高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列同步练习题，共35页。
4.3.2等比数列的前n项和公式
【考点梳理】
考点一　等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式
Sn＝
Sn＝

考点二　等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．
考点三：等比数列前n项和的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注意：
(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．









【题型归纳】
题型一：等比数列前n项和公式的基本运算
1．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ）
A． B．1 C．2 D．4
2．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（    ）
A． B．32 C．64 D．
3．（2022·新疆·乌市八中高二期末（理））已知正项等比数列的前项和为，，则（    ）
A． B． C． D．

题型二：等比数列的片段和性质的应用
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（    ）
A．B．C． D．
5．（2022·辽宁·高二期中）等比数列的前n项和为，若，，则（    ）
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12
6．（2022·安徽滁州·高二期中）若等比数列的前n项和为，，，则（    ）
A． B． C． D．

题型三：等比数列奇偶项和的性质
7．（2022·全国·高二）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ）
A．5 B．7 C．9 D．11
8．（2021·全国·高二）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
9．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5

题型四：等比数列中an与Sn的关系
10．（2022·河北·石家庄二中高二期中）已知为数列的前n项和，，那么（    ）
A．－4 B． C． D．
11．（2021·黑龙江牡丹江·高二）设等比数列的前n项和为，，，，则m等于（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2022·江苏泰州·高二期末）设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（    ）
A． B． C． D．

题型五：等比数列的简单应用
13．（2022·北京顺义·高二期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（    ）斗粟
A． B． C． D．
14．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（    ）
A．4 B．12 C．16 D．20

15．（2022·吉林·东北师大附中高二阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（    ）
A．86里 B．172里 C．96里 D．192里

题型六：等比数列前n项和综合问题
16．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：,数列的前n项和
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和．


17．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列满足
(1)求出数列的通项公式；
(2)已知数列前项和为，满足.数列满足，试求数列前项和为


18．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.








【双基达标】
一、单选题
19．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））在数列中，，，则（    ）
A．958 B．967 C．977 D．997
20．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）在等比数列中，为其前n项和，且，则它的公比q的值为（    ）
A．1 B． C．1或 D．1或
21．（2022·福建漳州·高二期中）若正项数列满足，，则（    ）
A． B． C． D．
22．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是（    ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列
23．（2022·陕西·千阳县中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，若前项和为9，则项数为（    ）
A．99 B．100 C．101 D．102
24．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日居讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫最后5天所屠肉的总两数为（    ）
A． B． C． D．
25．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）设数列满足，，数列的前n项和为，则（    ）
A． B． C． D．
26．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（    ）．
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递减数列 D．的前n项和
27．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，若，，则（    ）．
A．31 B．63 C．123 D．1023
28．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的图象过点，且，．记数列的前n项和为，则（    ）
A． B． C． D．
29．（2022·山西省浑源中学高二阶段练习）已知数列为等比数列．
(1)若，，求．
(2)若，，，求．
30．（2022·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知数列满足，且，数列是各项均为正数的等比数列，为的前n项和，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求的取值范围.

【高分突破】
一：单选题
31．（2022·全国·高二）已知等比数列的首项为1，公比为2，则（    ）
A． B． C． D．
32．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（    ）
A．64 B．63 C．127 D．128
33．（2022·辽宁丹东·高二期末）记为等比数列的前n项和，若，则的公比q=（    ）
A． B． C． D．2
34．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
35．（2022·辽宁·高二期末）已知数列，定义数列为数列的“2倍差数列”.若的“2倍差数列”的通项公式，且，则数列的前项和（    ）
A． B． C． D．
36．（2022·北京八中高二期末）已知数列的各项均为正数，且满足(为常数，．给出下列四个结论：
①对给定的数列，设为其前n项和，则有最小值；
②若数列是递增数列，则；
③若数列是周期数列，则最小正周期可能为2；
④若数列是常数列，则
其中，所有正确结论的个数是（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
37．（2022·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
38．（2022·福建漳州·高二期中）已知数列的前n项和为，，，且，则下列说法正确的是（    ）
A．数列的通项公式为 B．若，则
C．数列为等比数列 D．
39．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（    ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和为
40．（2022·浙江·高二期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ）
A．为等差数列 B．
C． D．的最大值为
41．（2022·甘肃·高台县第一中学高二期中）树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第天募得的捐款数为元.若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（    ）
A．
B．甲小组募得捐款为9550元
C．从第7天起，总有
D．且
42．（2022·广东茂名·高二期末）若等差数列的前n项之和为，公差为d，等比数列的前n项之和为，公比为q（），若，则下列各选项正确的是（    ）
A． B．
C． D．





