高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义测试题，共20页。

5.1　导数的概念及其意义
【考点梳理】
大重点一：变化率问题和导数的概念
考点一：瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ .
考点二　函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
考点三　函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝
大重点二：导数的几何意义
考点四　导数的几何意义
1．割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
考点五　导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ .
规律总结：

区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数


【题型归纳】
题型一：函数的平均变化率
1．（2022秋·安徽滁州·高二校联考期中）已知函数，则y在上的平均变化率为（    ）
A．0.82 B．8.2 C．0.41 D．4.1
2．（2021秋·四川凉山·高二统考期中）已知函数，则从2到的平均变化率为（    ）
A．2 B． C． D．
3．（2021·全国·高二专题练习）函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．，的大小无法确定




题型二：瞬时变化率理解
4．（2022秋·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（　  　）
A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒
5．（2022秋·北京海淀·高二校考期中）已知某物体运动的位移关于时间的函数为，则当时的瞬时速度是（    ）
A．5m/s B．4m/s C．3m/s D．2m/s
6．（2022秋·北京大兴·高二统考期中）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（    ）
A． B． C． D．

题型三：导数（导函数）的理解
7．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）设函数在处的导数为2，则（    ）
A．2 B．1 C． D．6
8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）

A． B．
C． D．
9．（2022秋·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）已知函数的导函数为，且，则（    ）
A． B． C． D．


题型四：导数定义中的极限的简单计算
10．（2022秋·广西玉林·高二统考期末）设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（    ）
A． B．2a C． D．a
11．（2022秋·全国·高二期末）设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（    ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·山东济宁·高二邹城市第二中学校考阶段练习）若，则（    ）
A．－4 B．4
C．－1 D．1

题型五：利用导数几何意义求切线方程
13．（2022秋·四川成都·高二校考期中）函数在处的切线的斜率为（    ）
A．2 B．-2 C．0 D．1
14．（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）设函数在点处的切线方程为，则（    ）
A．4 B．2 C．1 D．
15．（2022秋·湖南湘西·高二校联考期中）若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（    ）
A． B．
C．或 D．或

题型六：已知切线（斜率）求参数
16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（    ）
A．1 B． C． D．3

17．（2022秋·山东德州·高二统考期中）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
18．（2022秋·江西赣州·高二校联考期中）若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ）
A． B． C． D．


题型七：导数的几何意义综合问题
19．（2021秋·重庆合川·高二统考阶段练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．3
20．（2021秋·广东东莞·高二东莞市光明中学校考阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ）
A． B． C．或 D．以上都不对
21．（2022·全国·高二专题练习）已知函数为偶函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为（    ）
A． B． C． D．












【双基达标】
一、 单选题
22．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）设在处可导，则（    ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高二假期作业）函数的图象在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
24．（2022·全国·高二假期作业）曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为（    ）
A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-1
25．（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
26．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）直线是曲线y＝lnx（x>0）的一条切线，则实数b等于（    ）
A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln2
27．（2022春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
28．（2022秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）

A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
29．（2022秋·安徽滁州·高二统考期末）已知函数，为的导函数，则的值为（    ）
A． B． C． D．
30．（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期末）若曲线在点处的切线方程为，则（    ）
A．3 B． C．2 D．
31．（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期末）一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（    ）
A．2 B．1 C． D．

二、多选题
32．（2022秋·河北石家庄·高二统考期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（    ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．
33．（2022秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（    ）
A． B． C． D．
34．（2022·高二课时练习）下列有关导数的说法，正确的是（    ）.
A．就是曲线在点处的切线的斜率
B．与的意义是一样的
C．设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度
D．设是速度函数，则表示物体在时刻的瞬时加速度
35．（2022·高二课时练习）若当，满足，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．曲线上点处的切线斜率为
D．曲线上点处的切线斜率为
36．（2022秋·吉林长春·高二长春市第五中学校考期中）一个质点做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则（    ）
A．该质点在前2秒内的平均速度为24m/s
B．该质点在第1秒的瞬时速度为12m/s
C．该质点在第2秒的瞬时加速度为
D．该质点的瞬时加速度取得最小值时的时刻为第1秒

