专题强化训练二 含参数的单调性讨论与由单调性（极值、最值）求参数范围问题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版选择性必修第二册）

这是一份数学全册综合课后复习题，共38页。试卷主要包含了已知函数，，已知函数.等内容，欢迎下载使用。
专题强化训练二：含参数的单调性讨论与由单调性（极值、最值）求参数范围问题
题型一：由单调性求参数范围问题
1．（2022春·天津和平·高二天津一中校考期中）已知函数的单调递减区间是，则（    ）
A．3 B． C．2 D．
2．（2022春·山东聊城·高二统考期中）若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022春·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

题型二：由函数的区间求单调性问题
4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）若函数在内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
6．（2022春·山东聊城·高二校考期中）已知函数，对于任意的 ，，且都有成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．




题型三：含参数讨论函数的单调性问题
7．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，．
(1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值．
(2)讨论函数的单调区间．
8．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)当时，求的极值.
(2)讨论的单调性；
9．（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）设函数（a为非零常数）
(1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性.

题型四：由函数的极点（极值）求参数问题
10．（2023秋·吉林松原·高二校考期末）设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高二专题练习）已知函数有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（   ）
A．或 B．或
C． D．





题型五：已知函数的最值求参数问题
13．（2022春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
14．（2022春·甘肃酒泉·高二校考期中）函数在和处取得极值，当时，恒成立，则c的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
15．（2022春·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ）
A． B．
C． D．



专题强化训练
一、单选题
16．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

18．（2023·全国·高二专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
19．（2023·全国·高二专题练习）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（    ）.
A． B．
C． D．
22．（2022秋·吉林长春·高二校考期末）已知函数f（x）＝＋4ln x－x－a－2在区间（0，2）上至少有一个零点，则实数a的范围是（　　）
A．[1，＋∞） B．[2，4ln 3－2）
C．（2，4ln 2－） D．[0，＋∞）
23．（2022秋·陕西榆林·高二校考期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
24．（2023·全国·高二专题练习）的最小值是，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

25．（2022秋·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（    ）
A． B． C．1 D．
26．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
27．（2023秋·吉林松原·高二校考期末）已知函数在处取得极大值，则（    ）．
A．3 B．1 C． D．
28．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数的两个极值点分别是，则（    ）
A．或
B．
C．存在实数，使得
D．
29．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．当时，函数恰有两个零点
B．当时，不等式对任意恒成立
C．若函数有两个零点，则
D．当时，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为



30．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知函数，则（    ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上有两个零点
C．对恒有，则整数的最大值为
D．若，则有
31．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．若为增函数，则
B．若函数恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，恰有2个零点
32．（2022春·江苏苏州·高二统考期末）已知函数，当时，的取值范围是，则实数的值可以是（    ）
A． B． C．1 D．2
33．（2022春·湖南衡阳·高二统考期末）已知函数若关于的不等式（是自然对数的底数）在上恒成立，则的取值可能为（    ）
A．-1 B．0 C． D．2







三、解答题
34．（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知函数，，其中．
(1)当时，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.
35．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数a的取值范围.
36．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
37．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个不同的零点，求a的取值范围．
38．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
39．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)当时，若曲线在处的切线方程为，证明：；
(2)若，求的取值范围.



40．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若，求函数在上的最小值；
(2)若存在，使得.
（i）求的取值范围；    
（ii）判断在上的零点个数，并说明理由.

