高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列复习练习题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题强化训练一：等差数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题
一、单选题
1．已知等差数列的前n项和为，且，则等于（  ）  
A．225 B．250
C．270 D．300
2．已知等差数列中，为其前项和，，则等于（    ）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（    ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
4．已知数列中，，，若，则（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a5＝（    ）
A．3 B．6 C．9 D．11
6．已知数列的前项和为，满足，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．
7．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（    ）尺.
A．1 B．1.25 C．1.5 D．2
8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第15项为（    ）
A．94 B．108 C．123 D．139
9．已知等差数列满足，若，则k的最大值是（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50 B．的最小值为50
C．的最大值为51 D．的最小值为51

二、多选题
11．已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（    ）
A．公差d的取值范围是 B．
C． D．的最小值为1
12．设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（    ）
A． B．
C．数列单调递减 D．对任意，有
13．记表示与实数x最接近的整数，数列通项公式为（），其前项和为，设，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
14．已知数列，为的前项和，其中，，则下列结论正确的是（    ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C． D．



15．如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（    ）

A． B． C． D．
16．已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．
C．数列为单调递增的等差数列
D．满足不等式的正整数n的最小值为63
三、填空题
17．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列结论正确的有________．(填序号)
①a2＋a3＝0；    ②an＝2n－5；
③Sn＝n(n－4)；    ④d＝－2.
18．已知数列满足，且，则数列的通项公式为______．
19．等差数列满足，则的取值范围是______．
20．已知数列为严格递增数列，且对任意，都有且．若对任意恒成立，则________．
21．数列满足：，，，若，则的最大值为______.
22．若数列满足:对任意的，只有有限个正整数k使得成立，记这样的k的个数为，则得到一个新数列，例如，若数列，则数列是0、1、2、…、、…，若，则_________

四、解答题
23．已知等差数列 满足：的前n项和为 ．
(1)求及 ；
(2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围．
24．已知等差数列的前项和为，记数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式及;
(2)是否存在实数，使得恒成立?若存在，求出实数的取值范围;若不存在，请说明理由.
25．为数列的前项和．已知
(1)求的通项公式：
(2)设，求数列的前项和
26．设是等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和的最大值．
27．若数列的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．
(1)若，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；
(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．
（ⅰ）判断的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列是等差数列．
28．已知数列中，，数列满足：．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
29．在数列{an}中，，对任意的，都有成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；并求满足时n的最大值．


30．已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.
(1)判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
(2)设数列具有性质，求证：；
(3)若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.

参考答案：
1．C
【分析】根据条件求得的值，再由等差数列前项和公式，即可求得.
【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn，
因为，
且
所以，
解得，