三、填空题
37．（2022秋·上海闵行·高二校考期末）已知，则______．
38．（2022秋·重庆万州·高二校考阶段练习）已知函数在点处的切线方程为，则_______.
39．（2022秋·四川资阳·高二校考期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．

40．（2022秋·上海崇明·高二统考期末）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．
41．（2022春·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是_________

参考答案：
1．B
【分析】根据平均变化率进行计算．
【详解】，，所以．
故选：B．
2．B
【分析】利用平均变化率的意义即可得出．
【详解】函数从2到的平均变化率为：
.
故选：B．
3．A
【分析】根据平均变化率的定义计算比较即可.
【详解】，，故.
故选：A.
4．D
【分析】依据瞬时速度定义利用极限去求他在0.25秒时的瞬时速度即可
【详解】

则他在0.25秒时的瞬时速度为5.55米/秒
故选：D
5．A
【分析】直接求导，即可得到答案.
【详解】因为，所以当时的瞬时速度是.
故选：A
6．B
【分析】利用导数的定义可求得时小球的瞬时速度.
【详解】由题意可知时小球的瞬时速度为.
故选：B.
7．A
【分析】根据导数的定义即得.
【详解】因为函数在处的导数为2，
所以.
故选：A.
8．A
【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.
【详解】由图知：，即.
故选：A
9．D
【分析】根据导数的定义式直接求解.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
10．A
【分析】根据导数的定义及极限的性质计算可得；
【详解】解：.
故选：A.
11．C
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】.
故选：C.
12．C
【分析】利用导数的定义直接求解
【详解】因为，所以．
故选：C
13．A
【分析】求出函数的导数后可得切线的斜率.
【详解】，故，
故曲线在处的切线的斜率为2，
故选：A.
14．C
【分析】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率，得，再根据可求解.
【详解】函数在点处的切线方程为，

则.
故选:C.
15．D
【分析】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.
【详解】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.
②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或 (舍去)，
∴，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.
故选：D
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
16．C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线为，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，则，
可得，，即切点坐标为，
所以在处的切线为，
当时，；当时，，
因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
可得，解得或，
又因为，所以.
故选：C.
17．A
【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率,再列方程可得所求值.
【详解】的导数为，可得f(x)在x=1处的切线的斜率为4+a.
因为直线的斜率为，所以4+a=7，解得：a=3.
故选：A
18．A
【分析】求出，利用导数的几何意义可得出的值，再利用点为曲线与直线的公共点可求得实数的值.
【详解】因为，则，则，即切线方程为，
所以，，解得.
故选：A.
19．B
【分析】利用导数几何意义求出曲线上与平行的切线方程，两线距离即为曲线上点与直线的最小距离，利用平行线距离公式求值即可.
【详解】由题设且，令，可得（舍）或，
所以，则曲线上切线斜率为1的切点为，
故对应切线为，其与的距离，即为P到直线距离的最小值，
所以最小值为.
故选：B
20．C
【分析】根据的导函数为，又由其过P点的切线与直线平行性可知，求得切点P的横坐标，代回曲线方程求得的值，可得答案.
【详解】解：由题意可知：函数的导函数为
过P点的切线与直线平行
，解得
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即.
所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14）
故选:C
21．B
【分析】首先求的解析式，根据条件求的点，再求点到直线的距离的最小值.
【详解】当时，设点，，
解得：，，
此时点到直线的距离，
设，，因为函数是偶函数，所以，
设点，，解得：，，
此时点到直线的距离，
因为，所以曲线上的点到直线的最小距离为.
故选：B
22．A
【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.
【详解】因为在处可导,
所以，由导数的定义可得：.
故选：A
23．C
【分析】首先求出函数在处的切线斜率，再利用点斜式写出方程即可.
【详解】，则，而，故函数在处的切线方程为，则.
故选：C
24．C
【分析】根据切点和斜率求得切线方程.
【详解】依题意，切点为，斜率为，
，
所以，解得.
故选：C
25．D
【分析】根据导数的物理意义可知，函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．
【详解】∵物体做直线运动的方程为，
根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，
∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．
故选：D．
26．A
【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.
【详解】设直线与曲线y＝lnx相切于点，
由y＝lnx可得，于是有：，
故选：A
27．A
【分析】根据题意得函数的图像关于点对称，关于对称，进而得函数是周期为的周期函数，再结合题意，根据周期性与对称性求解即可.
【详解】解：因为为奇函数，即，
所以，函数的图像关于点对称，即，
因为的图像关于对称，
所以的图像关于对称，即，
所以，，
所以，即函数是周期为的周期函数，
所以曲线在处的切线斜率等于曲线在处的切线斜率，
因为曲线在处的切线斜率为，图像关于对称，
所以，曲线在处的切线斜率为，
因为，，
所以，
所以，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：A
28．D
【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.
【详解】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即

