人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法课后测评

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法课后测评，共32页。
4.4　数学归纳法
【考点梳理】
考点一　数学归纳法
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
3. 数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．

【题型归纳】
题型一：数学归纳法证明恒等式
1．（2022·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ）
A．1 B． C． D．

2．（2021·全国·高二专题练习）已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．

3．（2019·河南·南阳中学高二阶段练习（理））已知，，使等式对都成立，
（1）猜测，，的值；
（2）用数学归纳法证明你的结论.


题型二：数学归纳法证明整除问题
4．（2021·河南·高二阶段练习（理））用两种方法证明：能被49整除．


5．（2018·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：
(1)能被264整除；
(2)能被整除（其中n，a为正整数）


6．（2017·江苏南通·高二期中）用数学归纳法证明：（）能被9整除.

题型三：数学归纳法证明数列问题
7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求，，，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
8．（2022·全国·高二课时练习）设数列满足，，且．
(1)计算，，猜测的通项公式，并加以证明．

(2)求证：．

9．（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.


题型四：数学归纳法证明不等式
10．（2021·全国·高二单元测试）在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列.记.
（1）求数列和的通项；
（2）当时，比较与大小并证明结论.

11．（2019·山西吕梁·高二期末（理））给出下列不等式：
，，，，
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.


12．（2019·江苏常州·高二期中（理））（1）是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出，，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.
（2）求证：对任意的，.


【双基达标】
一、单选题
13．（2022·上海市松江区第四中学高二期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立

14．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（    ）
A． B． C． D．
15．（2022·陕西西安·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（    ）
A．项 B．项 C．k项 D．1项
16．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（    ）
A．假设时命题成立
B．假设时命题成立
C．假设时命题成立
D．假设时命题成立
17．（2022·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
18．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））设，，．
(1)当时，试比较与1的大小；
(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

【高分突破】
一：单选题
19．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（    ）
A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
20．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（    ）
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4
21．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝”．在验证n＝1时，左端计算所得项为（    ）
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
22．（2022·全国·高二课时练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ）
A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立
23．（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（    ）
A．3k－1 B．3k＋1
C．8k D．9k
24．（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（    ）
A．a1＋(k－1)d B．
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
25．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（    ）
A． B．
C． D．



二、多选题
26．（2022·全国·高二专题练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（    ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
27．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．（2021·全国·高二专题练习）数列满足，，则以下说法正确的为（    ）
A．
B．
C．对任意正数，都存在正整数使得成立
D．
29．（2022·全国·高二专题练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立





30．（2022·全国·高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（    ）
A．过程全部正确 B．时证明正确
C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确
31．（2022·全国·高二课时练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ）
A．
B．
C．凸n边形的内角和为
D．凸n边形的对角线条数
三、填空题
32．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）若函数，且，则______________.
33．（2022·全国·高二课时练习）与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知______时该命题不成立．
34．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．
35．（2022·全国·高二专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.
36．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.
37．（2020·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是______________．
四、解答题
38．（2022·广西·桂林市第十九中学高二期中（理））设数列满足．
(1)求的值并猜测通项公式；
(2)证明上述猜想的通项公式．
39．（2022·广西·桂林市国龙外国语学校高二）请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
40．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列.
(1)求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：.
41．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知数列满足，前n项和．
(1)求，，的值并猜想的表达式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．
42．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列．已知，，．

(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，请用数学归纳法证明：．

【答案详解】
1．B
【分析】将代入不等式左边，比较两式即可求解.
【详解】当时，等式为，
当时，，
增加的项数为,
故选:B.
2．证明见解析
【分析】直接用数学归纳法的步骤，一步步的证明即可.
【详解】(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．
则当n＝k＋1时，
1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2
＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]
＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)
＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，
即当n＝k＋1时成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N*结论成立．
3．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）通过举例：得到三元一次方程组求解并猜测，，；（2）代入，，的值，利用数学归纳法的常规步骤去证明等式成立即可.
【详解】(1)假设存在符合题意的常数，，，
在等式中，
令，得 ①
令，得②
令，得③
由①②③解得 ，于是，
对于都有（*）成立．
(2)下面用数学归纳法证明：对一切正整数，（*）式都成立．
（1）当时，由上述知，（*）成立．
（2）假设时，（*）成立，
即
那么当时，


