人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算复习练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算复习练习题，共26页。

5.2　导数的运算
【考点梳理】

考点一　基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝

考点二：导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)′＝.
考点三：复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．






重难点规律归纳：
　一：求复合函数的导数的步骤

二：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤


【题型归纳】
题型一：利用导数公式求函数的导数
1．（2022春·陕西咸阳·高二校考）下列求导运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2022春·湖南株洲·高二校考期中）求下列函数的导数.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).


3．（2022·高二）求下列函数的导数：
(1);(2) ;(3)；(4) .




题型二：导数的运算法则
4．（2022春·陕西西安·高二校考阶段练习）求下列函数的导函数：
(1)(2)(3)


5．（2022秋·陕西延安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数.
(1)；(2)；(3)；(4).



6．（2022·高二）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．





题型三：复合函数与导数的运算法则的综合应用
7．（2022·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．

8．（2022·高二）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)．

9．（2022·高二）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4).



题型四：与切线有关的综合问题（切点、某点）
10．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.

11．（2022秋·浙江宁波·高二宁波市李惠利中学校联考期中）已知函数.
(1)求导函数；
(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.


12．（2022·全国·高二专题练习）（1）P是曲线上的一个动点，求点P到直线距离的最小值；
（2）已知函数，求函数过点的切线方程.


【双基达标】
一、 单选题
13．（2022·全国·高二假期作业）已知，则曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
14．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）已知函数，则的值为（    ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高二假期作业）下列求导运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．

16．（2022春·陕西延安·高二）已知某容器的高度为30cm，向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为．当时，液体上升高度的瞬时变化率为2e cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ）
A． B． C． D．
17．（2022春·陕西延安·高二校考）已知函数，则曲线在处的切线斜率为（    ）
A．0 B． C． D．
18．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知函数，．若，，则（    ）
A． B． C． D．
19．（2021春·河南安阳·高二安阳一中校考期末）已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
20．（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．
(1)；(2)；(3)(4)；
(5)（为常数）；(6).



21．（2022秋·湖北武汉·高二校联考期末）已知函数．如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线方程．








【高分突破】
一、单选题
22．（2022秋·江西萍乡·高二）若函数的导函数为，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高二）已知函数其图象在点处的切线方程为，则它在点处的切线方程为（　　）
A． B．
C． D．
24．（2022春·江西宜春·高二上高二中校）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（   ）
A． B．
C． D．
二、多选题
25．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）下列求导运算错误的是（    ）
A． B．
C． D．
26．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（    ）
A． B．
C． D．
27．（2022秋·山东东营·高二统考期末）设为实数，直线能作为曲线的切线，则曲线的方程可以为（    ）
A． B．
C． D．

28．（2022秋·广东广州·高二统考期末）下列 求导运算正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
29．（2022·高二课时练习）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（    ）
A． B．
C． D．
30．（2022·高二课时练习）已知函数的导函数为，且，函数的图像与x轴恰有一个交点，则的取值可为（    ）.
A．3 B．2 C．1 D．0
三、填空题
31．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）曲线在点处的切线也为曲线的切线，则实数______.
32．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）函数的图像在点处的切线的倾斜角为______.
33．（2022春·江苏连云港·高二统考期末）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中 为蜥蜴的体温（单位：）为太阳落山后的时间 （单位：）．当10 时，蜥蜴体温的瞬时变化率为__________．
34．（2022·高二）已知函数的导数是，且满足，则 __________．
35．（2022·全国·高二）已知，．若实数m满足，则实数m的值为______．



四、解答题
36．（2022·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．


37．（2022秋·陕西安康·高二校联考期末）已知，求：
(1)当时，求；
(2)当时，求a；
(3)在处的切线与直线平行，求a？



38．（2022秋·内蒙古·高二校考阶段练习）设函数（，），曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)求函数的解析式.