故选:C.
2．C
【分析】设等差数列的公差为，然后根据题意列出关于的方程组，求出，从而可求出.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，即，解得，
所以，
故选：C
3．C
【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．
∵a1＝﹣2018，，
∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，
∴2018+2019×1＝1，
∴S2020＝2020．
故选：C．
4．C
【分析】根据给定条件，构造新数列，求出通项公式即可计算作答.
【详解】依题意，，，而，
因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即，
由，得，所以.
故选：C
5．C
【分析】根据等差数列的下标性质进行求解即可.
【详解】∵等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，
∴a2+a5＝a3+a4＝12，3a2＝a5，
联立消去a2可得a5＝9
故选：C
6．D
【分析】根据的关系以及已知条件，可以得出，即是一个等差数列.然后求出通项公式，逐个检验选项即可.
【详解】由已知得，
两式作差得，
即，两边同时乘以可得，
，即是一个等差数列.
又，时，有，又，所以.
所以，数列首项为，公差为1的等差数列，
则，
所以，.
则，，显然A不正确；
，，，B不正确；
由前面已得，数列是等差数列，C项不正确；
单调递增，则
又   所以，
所以，.
故选：D.
7．C
【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式求解，即可
【详解】由题意知：十二个节气的日影子长依次成等差数列，
设为，公差为，则
即，
解得，，
所以夏至的日影子长为尺，
故选：C
8．B
【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求出数列的通项公式，再求出该数列的第15项．
【详解】设该数列为，数列的前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，
则数列满足，，
所以
，
所以．
故选：B
9．B
【分析】设等差数列公差为，由题意可得，从而建立关于的不等式，求解不等式即可得答案.
【详解】解：设等差数列公差为，由，且，
得，即，
当时，，
当时，由，得，
所以，
所以，即，解得，
所以k的最大值是9.
故选：B.
10．A
【分析】首先数列中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出的最大值.
【详解】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.
【点睛】本小题主要考查数列的通项公式的应用，考查等差数列求和公式的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
11．AB
【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断B，由作差法可判断C，由基本不等式可判断D.
【详解】由题意得,,而，
，解得，∴，故A正确；
由，故B正确；
由，
可知，故C错误；
由，所以
有，
当且仅当时取到等号，但，故不能取“=”，所以D错.
故选：AB
12．BC
【分析】由可得，而，从而可判断ABCD.
【详解】，
，，B正确；
而，故无法判断的正负，A错误；
，数列单调递减，C正确；
当时，有最大值，即，D错误.
故选：BC
13．BCD
【分析】A特殊值判断即可；B、C由题设可得即可判断正误；D通过归纳总结得到数列中有2个1，4个，6个，8个，……，根据中各对应值的项数，进而求和.
【详解】由题意，记表示与实数最接近的整数且，
当时，可得，则， A不正确；
由，即，可得，故成立， B正确；
由B分析知：，平方得：，
因为且不是整数，其中是右侧的最接近的整数，所以成立， C正确；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；……
归纳得：数列中有2个1，4个，6个，8个，……
又2，4，6，8，…构成首项为2，公差为2的等差数列，其前项和，
而，所以， D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：D选项，首先通过列举归纳总结出对应值出现的次数，再由等差数列前n项和公式确定项的分布情况，进而求出.
14．ABD
【分析】由题可得，进而可得的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，可判断AB，然后通过求和公式计算可判断CD.
【详解】设n为奇数，则是偶数，是奇数，则，①
，②
①+②得：，即，
所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，
同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，
故A，B正确；
所以
，
故C错误；
又，
∴，故D正确.
故选：ABD.
15．ABD
【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，，…，，即可求解判断D选项.
【详解】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，
设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；
，故B正确；
所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；
，对应点的坐标为，，…，，所以
，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.
16．ABD
【分析】由和递推公式→→，→A选项正确，B选项正确；
→→为单调递增的等差数列→C选项不正确；
→→→D选项正确
【详解】因为，所以，所以，
则，解得，
，所以，，所以A选项正确，B选项正确；
因为，所以，
所以，又，
所以，
所以为单调递增的等差数列，
则数列不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确；
，
则，
，
解得，又，
所以正整数n的最小值为63，所以D选项正确．
故选：ABD．
【点睛】数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列特征选择不同的方法.
17．①②③
【分析】利用等差数列的前n项和及通项公式列方程组，运算即可.
【详解】S4＝＝0，
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，①正确；
a5＝a1＋4d＝5， (*)
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0， (**)
联立(*)(**)解得，
∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，
②正确，④错误；
Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，③正确．
故答案为：①②③
18．
【分析】利用取倒数及等差数列通项公式即可求解.
【详解】由两边取倒数可得，即．
所以数列是首项为2，公差为3等差数列.
所以，所以．
故答案为：.
19．
【分析】由题设可得，令则，可得，将问题转化为在上有解，利用二次函数性质求t范围即可.
【详解】由题设，，即，
当时，为常数列，显然有矛盾，故，
令，则，
所以，
令，则在上有解，
又开口向上且对称轴为，，
当，即时，，满足要求；
当时，，又，，满足要求；
综上，.
故答案为：
20．66
【分析】根据恒成立和严格递增可得，然后利用递推求出，的值，不难发现在此两项之间的所有项为连续正整数，于是可得，，然后可解.
【详解】因为，且数列为严格递增数列，
所以或，若，则（矛盾），故
由可得：，，，，，，，，，，，，，
因为，，，且数列为严格递增数列，，
所以，，
所以，
所以
故答案为：66
21．675
【分析】由得，在取等号成立的情况下，的每一项均有最大值，此时，数列为等差数列，进而利用等差数列求解即可
【详解】由得，在取等号成立的情况下，
的每一项均有最大值，此时，有，
即在等号成立的条件下，数列为等差数列，
由和可得，此时，
故答案为：675
【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用得，在取等号成立的情况下，
的每一项均有最大值，进而得到数列为等差数列，最后求解
22．
【分析】根据题意寻找规律，从而求出当时，，再求出.
【详解】由，，，，……，得：，，，
当时，，……，当时，，
所以，，，……，，
故答案为：
【点睛】对于定义新数列题目，要能正确理解题干中的信息，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，寻找规律进行求解.
23．(1) ；
(2).