，
由此可知，当时，（*）式也成立．
综上所述，当时题设的等式对于一切正整数都成立．
【点睛】使用数学归纳法的注意事项：由到时,除等式两边变化的项外还要利用时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.
4．证明见解析.
【分析】分别利用二项式定理与数学归纳法进行证明即可.
【详解】证明：方法一：



因为为整数，
所以能被49整除．
方法二：（1）当时，，能被49整除．
（2）假设当，能被49整除，
那么，当，．
因为能被49整除，也能被49整除，
所以能被49整除，即当时命题成立，
由（1）（2）知，能被49整除．
5．(1)见解析
(2)见解析

【分析】利用数学归纳法进行证明，注意数学归纳法的格式．
（1）
当时，-264能被264整除，成立；
当时，假设能被264整除；
当时，

能被264整除，命题正确.
（2）
当时，能被整除，成立；
当时，假设能被整除；
当时，
能被整除.
6．详见解析.
【详解】试题分析：
利用数学归纳法的步骤首先验证n=1时成立，然后假设 命题成立，验证 等式成立即可.
试题解析：
（1）当时，能被9整除，所以命题成立
（2）假设当时命题成立，即（）能被9整除
那么，当时，




由归纳假设（）能被9整除及是9的倍数
所以能被9整除
即时，命题成立
由（1）（2）知命题对任意的均成立
点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.
7．(1)，，，；
(2)证明见解析.

【分析】(1)分别取①②代入计算出，，，并根据计算的结果猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明即可.
（1）
选条件①，
由题意可得，同理可得，，
猜想()．
选条件②，
由题意可得，∵，，∴，，
∴，同理可得，
猜想（）．
（2）
显然当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即（），
当时，由，可得=
（），
即当时，猜想成立，
综上所述，（）．
8．(1)，，
(2)证明见解析

【分析】（1）根据递推公式，计算并猜想，利用数学归纳法证明即可.
（2）由（1）得，利用放缩法当时，然后裂项相消即可证明不等式.
（1）
因为，，所以，
．猜测．
证明如下：①当时，显然成立．
②假设当时成立，即，则当时，

，
即当时，结论成立．综上所述，．
（2）
由（1）知，所以


，
故得证．
9．(1)，，；
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据递推关系写出，的值，由所得前3项猜想通项公式即可.
（2）应用数学归纳法，首先判断时通项公式是否成立，再假设时通项公式成立，进而利用关系求证是否成立即可.
(1)
因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
(2)
①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
10．（1）；（2）；证明见解析；
【分析】（1）由1，，，，，，成等比数列，结合等比数列的性质可得，，从而可求；1，，，，，，2这个数成等差数列．利用等差数列的性质可得从而可求．
（2）由（1）可求，，转化比较，的大小，先取，8，9代入计算，观察与的大小，做出猜想，利用数学归纳法进行证明．
【详解】（1），，，，，2成等比数列，
，
，
．
，，，，，2成等差数列，
，
．
所以，数列的通项，数列的通项．
（2），，
，，
要比较和的大小，只需比较与的大小，
也即比较当时，与的大小．
当时，，，得知，
经验证，时，均有命题成立．
猜想当时有．用数学归纳法证明．
①当时，已验证，命题成立．
②假设时，命题成立，即，
那么，
又当时，有，
．
这就是说，当时，命题成立．
根据①、②，可知命题对于都成立．
故当时，．
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识和性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．（1）（2）见解析
【分析】（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解；
（2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分 即得证.
【详解】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：
，，，，
猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，
所以，不等式的一般结论为：
（2）证明：①当时显然成立；   
②假设时结论成立，即：成立，  
当时，


  
即当时结论也成立.
由①②可知对任意，结论都成立.
【点睛】本题考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
12．（1）见解析； （2）见解析.
【分析】（1）对n进行赋值，代入，求解方程组可求,证明使用数学归纳法；
（2）利用数学归纳法的步骤证明.
【详解】（1）在等式 中
令得①；令得②；
令得③；由①②③解得
对于都有 成立.
下面用数学归纳法证明：对一切正整数，式都成立.
①当时，由上所述知式成立；
②假设当时式成立，
即 ，
那么当时，


综上：由①②得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等
式对于一切正整数都成立.
（2）证明：
①当时，左式，右式，所以左式