参考答案：
1．D
【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.
【详解】，A项错误；因为是个常数，所以，B项错误；
，C项错误； ，D项正确.
故选：D.
2．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

【分析】根据函数求导公式即可得出答案.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3．(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）根据常函数的求导公式，即可求出结果；
（2）根据指数函数的求导公式，即可求出结果；
（3）根据幂函数的求导公式，即可求出结果；
（4）利用余弦二倍角公式化简，再根据余弦函数的求导公式，即可求出结果；
(1)
解:因为，所以.
(2)
解:因为，所以，即.
(3)
解:因为 ，所以，即.
(4)
解:因为，所以.
4．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）化根式为分数指数幂，根据积的导数和基本初等函数的求导公式求解；
（2）由基本初等函数的求导公式，结合商的导数的运算公式化简；
（3）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解.
【详解】（1），
.
（2），
.
（3），
，
.
5．(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】利用导数求导规则去求导即可
（1）
由，可得
（2）
由，可得
（3）
由，
可得
（4）
由，可得
6．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

【分析】（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）结合导数的运算公式求得函数的导数.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
.
（6）

．
7．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据复合函数的求导法则和基本函数的求导公式逐个求解即可.
（1）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（2）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ .
（3）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（4）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（5）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（6）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
8．(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】利用复合函数求导法则求导.
（1）
设，，则．
（2）
设，，，
则．
（3）
设，，，
则．
（4）
设，，则
9．(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】根据常见基本初等函数的导数以及求导公式和法则，即可逐一求解.
（1）


（2）
因为，所以
（3）
.
（4）

10．(1)
(2)

【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数、的方程组，可求得实数、的值；
（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.
【详解】（1）解：因为，则，
所以，，解得.
（2）解：因为的定义域为，且，
所以，，，故切点坐标为，
所以，函数在处的切线方程为.
11．(1)
(2)

【分析】（1）根据基本初等函数的导数和导数的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）由（1）分别求得和，结合导数的几何意义，即可求解.
(1)
解：由题意，函数，
可得.
(2)
解：当时，可得，
由（1）得，所以，
所以函数的图像在点处的切线方程，即.
12．（1）；（2）或.
【分析】（1）求出与直线平行的曲线的切线所对切点即可计算作答.
（2）设出符合要求的切点坐标，利用切线的几何意义求解作答.
【详解】（1）当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q(即为点P)到直线的距离最小，
由，而，解得，此时，即切点，
则切点Q到直线的距离为，
所以点P到直线距离的最小值为4.
（2）设过点的曲线的切线对应切点为，求导得：，有，
切线方程为，而切线过点，则有，解得或，
当时，切线方程为，当时，切线方程，
所以所求切线方程为或.
13．C
【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程.
【详解】，，
又，
所求切线方程为：，即.
故选：C.
14．B
【分析】先对求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B.
15．D
【分析】利用基本初等函数、复合函数以及导数的运算法则可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：D.
16．C
【分析】根据导数的实际意义求解即可.
【详解】，
当时，，解得，故.
当时，液体上升高度的瞬时变化率为．
故选：C
17．D
【分析】由导数的几何意义求解即可
【详解】由，
可知，
所以，
故选：D．
18．D
【分析】求导后代入可求得，由可得结果.
【详解】，，即，
又，.
故选：D.
19．C
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到所求结论.
【详解】解：函数的导数为，
可得在点处的切线斜率为，
因为在点处的切线方程是，
所以，，
解得，，
所以
故选：C.
20．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