43．（2022·福建省诏安县桥东中学高二期中）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…．记图1中正方形的个数为，图2中正方形的个数为，图3中正方形的个数为，…，图中正方形的个数为，下列说法正确的有（    ）

A． B．图5中最小正方形的边长为
C． D．若，则图中所有正方形的面积之和为8

三、填空题
44．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二期中）已知等比数列的前n项和为，且，，则__________．
45．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列的前n项的和，若数列为等比数列，则的值为___________．
46．（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为__________．
47．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知数列 ​满足:​， 则数列​的前​项和​为_______
48．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.
49．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）
①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．

四、解答题
50．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）已知各项为正数的数列前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列前n项和为，求证：．

51．（2022·福建龙岩·高二期中）已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，．
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．

52．（2022·江苏苏州·高二期中）已知等差数列前项和为，且满足．
(1)求的值；
(2)设为的等比中项，数列是以为前三项的等比数列，试求数列的通项及前项和的表达式．

53．（2022·江苏·常熟中学高二期中）已知数列的前n项和为，，数列是首项为3，公比为3的等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围；
(3)若，求出所有的有序数组（其中），使得依次成等差数列？（本小题给出答案即可，无需解答过程）

【答案详解】
1．B
【分析】排除的情况，根据等比数列求和公式解得，再根据计算得到答案.
【详解】当时，，即，，不成立；
当时，，即，解得.
，.
故选：B.
2．B
【分析】利用等比数列的通项公式和前n项和公式求解.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，由题意知，
因为S3=，S6=，
所以，
解得，
所以.
故选：B
3．C
【分析】先利用等比数列的性质解得，在结合，即可解得与，最后代前项和公式即可求解
【详解】设正项等比数列的公比为

而，则，所以，所以
，解得
故选：C
4．A
【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.
【详解】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
5．A
【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；
【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，
所以，则．
故选：A
6．D
【分析】根据已知条件，利用等比数列片段和的性质直接写出.
【详解】，，
由等比数列片段和的性质：，，，，…成等比数列，
所以，则．
故选：D
7．A
【分析】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论．
【详解】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；
故选：
【点评】本题考查等比数列的求和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．
8．B
【分析】根据已知条件得出数列的奇数项和偶数项之间的关系，可求得公比，再由等比中项和前3项之积可求得，从而求得首项.
【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，
设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，
∴，∵,∴解得，
又前3项之积，解得，∴.
故选:B.
【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等比中项，以及奇数项和偶数项的关系，属于基础题.
9．B
【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.
【详解】设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
10．C
【分析】根据，利用数列的通项和前n项和的关系，求得数列的通项求解.
【详解】因为，
当时，，
当时，由
得，
两式相减得，
即，又，
所以是等比数列，
，则，
故选：C
11．B
【分析】利用前n项和为与的关系，可列式求出公比的值，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，因为，，
故，
∴或.
当时，满足题意，，
当时，与都矛盾，不成立.
故选：B.
12．C
【分析】设，项和转换，求解即可
【详解】由题意，
设
则


故选：C
13．B
【分析】牛主人应偿还x斗粟，由题意列方程即可解得.
【详解】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，
所以，解得：.
故选：B
14．C
【分析】利用给定条件，构造等比数列并借助等比数列前n项和求解作答.
【详解】依题意，每轮感染人数依次组成公比为9的等比数列，经过n轮传播感染人数之和为：
，得，
显然是递增数列，而，则，而每轮感染周期为4天，
所以需要的天数至少为16.
故选：C
15．D
【分析】根据题意可知，此人每天走的路程形成等比数列，公比为，再根据等比数列的前项和公式即可解出．
【详解】设此人第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可形成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．
故选：D．
16．(1)
(2)

【分析】(1)根据数列的递推关系式判断数列类型求出通项公式,根据的前n项和,利用,求出数列的通项公式即可,注意检验;
(2)根据数列通项公式的特殊性,利用错位相减法,求出其前n项和即可.
【详解】（1）解:由题知
,
是以2为公比的等比数列,
,
的前n项和,
时,