参考答案：
1．B
【分析】利用导数结合韦达定理得出的值.
【详解】函数，则导数
令，即，
∵，的单调递减区间是，
∴0，4是方程的两根，
∴，，
∴
故选：B.
2．D
【分析】函数在区间上单调递减，则导函数在区间上恒成立,分离参数，即可求解.
【详解】解：，则在上恒成立，即恒成立，又在上单调递减，故，
所以，当时，导数不恒为0，
故选：D.
3．B
【分析】由函数在区间上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求解.
【详解】对于函数，导数.
要使函数在区间上单调递减，只需恒成立.
因为，只需，只需恒成立.
记，只需.
.
因为，所以.
由在上单减，在上单增，且时，，时，.
所以在上的最大值为，所以在的最大值为1.
所以.
故选：B
4．A
【分析】求定义域，求导，分和两种情况，结合函数单调性，求出，得到答案.
【详解】定义域为，
，，
当时，恒成立，故函数在上单调递减，不合题意，舍去；
当时，令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为在内存在单调递增区间，
所以，故实数a的取值范围是.
故选：A
5．C
【分析】根据 在区间 上单调递减,导数小于或等于0恒成立，参变分离即可求解.
【详解】 在区间 上单调递减,
在上恒成立,
即 在上恒成立.
令 ,
当 时, 是增函数,
，
,
即 的范围是 ,
故选：C.
6．A
【分析】由题意构造函数，结合条件判断其为减函数，可得在时恒成立，即在时恒成立，然后结合正弦函数的性质求得答案即可.
【详解】令 ，则，
由题意知对于任意的 ，，且都有成立，
即，故，即是上的单调减函数；
故在时恒成立，
即在时恒成立，
设，则，
故单调递减，所以，
即，
所以，即 ，
故选：A
【点睛】本题考查了导数的应用，主要是解决不等式恒成立使得参数问题，解答时要注意将问题转化为函数的单调性问题，关键是构造函数，利用导数 判断函数单调性解决问题.
7．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，验证后得到答案；
（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分，，与分类讨论，得到函数的单调区间.
【详解】（1）定义域为，
，因为在x＝1处取得极值，
所以，解得：，
经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故；
（2），
当时，恒成立，令得：，
令得：，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，故令得：或，
令得：，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，恒成立，故的单调递增区间为；
当时，，令得：或，
令得：，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为；
综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
8．(1)极大值为，无极小值.
(2)答案见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，列表判断导数正负以及函数单调性，即可求得答案.
（2）求出函数的导数，结合二次方程的根讨论导数的正负，从而判断函数的单调性.
【详解】（1）当时，，
则，
令，得,


2


+
0
-

单调递增

单调递减

所以的极大值为，无极小值.
（2）的定义域为，
对于二次方程，有，
①当时，恒成立，在上单调递减；
②当时，方程有两根，
若，时，；时，；
故在上单调递增，在上单调递减；
若，时，；时，；
故在与上单调递减，在上单调递增；
9．(1)1；
(2)分类讨论，答案见解析.

【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线方程，再代入计算作答.
（2）求出函数定义域，利用导数结合分类讨论求解单调区间作答.
【详解】（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
10．A
【分析】化简得，在上有且仅有3个极值点，得即可解决.
【详解】由题知，
，
因为，
所以，
因为在上有且仅有3个极值点，
所以，解得，
所以的取值范围是，
故选：A
11．A
【分析】将问题转化为与的图象在上只有一个交点，且交点左右的符号不同，分类讨论，与三种情况，结合图像即可求得结果.
【详解】由题可得，函数的定义域为，，
若函数有且仅有一个极值点，则在上有且仅有一个变号零点，
令，，则问题转化为函数与的图象在上只有一个交点，且交点左右的符号不同，
①当时，，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，符合题意；
②当时，若函数，的图象在上只有一个交点，则函数，的图象相切，
作出函数和的大致图象，如图1所示，数形结合可得交点左右的符号相同，不符合题意；
③当时，无论m为何值，函数与的图象在上都有且只有一个交点，
作出函数和的大致图象，如图2所示，数形结合可得交点左右的符号不同，符合题意；
综上，m的取值范围为.
故选：A.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12．B
【分析】由题设知有两个变号零点，结合判别式的符号求m的范围即可.
【详解】由，又有极大值、极小值，
所以有两个变号零点，则，
整理得，可得或.
故选：B
13．A
【分析】令，故，原不等式变为，进而令，利用最值分析法，通过对的导数进行讨论，即得.
【详解】由题意得，，令，故，
故.
令，则.
若，则，则在上单调递增，
又，则当时，，不合题意，舍去；
若，则当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
因为，
所以若，则当，，舍去；
若，则当，，舍去；
若，则，符合题意，故.
故选：A
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
14．D
【分析】根据函数的极值的概念得到方程组解出参数值，利用函数的单调性和极值，进而可得，即得.
【详解】由题可得，又函数在和处极值，
∴，即，
解得，经检验满足题意，
∴，，
∴，.
令，得和.