【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可列出方程组，即可求得d，进而求得答案；
（2）利用裂项求和法求得数列的前n项和，说明，结合数列不等式恒成立可求得参数的范围.
（1）
设等差数列的公差为d，
由题设可得： ，解得：，
∴ ， ；
（2）
由（1）可得：，
∴

，
又恒成立，
∴，
即实数m的取值范围为[，+∞）．
24．(1)，；
(2)存在，.

【分析】（1）根据已知条件及等差数列的性质求基本量，即可写出的通项公式及；
（2）由（1）得，应用裂项相消法求得，再由不等式恒成立，讨论的奇偶性求的范围，最后取交集.
【详解】（1）因为为等差数列，设公差为，首项为，
由，解得，
由，又，则，，
所以，．
（2）由（1）知：，所以，
所以，
易知为递增数列，当时，取得最小值为，
又，所以，所以．
当为奇数时，恒成立，即，解得，
当为偶数时，恒成立，即，解得，
综上，实数的取值范围为．
25．(1)=
(2)

【分析】（1）先用数列第项与前项和的关系求出数列的递推公式，再由等差数列的定义写出数列的通项公式；
（2）根据（1）数列的通项公式，再由裂项相消求和法求其前项和．
（1）当时，，因为，所以=3，当时，==即，因为，所以，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；
（2）由（1）知，=，所以数列{}前项和为．
26．(1)；
(2).

【分析】（1）求出等差数列的基本量后可求其通项；
（2）根据通项的符号可求的最大值．
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
故.
（2）因为当时，，当时，，当时，，
故当或时有最大值且最大值为.
27．(1)的各项为：4，16，28，40；的各项和为：
(2)（ⅰ）,证明见解析；（ⅱ）证明见解析；

【分析】（1）根据题意，利用枚举法，即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意，均为等差数列，通过等量代换找到的关系即可；
（ⅱ）均为等差数列，由（ⅰ）得，设，进而利用等量代换关系，得到，进而可以递推，得到，即可证明数列是等差数列
【详解】（1），，，
前15项分别为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43；
前15项分别为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60；
的各项为：4，16，28，40；的各项和为：；
（2）（ⅰ）由已知得，均为等差数列，数列既是3阶也是4阶等差数列，故也为等差数列，
：，设公差为，
：，故，
：，故，
：，故，
故.
（ⅱ）数列既是3阶也是4阶等差数列，
均为等差数列，由（ⅰ）得，设，
对于，有，，
对于，有，对于，有，
对于，有，
，，，整理得，
，，
故；
；
所以，，故，，
所以，数列是等差数列
28．(1)证明见详解；
(2)
(3)，，理由见详解

【分析】（1）求出和，可知数列是为首项，1为公差的等差数列，即可求出的通项公式；
（2）由可知，时，，时，，由此去绝对值可求出答案；
（3）由（1）中的通项公式代入可求出的通项公式，令，再判断得单调性，即可求出答案.
（1）
因为，
又，
∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴.
（2）
由，得，即时，；时，，
∴

（3）
由，得
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，.
29．(1)
(2)14

【分析】（1）合理变形构造等差数列，再利用等差数列的通项公式进行求解；
（2）先将通项变形为，再利用裂项抵消法进行求和，进而通过解不等式进行求解.
（1）
因为，且对任意的，
都有成立，所以，
即数列是等差数列，首项为2，公差为1，
所以，
即．
（2）
因为，
所以
，
由，得，解得，
所以满足时n的最大值为14．
30．(1)数列，，，不具有性质；
(2)证明见解析；
(3)可能取值只有.

【分析】（1）由数列具有性质的定义，只需判断存在与都不是数列中的项即可.
（2）由性质知：、，结合非负递增性有，再由时，必有，进而可得，，，，，应用累加法即可证结论.
（3）讨论、、，结合性质、等差数列的性质判断是否存在符合题设性质，进而确定的可能取值.
(1)
数列，，，不具有性质.
因为，，和均不是数列，，，中的项，
所以数列，，，不具有性质.
(2)
记数列的各项组成的集合为，又，
由数列具有性质，，所以，即，所以.
设，因为，所以.
又，则，，，，.
将上面的式子相加得：.
所以.
(3)
（i）当时，由（2）知，，，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
（ii）当时，存在数列，，，，符合题意，故可取.
（iii）当时，由（2）知，.①
当时，，所以，.
又，，
∴，，，，即.
由，，得：，，
∴.②
由①②两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
综上，满足题设的的可能取值只有.
【点睛】关键点点睛：第二问，由可知，并应用累加法求证结论；第三问，讨论k的取值，结合的性质，由性质、等差数列的性质判断不同k的取值情况下数列的存在性即可.