当时,,
故,
综上:;
（2）由(1)知,
,

,①
,②
②-①可得:



故.
17．(1)
(2)

【分析】（1）根据的前项和与的关系，采用相减的方式求解数列的通项公式；
（2）根据数列前项和为与的关系，求解，设确定其单调性，得，最终按照分组求和的方法得.
【详解】（1）解：已知数列满足
当时，，
当时，
两式相减得：
时满足上式，所以.
（2）解：已知数列前项和为，满足
当时，，所以
当时，
两式相减得：，整理得
所以，且
则，，，……，
累加得：
所以，则，
且，均满足上式，所以
所以
设，则

故数列为单调递增数列
又，所以当时，恒成立
所以
则
.
18．(1)；
(2).

【分析】（1）根据时，得到，，再结合，得到数列为等差数列，然后求通项即可；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，则，整理得，
又，所以，数列为等差数列，
所以.
（2）由（1）得，设数列的前项和为，
，
，
两式相减得：

，
所以.
19．C
【分析】首先通过累加法求得，再利用分组求和的方法求出，代入即可.
【详解】，，则



上述式子累加得
，

，
故选：C.
20．C
【分析】分类讨论q是否为1，结合等比数列前n项和公式，即可解得q的值.
【详解】当q=1时，，满足.
当时，由已知可得，
，显然，.
所以，有，解得，q=1（舍去）或.
综上可得，q=1或.
故选：C.
21．B
【分析】由递推公式推出数列的通项公式，得到数列的通项公式，根据数列特征求和.
【详解】由，得，又是正项数列，所以，，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，.
，，，
可得数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以.
故选：B.
22．C
【分析】根据已知条件，令代入，求得，判断A;结合数列前n项和与的关系式，求出时，结合，判断C,求出，即可判断B;利用可得，进而推出，即可判断D．
【详解】由题意数列的前项和为，，且，
则，即，即选项A正确；
∵①，
∴当 时，②，
①-②可得，，即，
，不满足 ，
故数列不是等比数列，故C错误，
由时，可得，，则，
故，故B正确；
由得：,
则，即，
故是首项为，公比为3的等比数列，D正确，
故选︰C．
23．A
【分析】化简，利用裂项相消求出数列的前项和，即可得到答案
【详解】假设数列的前项和为，
因为，
则数列的前项和为，
当前项和为9，故，解得，
故选：A
24．C
【分析】由题得屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，利用等比数列的通项和求和公式得解.
【详解】解：由题得屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，
所以第26天屠的肉的两数为，
所以最后5天屠的肉的总两数为.
故选：C
25．A
【分析】由题意可得，判断数列为首项为1，公比为2的等比数列，即可求得答案.
【详解】由，可得，又，所以，
所以，即数列为首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
故选：A.
26．D
【分析】由两边取倒数求得的通项公式，对各选项进行分析判断，即可得答案.
【详解】由两边取倒数：，即，又，
所以首项为4，公比为2的等比数列，A正确.
，即，B正确.
由通项公式知：为递减数列，C正确.
因为，所以 ，D错误.
故选：D
27．A
【分析】由题意可知数列是以1为首项，为公比的等比数列，从而可得是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】因为数列中，若，，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
故选：A
28．D
【分析】先利用点求出，代入得，接着进行求和即可求出答案
【详解】由，可得，解得，则，
所以，
所以，
故选：D
29．(1)或
(2)

【分析】（1）利用等比数列的性质先求出公比，然后计算即可；（2）所有的数利用表示，解方程组，然后计算出首项和公比，计算出，求解即可.
【详解】（1）因为，，所以，得
当时，
当时，
（2）因为，
得，，解得，所以
所以，得，所以
30．(1)
(2)

【分析】（1）由递推关系化简可证明数列为等差数列，再由通项公式求解即可；
（2）根据错位相减法求和后做差判断单调性，利用单调性求取值范围.
【详解】（1）由，
∴（常数），
故数列是以为公差的等差数列，且首项为，
∴，
故；
（2）设公比为q（），由题意：，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴，
∴，
有，
两式相减得