-1

3

6


+
0
-
0
+










∴，
由题可得，
∴或，
∴或.
故选：D.
15．A
【分析】根据导数确定函数的单调性，导函数的正负确定单调性进而取最值可求.
【详解】由得，由于均为单调递增函数，故在单调递增，因为在有最小值，故
故选：A
16．D
【分析】根据单调性可知在上恒成立，分离变量可得，根据二次函数性质可求得的最小值，由此可得的取值范围.
【详解】的定义域为，，
又在定义域内单调递减，
在上恒成立，即在上恒成立；
，
，即实数的取值范围为.
故选：D.
17．A
【分析】先求出的范围，然后结合函数图象、零点个数和极值点个数可，进而求出可得答案.
【详解】因为，所以，
因为在区间内恰好有3个零点，4个极值点，
结合函数图象可得：，
解得，的取值范围是.

故选：A.
18．C
【分析】先利用导数求出的单减区间为，再列不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为,且.
令解得：，所以函数的单减区间为.
因为函数在区间上单调递减，
所以，解得：
所以实数的取值范围是.
故选：C
19．D
【分析】由函数单调递增，可得在上恒成立，孤立参数，再设，确定的单调性求最值，即可得实数的取值范围.
【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成立，
所以，在上恒成立，设函数，则，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，
则实数的取值范围是.
故选：D.
20．C
【分析】求得在上单调递增的充要条件即可判断.
【详解】由题
若在上单调递增，则恒成立，即，
故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件
故选:.
21．B
【分析】根据得到，再根据的单调递减区间是，得到和1是方程的两个根，代入解方程即可.
【详解】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意
故选：B.
22．D
【分析】由题意转化为＋4ln x－x=a+2，利用导数判断＋4ln x－x的值域，再进而得到参数a的范围.
【详解】由f（x）＝＋4ln x－x－a－2得＋4ln x－x=a+2
令＋4ln x－x，，
递减，递增，
且，趋近0时，趋近，故，
函数f（x）在区间（0，2）上至少有一个零点，
等价于与有交点，则
故，
故选：D.
23．D
【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性，解不等式.
【详解】恒成立，所以函数单调递增，
若，则，即，
解得：.
故选：D
24．A
【分析】先求出的最小值为，再将时转化为恒成立问题即可求解.
【详解】当时，，令，得，则在上单调递减，上单调递增，即函数在处取得最小值，
所以问题转化为在上恒成立，
令，则在上恒成立
当时，不符合.
当时，对称轴，则或
解得或，
所以
故选：A.
25．A
【分析】已知不等式变形为，引入函数，
则其为减函数，由导数求出的减区间后可的最小值．
【详解】因为，
所以由，
可得，
，
即．
所以在上是减函数，
，
当时，，递增，
当时，，递减，
即的减区间是，
所以由题意的最小值是．
故选：A．
26．C
【分析】求出函数导数，由题可知需使得在上没有变号零点，因此分离参数，令，利用导数求得其最小值，则可得，即可求得答案.
【详解】由题意得，
由题意可得是函数在区间上唯一变号的零点，
令，则需满足在上没有变号零点；
令，得，令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时取得最小值，其大致图象如图：

要使没有变号零点，则需，即，即实数k的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数后，需使得 在上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.
27．AD
【分析】根据函数在处取得极大值，求出导数并令导数等于0，求得a的值，验证可得答案.
【详解】因为，故，
由函数在处取得极大值，
可得，解得或，
当时，，
此时当时，，当时，，
则函数在处取得极大值，符合题意；
当时，，
此时当时，，当时，，
则函数在处取得极大值，符合题意，
故或，
故选：
28．BD
【分析】对于A，由题意可得在上有2个不等的实根，从而可求出的范围，对于B，根据根与系数的关系结合的范围进行判断，对于C，由题意得，令，利用导数可求得，从而可进行判断，对于D，，令，利用导数可求出其在上的最大值小于零即可.
【详解】由有两个极值点，得在上有2个不等的实根，
即在上有2个不等的实根，则解得，A错误；
由韦达定理，得，当时，，B正确；
，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以恒成立，C错误；
，
令，
令，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，.
所以，D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，解题的关键是根据题意可得在上有2个不等的实根，即在上有2个不等的实根，然后利用根与系数的关系分析判断，考查数学计算能力，属于较难题.
29．BCD
【分析】选项A分离参数，构造函数，求导，根据导数与单调性的关系，结合题意判断即可，选项B由选项A可知，当时，由，整理可得，对任意恒成立，选项C利用对数运算，换元，构造新函数，对新函数求导，利用分析法证明即可，选项D，不等式变形得到，令，根据函数单调性，将问题转化为，利用函数导数求的最小值即可.
【详解】选项A，由，令，
设，
则，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
所以当，，当，，
所以的图形如图所示：

