所以，所以.故B错误；
对于C：因为数列各项均为正数，前项积为，且时，有，所以，即；时，有，所以，即；所以是中最小的项.故C正确.
对于D：因为，而，
所以使成立的的最大值为17.故D错误.
故选：AC
41．ABC
【分析】设等比数列的公比为，则，，根据题意可得出关于的方程，解出正数的值，可判断A选项；利用等比数列的通项公式可判断C选项；列举出的可能取值，可判断BD选项的正误.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
由已知，可得，，则，A对；
因为，则，可得，可得，C对；
因为、，且，
当，时，；当，时，；
当时，；当，时，；
当，时，.
综上所述，的最小值为，B对D错.
故选：ABC.
42．BCD
【分析】根据题意得，再结合数列单调性与得，可判断B选项；由递推关系式易得，进而可判断A选项；根据数列单调性得，进而可得判断C；利用反证法先假设，成等比数列，推出之间的公比为，结合可以得到成等比数列，与矛盾，故假设不成立，可判断D
【详解】解：因为，
所以，且，
所以①，
所以②
所以，②-①整理得：
因为，
所以数列为单调递增数列，
所以，即，故B选项正确；
对于A选项，若，成等差数列，则成等差数列，由递推关系得，显然不满足等差数列，故A选项错误；
对于C选项，因为，数列为单调递增数列，
所以，即，
所以，因为，所以，
所以，从第2项起，数列介于以为首项，公比分别为和为公比的等比数列对应项之间，
所以，故C选项正确；
对于D选项，假设，成等比数列，设之间的公比为，
由可得即，
因为，所以，解得，
因为为单调递增数列，所以，
由可得，即整理得，所以成等比数列，
所以以此类推能得到成等比数列，与矛盾，故假设不成立，故D正确；
故选：BCD
【点睛】本题关键点在于通过数列的递推关系式以及等差数列、等比数列研究数列的性质，D选项中反证法的应用是本题的重难点，注意掌握加以应用.
43．
【分析】首先根据等比中项求出和，再求出公比，再利用等比数列通项即可求.
【详解】由题意可知，是和的等比中项，，又是和的等比中项，
.又，，
而.
故答案为：
44．
【分析】由构造法和与关系求解
【详解】由题意得，而，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
，，当时，，也满足此式，
综上，
故答案为：
45．
【分析】根据已知条件求得正确答案.
【详解】依题意“上一级的进光量是下一级的2倍”，
从F4调整到F1.4，下调了级，所以进光量为原来的倍.
故答案为：
46．##1.5
【分析】根据等差、等比中项即可代入求值.
【详解】由等差、等比中项可得，所以，
故答案为：
47．2
【分析】依据等比数列的性质和对数运算规则即可解决．
【详解】在正项等比数列中，，
所以，
所以，，
．
故答案为：2
48．9
【分析】由数列的递推关系，可得，故是以为首项，公比为的等比数列，
可得的通项公式及值域，进而可得、、的通项公式及值域，
则条件中的恒成立等价于恒成立，即或，即可得正整数的最小值.
【详解】，，，，∴，
∴是以为首项，公比为的等比数列，∴，∴，
则，，，
则，不等式恒成立，等价于或，即或，故正整数的最小值为9.
故答案为：9
【点睛】本题关键是利用数列的递推关系，构造新数列，从而求出通项公式，再将条件中不等式因式分解，根据数列的值域，将恒成立等价成或，从而求得t的范围
49．(1)
(2)

【分析】（1）设公比为，由已知得，又，，求解得值，即可得；
（2）因为，，所以用累加法可求.
【详解】（1）解：数列为等比数列，设公比为，因为，，所以
又，所以，解得：或（舍）
所以.
（2）解：，所以，又
则
.
50．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，求得和，进而求得的值，即可求解；
（2）由（1）得到和，进而求得数列的前项的和.
（1）
因为，可得，即，
又因为，所以，
因为4是和的等比中项，所以，
即与是方程的两个根，且，
所以，即，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）
由，可得，则，
则数列的前项和为，
当时，，所以；
当时，，
所以
.
51．(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析

【分析】（1）由两边取倒数，再减去1得到，再计算，故证得结论；
（2）由（1）知的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得；
（3）先假设存在，则则，，将代入化简得到，利用基本不等式推得矛盾，故假设不成立，即不存在.
（1）
因为，所以，
即，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）
由（1）可求得，
所以，即．
（3）
假设存在，则，，
即，化简得．
因为，当且仅当时等号成立．
又因为m，n，s互不相等，所以不存在．