，
∴，
由，知在上单调递增，
∴.
31．D
【分析】确定数列是首项为1，公比为4的等比数列，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】因为等比数列的首项为1，公比为2，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，
所以,
故选：D
32．B
【分析】设正项递增等比数列的公比为，根据题意求得，，利用等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】设正项递增等比数列的公比为，
因为，所以，
又因为，可得，解得或（舍去），
又由，解得，所以.
故选：B.
33．B
【分析】根据等比数列的性质，即可求公比.
【详解】，所以，即.
故选：B
34．A
【分析】根据的关系求出的通项公式，继而求出的通项公式，再用裂项相消法求出，进而得解.
【详解】因为数列中，，所以，所以，所以．因为，所以，
所以．因为数列是递增数列，当时，，当时，，，所以，所以的取值范围为．
故选：A．
35．A
【分析】由可得，从而得数列表示首项为，公差的等差数列，求得，再根据错位相减法即可得.
【详解】根据题意得，
，
数列表示首项为，公差的等差数列，
，
，
，

，
，
.
故选：A.
36．C
【分析】利用数列的各项均为正数以及前项和表达式判断①；若数列是递增数列，则有，进而根据已知条件化简式子求出的取值情况判断②；若数列是最小正周期为的数列，则有，对和取特殊值验证判断③；若数列是常数列，设，则，从函数的角度求的取值情况判断④.
【详解】对于①，在数列的各项均为正数的情况下，设为其前n项和，
则，易知递增，因此有最小值，①正确；
对于②，若数列是递增数列，则成立，又，
成立，即成立，则，②错误；
对于③，若数列是最小正周期为的数列，则，
即成立，
当，时，上式成立，数列是最小正周期为的数列，③正确；
对于④，若数列是常数列，设，则，
令，则，，
，④正确.
综上所述，所有正确结论的个数是个.
故选：C.
37．AB
【分析】根据题意，分情况进行讨论，然后利用等差中项的性质即可求解.
【详解】若公比有，，，
此时，故公比，
由题意，
化简有，两边同时乘以，可得：；
两边同时乘以，可得：
故有或，
选选：AB.
38．ABD
【分析】对于选项A，因为，所以，从而判断出为等比数列，从而求出的通项公式；
对于选项B，通过选项A中为等比数列，判断出为等比数列，从而得到答案；
对于选项C，因为的通项公式已知，通过分组求和得到，从而判断出是否为等比数列；
对于选项D，通过选项A和D可以得到和，从而判断是否正确.
【详解】对于选项A，，则，又，故数列是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，故A正确；
对于选项B，，则为等比数列，所以，故B正确；
对于选项C，由，得，又，则数列不是等比数列，故C错误；
对于选项D，易得，即，故D正确.
故选：ABD
39．AD
【分析】取倒数后由构造法得为等比数列，得通项公式后对选项逐一判定
【详解】由题意得，则，而，
故是首项为，公比为的等比数列，
，得，为递减数列，故A正确，B，C错误，
对于D，，的前项和为，故D正确，
故选：AD
40．AD
【分析】由题意先判断出，所以公比为，即，即可判断B；
对于A：求出的通项公式，即可判断；对于C：利用等比中项，即可判断；
对于D：利用单调性直接求出的最大值为.
【详解】因为等比数列满足，，，
所以，所以公比为，即.故B错误.
对于A：，所以，即为等差数列.故A正确；
对于C：.故C错误；
对于D：因为，所以，
所以当时，，即；当时，即.所以的最大值为.故D正确.
故选：AD
41．AC
【分析】利用等差数列求和公式求出甲小组两周的募捐的钱数，得到B错误；
利用等比数列求和公式及分组求和，得到乙小组两周募捐的钱数，得到D错误；
计算出，比较得到大小；
令，先计算出，再结合数列单调性得到答案.
【详解】由题可知且，
设代表第天甲小组募得捐款，且，
对于甲小组，，
所以，所以，
所以且，
所以，故选项B不正确；
设代表第天乙小组募得捐款，由题可知，，
所以
，
，故选项D错误；
因为，故该选项A正确；
选项C，令，所以，
而当时，，
所以数列为递增数列，因此，所以，故选项C正确.
故选：AC
42．AD
【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式表示出，，再求出并与已知等式比对即可分析计算作答.
【详解】依题意，，，
，
而，
于是得，且，即，整理得：，即B，C不满足，A，D满足.
故选：AD
43．BCD
【分析】将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，可以求出数列的通项公式，然后分别验证各选项.
【详解】将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列前项和可知.
选项A：，A错误.
选项B：又因自下而上每一“层”的正方形的边长也称等比数列，且公比为，所以每“层”正方形边长,所以，B正确.
选项C：
，C正确.
选项D：解得，每一“层”的面积和，
所以当时所有正方形的面积之和为8,D正确.
故选：BCD
44．62
【分析】利用等比数列的通项关系先求公比，再利用前n项和公式求解即可
【详解】在等比数列中，公比为，则，解得：，
所以.
故答案为：62
45．
【分析】先利用等比数列前项的关系算出，然后再检查算出的值能否保证所有项成等比数列.
【详解】数列为等比数列，则其前项成等比数列，即，
由，，
，，故，
解得. 此时，时，
当，，故符合，于是时，，数列为等比数列.
故答案为：
46．
【分析】设正项等比数列的公比为，根据等比数列的前项和公式，即可求出公比，再根据等比数列的性质可知，由此即可求出结果.
【详解】设正项等比数列的公比为，
当时，，不能同时成立；
当时，因为为正项等比数列的前项和，且，
所以，即
所以，所以（（舍去）），
又，所以的值为.
故答案为：.
47．
【分析】类比与的关系，分类讨论与两种情况，证得，再代入，从而利用分组求和法即可求得.
【详解】因为，
所以当​时，​， 故​；
当​时，​，则，
​两式相减得:​，故​，
经检验:满足，
所以当​时，​，
所以​，
故​.
故答案为：.
48．4
【分析】利用等比数列的性质先求出公比，再由等比数列前项和列出，即可得到答案
【详解】解：因为等比数列的前项满足，，
所以，所以公比，
所以，解得，
故答案为：4
49．②④
【分析】对于①，利用递推式得到，即是等比数列，故①错误；
对于②，求得，即可判断为严格增数列, 故②正确
对于③，利用错位相减法可求得，故③错误；
对于④，易得，故，故④正确．
【详解】由，两边都除以，可得，即，又，故，所以是首项为4公比为2的等比数列，故①错误；
所以，解得，所以为严格递增数列，故②正确；
的前n项和，
，
两式相减得，
所以，故③错误；
由可得，所以的前n项和，故④正确．
故答案为：②④.
50．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用求得的递推关系，得数列为等差数列，从而易得通项公式；
（2）由错位相减法求得和即可证．
【详解】（1）当n＝1时，，解得：．
当时，由得：，
因此，，又，
∴，即：是首项为1，公差为2的等差数列，
因此，的通项公式．
（2）依题意得：，，
∴，
两式相减，得：
，，因此，．
51．(1)；
(2)
(3)