由图可知，函数恰有两个零点时，
即与有两个不同的交点，此时，
故A不正确，
选项B，由选项A，，
当时，，
即对任意恒成立，故B正确，
选项C，由函数有两个零点，
即为方程的两根，
即，
所以，令且，
则，
所以，
欲证，即证，
即证明，
只需证明，
只需证明，
即，
设，
则，
令，
所以
，
所以在上为增函数，
又，所以，
综上所述，原不等式成立，故，
故C正确，
选项D，当时，，
则不等式对恒成立，
即，
即，
即，
令，当时，单调递增，
所以，
所以对任意恒成立，
即求在上的最小值，
由，
当时，，当在时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，而，
所以，所以的取值范围是：，
故选：BCD.
30．ABD
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出的导数，推导正负判断A；结合零点存在性定理推理判断B；利用导数探讨最值判断C；利用导数证明不等式判断D作答.
【详解】函数，求导得，
令，求导得，
对于A，当时，，有，函数在上单调递增，A正确；
对于B，当时，，有，函数在上单调递增，
而，则使得，
当时，，当时，，因此在上递减，在上递增，
由选项A知，在上递增，又，则，
使得，因此函数在上有两个零点，B正确；
对于C，对恒有，由选项B知，，
则有，由得：，
，
令，，
函数在上单调递减，，又，
则有，因此整数的最大值为，C不正确；
对于D，当时，令，则，
函数在上递减，，即，函数在上递增，，即，
令，，
显然在上单调递增，则有函数在上单调递增，
因此，即，所以当时，成立，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
31．ABD
【分析】直接逐一验证，根据导数判断单调性，求出的范围，判断A；利用参数分离法构造新函数，根据函数的单调性，极值，最值判断B，C；通过构造新函数，转化为两个函数的交点个数来解决零点问题，判断D.即可求出答案.
【详解】对于函数，求导得：函数.
对于A：要是在上为增函数，只需恒成立.
只需.
记，则
令，解得：或；令，解得：.
所以在上单减，在，上单增.
而，
所以，所以.故A正确；
对于B：若函数在恰有一个极值，即在恰有一个解，
即在恰有一个解，则在恰有一个解.
即和的图像在恰有一个交点.
由A的讨论可知，在上单减，在，上单增，且，.
而，，.
所以作出的图像如图示：

由图可知，当时， 和的图像在恰有一个交点，即函数函数恰有一个极值.故B正确；
对于C：要使恒成立，即在上，恒成立，
即在上， 恒成立.
设，则.
令，解得：.
列表得：







-
0
+
0
-

单增

单减

单增

所以.所以.故C错误；
对于D：当时， .
令，则.
作出函数和函数的图像，如图示：

可知在内，两个图像，恰有2个交点，则在恰有2个零点.故D正确.
故选：ABD
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；
（4）利用导数证明不等式．
32．BC
【分析】分别利用导数求出函数在各段的单调性，求出函数的极值，结合函数图象求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：因为，
当时，则，
所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
即函数在处取得极小值 ，
当时，所以，
所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，，
又，，，
则与有两个交点，交点的横坐标分别为、，则，，
则函数的图象如下所示：

因为当时，的取值范围是，
所以，符合题意的有BC；
故选：BC
33．ABC
【分析】在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，利用导数求出当时，函数的单调区间，作出函数的图象，分别求出和时，直线与相切时的值，结合图象即可得出答案.
【详解】解：在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，
当时，，
，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以当时，，
画出的图象，
直线恒过点，
当直线与，相切时，设切点，
求导得，可得，
则切线方程为，
将点代入得：，
则，解得，则切线的斜率为2，
当直线与相切时，
即直线与半圆相切，
由，解得，
故的取值范围是．
故选：ABC．

34．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由于，故设，求出其导数，根据函数单调性求得最小值，即可证明结论；
（2）对任意的恒成立，等价于：对任意的，恒成立，故设，求得其导数，再次求导，分类讨论，
分和两种情况说明是否恒成立，从而确定k的范围
【详解】（1）当时, ,设，
等价于证明：；
因为，当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，即，则．
（2）对任意的恒成立，
等价于：对任意的，恒成立，
令，，
，记，
①当时，
，
则，所以在单调递减，，
即恒成立．
②当时，，记，
因为在上单调递减，且时，，，