【分析】根据导数的运算法则即可求得导数.
【详解】（1）由已知，所以
（2）由已知，所以
（3）由已知，所以
（4）由已知
所以
（5）由已知，所以

（6）由已知，令，，故
所以
所以
21．切点坐标为或，切线方程为或
【分析】由已知条件可得切线斜率为，设切点为，则，从而可求出切点坐标，进而可求出切线方程
【详解】由得，
因为切线与直线垂直，所以切线斜率为．
设切点为，则，解得，
所以或，
即切点坐标为或.
所以切线方程为或，
即或．
22．D
【分析】对求导，得到，令，得到，即可得到，然后求即可.
【详解】由，得，令，则，解得，所以，.
故选：D.
23．A
【分析】根据f(x)在处的切线方程为可得，且，根据f(x)的解析式和导数可求和，从而可求得结果．
【详解】∵在点处的切线方程为，
∴，且，
又，
∴，且，
∴点为，在处切线斜率为，
∴所求切线方程为，即．
故选：A．
24．C
【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.
【详解】对A：∵为偶函数，则
两边求导可得
∴为奇函数，则
令，则可得，则，A成立；
对B：令，则可得，则，B成立；
∵，则可得
，则可得
两式相加可得：，
∴关于点成中心对称
则，D成立
又∵，则可得
，则可得
∴以4为周期的周期函数
根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立
故选：C.
【点睛】对于抽象函数的问题，一般通过赋值结合定义分析运算.
25．ACD
【分析】利用导数的运算法则进行计算即可判断.
【详解】对于A，，故选项A错误；
对于B，，故选项B正确；
对于C，，故选项C错误；
对于D，，故选项D错误，
所以导数运算错误的是：，
故选：.
26．AD
【分析】对A，根据定义域为R的奇函数的满足在处的值为0判断即可；对B，根据题意不能求出的值；对C，根据奇函数的性质可得的关系；对D，根据为奇函数推导可得，再为奇函数可得的周期为2，再令可得，进而根据周期性判断即可
【详解】对A，因为为奇函数，且定义域为R，故，即，故A正确；
对B，为奇函数则，且无条件推出的值，故B错误；
对C，因为为奇函数，故，即，故C错误；
对D，因为为奇函数，则，故，故，所以，即关于对称.
又为奇函数，故关于对称，结合关于对称有，即.
故，又，所以，即的周期为2.
又，即，所以，即，故D正确；
故选：AD
27．ACD
【分析】由题意可知，有解，然后逐个分析求解即可
【详解】因为直线能作为曲线的切线，
所以有解，
对于A，由，得，由，得，解得，
所以直线能作为曲线的切线，所以A正确，
对于B，由，得，由，得，
化简得，因为，所以方程无解，所以直线不能作为曲线的切线，所以B错误，
对于C，由，得，由，得，解得，所以直线能作为曲线的切线，所以C正确，
对于D，由，得，由，得，解得，所以直线能作为曲线的切线，所以D正确，
故选：ACD
28．AD
【分析】利用导数的运算求解判断.
【详解】A，因为，所以，故正确；
B，因为，所以，故错误；
C，因为，所以，故错误；
D，因为，所以，故正确.
故选：AD.
29．ACD
【分析】求出导数，解方程，根据方程的解逐项判断可得答案.
【详解】对于A，由 解得，因此此函数有 “巧值点” 0，2；
对于B，由 ，即 ，无解，因此此函数无 “巧值”；
对于C， ，由，分别画出图象： ，由图象可知：两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点” ；

对于D，，由 ，解得 ，因此此函数有 “巧值点”.
故选： ACD.
30．AB
【分析】先对求导，得到，再利用的图像与x轴恰有一个交点，得到，由基本不等式可求得的范围，即可得解.
【详解】∵，
∴，∴，又∵，∴.
又由函数的图像与x轴恰有一个交点，
得，则，所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故可取的值是3和2.
故选：AB
31．
【分析】利用导数求得曲线在点处切线的斜率，点斜式得到切线方程，此方程也是曲线的切线方程，设切点坐标，利用导数列方程组求实数a的值.
【详解】由求导得 ， 则曲线在点处的切线斜率为1，切线方程为，
设直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得，解得.
故答案为：-1
32．##
【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
设直线的倾斜角为，则，
又，
所以，
故答案为：.
33．
【分析】由导数的定义，所求蜥蜴体温的瞬时变化率为.
【详解】，，时刻min时，瞬时变化率为．
故答案为：．
34．2
【分析】由求得，再令建立等式即可求出，即可求得解析式求出
【详解】由得，，则，可得，则，.
故答案为：2
35．1
【分析】先对两函数求导，然后由列方程可求得答案.
【详解】因为，（），
所以（），解得（舍去）．
故答案为：1
36．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

【分析】（1）、（2、（3）、（4）、（5）结合复合函数导数以及导数运算求得函数的导数.
（1）
，.
（2）
，
，.
（3）
，

.
（4）
，
.
（5）
，
．
37．(1)
(2)
(3)1

【分析】（1）根据导数运算法则求解即可；
（2）由于，进而根据求解即可；
（3）根据题意，解得，再检验即可.
(1)
解：当时，，
(2)
解：由题知，
因为，所以，解得
所以
(3)
解：由（2）知，
因为在处的切线与直线平行
所以，解得.
此时，切线方程为：，即
满足与直线平行
所以.
38．(1)
(2)

【分析】根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，结合、为整数可求得、的值，即可求得函数的解析式及.
（1）
因为，则，
由已知可得，解得，因此，.
所以.
（2）
由（1）可知.