【分析】（1）利用等差和等比数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）采用分组求和的方式，根据等比数列求和公式和裂项相消法可求得；
（3）将恒成立的不等式转化为，令，利用作差的方式可求得的单调性，得到，由此可得的取值范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得：，又，，
，.
（2）由（1）得：，
.
（3）由（2）得：对任意的，恒成立，
对任意的，恒成立；
令，则；
则当时，；当时，；
，，即实数的取值范围为.
52．(1)16；
(2)答案见解析.

【分析】（1）由等差数列通项公式和前项和公式列方程组即可求得首项和公差，进而得解；
（2）由为的等比中项可求得，分两种情况即可求解.
【详解】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，解得，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
因是等比中项，
所以有，即，
当时，数列是前三项依次为的等比数列，
其首项为，公比为，故有，

当时，数列是前三项依次为的等比数列，
其首项为，公比为，故有，
.
53．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）根据通项公式与前项和的关系，结合累加法求解即可；
（2）将题意转换为存在，使得成立，即求的最大值.再计算的正负区间，确定的最大项即可；
（3）逐步分析，先判断当时不满足，再分析当，时也不满足，从而得到，再分析时有两组解或，再证明当时，不成等差数列即可.
【详解】（1）∵，①
∴当时，，②
①②得：
即，
，
由累加法得：时，
，
所以，所以，
当时，亦满足上式，∴.
（2）因为数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，
因为存在，使得成立，所以存在成立，
令，则，
∵，
∴时，即，
当时，，故当或时，取得最大值，
又因为，所以.
所以实数k的取值范围为：
（3），由（2）知，因为，
且，故若，则，，
故，即不成等差数列，故.
若，则，又，
故不成等差数列，故.
当时，此时，
此时，解得.
此时或，，，为或，
当时，因为，且，故，即，
故，
即当时，.又，故，故不成等差数列.
综上所述，有序数组为或.