所以存在，使得，
且时，，时，，
则在单调递增，在单调递减．
又因为，，必存在，
使得在单调递减，在单调递增，且，
所以在时恒小于零，不符合题意，
综和①②可得：.
【点睛】难点点睛：解决对任意的恒成立时，需要构造函数，利用导数判断单调性，解答的难点在于导数中含有参数k,要分类讨论确定k的范围，特别是说明不合题意时，需要连续求导，结合零点存在定理，判断导数正负，进而判断函数的单调性,说明不等式是否恒成立.
35．(1)上单调递减，在上单调递增.
(2)

【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，令，利用导数说明的取值情况，即可得到的单调性；
（2）令，问题转化为与的图象有两个交点，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：当时，，则，
令，则，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，且当时，，则，
所以当时，当时，
即当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，
即关于的方程有两个不同的解，
当时，方程不成立，所以，
令，，则与的图象有两个交点，
又，
令，解得或，令，得或，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
因为，且当时，，
所以的取值范围是．
36．(1)极大值为，无极小值
(2)

【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；
（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得：，在上恒成立；
令，则；
令，则，
在上单调递增，又，，
，使得，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，，
，，
则实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.
37．(1)
(2)．

【分析】（1）当时，求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（2）对进行求导，分四种情况，利用单调性分析零点的情况即可
【详解】（1）当时，，
所以，又，
所以所求切线方程为．
（2），
所以，
当时，由，得，由，得，
所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间内单调递增，
所以若g(x)有两个不同的零点，则必有，即；
当时，，
因为，当时，，
所以，
所以，
所以g(x)在区间内各有一个零点，故满足题意；
当时，因为，所以g(x)在区间内单调递减，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；
当时，因为当时，，当时，，
所以g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以g(x)的极小值为，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；
当时，因为当时，，当时，，
所以g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以g(x)的极小值为，
所以g(x)至多有一个零点，不符合题意．
综上，a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．
38．(1)；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答.
（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答.
【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0，
因此，解得，此时，
当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0，
所以函数的解析式为.
（2），不等式，
令，，求导得，
因此函数在上单调递减，则当时，，
因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，
所以实数的取值范围是.
39．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并求出最值作答.
（2）由给定不等式构造函数，结合零点存在性定理分类讨论求解不等式恒成立的a的范围作答.
【详解】（1）当时，，
依题意，曲线在处的切点为，而，有，
即曲线在处的切线方程为，记，
求导得，当时，，递增，当时，，递减，
因此，所以成立.
（2）记，依题意，恒成立，
求导得，令，
则在上单调递增，又，
则，使得，即成立，
则当单调递减；当单调递增，
，由，得，
于是得，当时，令，
有在上单调递减，
而在上单调递增，即有函数在上单调递减，
于是得函数在上单调递减，
则当时，，不合题意；
当且时，由（1）中知，，有，
从而
，
由知，因此满足，
又在上单调递增，则有，而，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
40．(1)0
(2)（i）；（ii）在共有3个零点，理由见解析

【分析】(1)当时，对函数求导，根据导数在大于等于零得到函数在的单调性，进而求出最小值；
(2) （i）根据函数分和两种情况，当时，函数恒大于零，不满足条件，舍去，当时，对函数求导，利用函数的单调性和极值进而求解；（ii）结合（i）的结论，在共有2个零点1，，只需探讨在的零点个数，然后利用函数的单调性和极值进而求解即可.
【详解】（1）因为，所以函数，则有，
又，可得，所以在上单调递增，
.
（2）（i）若，当时，，，
所以，在没有零点，故舍去；
若，则，令，
则，所以在上单调递减，且；
①若，即，且，
存在，使，，
可得在单调递增，单调递减，且，
当时，，
（因为当时，，
证明：令，则，
因为，则，所以，则在上单调递增，
故，即，所以）
所以，且，
所以，故存在唯一使得，满足条件；
②若，即，此时恒成立，
在单调递减，又，所以，故舍去．
综上，．
（ii）由（i）可得，在共有2个零点1，，
下面探寻在的零点个数．
当时，，故在单调递减，
又，，所以存在，使得，
故在单调递增，单调递减，
又，，故一定存在，使得，
在单调递减，单调递增，
又，当趋近于零时，趋近于正无穷大，
故存在唯一，使得．故在有1个零点．
综上，在共有3个零点．