又

即
故选：D.
29．A
【分析】直接利用导数的定义，即可解出．
【详解】由题意可得，，所以
故选：．
30．C
【分析】由求得值，然后利用是切点可求得值．
【详解】，由已知，，即，
，
所以，．
故选：C.
31．A
【分析】利用平均速度的计算公式求解即可
【详解】，，
因为物体在这段时间内的平均速度为，
所以，解得，
故选：A
32．ABD
【分析】分别设切点分别为，，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出，设由导数求出其值域即可.
【详解】由，则，由，则
设切线与曲线相切于点，则斜率为，
所以切线方程为，即  ①
设切线与曲线相切于点，则斜率为：，
则切线方程为，即，②
根据题意方程①，②表示同一条直线，则
所以，令（），
则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意.
故答案为：ABD
33．AB
【分析】设切点为，写出切线方程，切线过点（1，3），求得即可.
【详解】解：设切点为，
则，
所以，
所以切线方程为，
因为切线过点（1，3），
所以，即，
即，
解得或，
所以切线方程为或，
故选：AB
34．ACD
【分析】根据导数的定义以及几何意义判断ACD，根据常数函数的导数为判断B.
【详解】表示曲线在点处的切线的斜率，故A正确；
表示对函数值求导，因为是常函数，所以，
与的意义不一样，故B错误；C，D易知正确.
故选：ACD
35．AD
【分析】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，即，
曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确；
，A正确；B错误.
故选：AD.
36．BCD
【分析】A首先求出2秒内的位移，即可得平均速度；B利用导数求第1秒的瞬时速度；C、D应用二阶导数的物理意义判断.
【详解】因为该质点在前2秒内的位移为，该质点在前2秒内的平均速度为12m/s， A错误．
因为，所以该质点在第1秒的瞬时速度为， B正确．
设，则，
所以，即第2秒的瞬时加速度为，C正确；
当时取得最小值，D正确．
故选：BCD
37．##.
【分析】先求出，然后代入中求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：.
38．
【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切线斜率和切点，解方程可得，，进而得到所求值．
【详解】解：函数的导数为，
所以，即函数在点处的切线斜率为，
由切线方程为，可得，解得，，
由切点，可得，解得，
则，
故答案为：．
39．##5.5
【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.
【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，
又由直线是曲线在点处的切线，则，
所以．
故答案为：
40．
【分析】由导数的几何意义求出切线方程，结合切线经过坐标原点，即可求得的值.
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以在处的切线方程为：，
又切线方程过原点，把代入得，
解得：．
故答案为：.
41．
【分析】根据导数的几何意义及切线方程可得，由“1”的技巧及均值不等式求解即可.
【详解】∵，∴，
设切点为，则，
∴，∴．
∵，
∴原式，当且仅当，即时等号成立，
即．
故答案为：