湘教版数学八年级下册 1.1 第1课时 直角三角形的性质和判定 课件

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1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 第1章 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我要比你大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争情境引入 老大的度数为 90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于 90°，而三角形的内角和为 180°，相互矛盾，因而是不可能的.在这个家里，我是永远的老大.问题1：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度?直角三角形的两个锐角互余问题引导问题2：如图，在直角 △ABC 中， ∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？ 在直角△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = 180°，因为 ∠C = 90°，故∠A + ∠B = 90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？直角三角形的两个锐角互余．　　应用格式：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∴∠A +∠B = 90°．　直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC ．总结归纳方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B = ∠C = 90°，∴AB∥CD，∴∠A = ∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：∵∠B = ∠C = 90°，∴∠A+∠AOB = 90°，∠D+∠COD = 90°.∵∠AOB = ∠COD，∴∠A = ∠D. 例1（1）如图①，∠B =∠C = 90°，AD 交BC 于点 O，∠A 与∠D 有什么关系？图①典例精析O解：∠A = ∠C. 理由如下：∵∠B = ∠D = 90°，∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°.∵∠AOB = ∠COD，∴∠A = ∠C.（2）如图②，∠B = ∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠C 有什么关系？请说明理由.图②与图①有哪些共同点与不同点？O例2 如图， ∠C = ∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？解：在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° - ∠AEC.在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° -∠BED. ∵ ∠AEC = ∠BED，∴ ∠CAE = ∠DBE.解：∵CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E， ∴∠BEA = ∠BDF = 90°， ∴∠ABE +∠A = 90°， ∠ABE +∠DFB = 90°. ∴∠A = ∠DFB. ∵∠DFB +∠BFC = 180°， ∴∠A +∠BFC = 180°.【变式题】如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F，∠A 与 ∠BFC 又有什么关系？为什么？思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？基本图形∠A =∠C∠A =∠D总结归纳 如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么 △ABC 是直角三角形吗？问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 在 △ABC 中，因为 ∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°. 于是 △ABC 是直角三角形.有两个角互余的三角形是直角三角形ABC应用格式：在 △ABC 中，∵ ∠A +∠B = 90°，∴ △ABC 是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形.　　总结归纳典例精析例3 如图，∠C = 90°，∠1 = ∠2，△ADE 是直角三 角形吗？为什么？解：在 Rt△ABC 中，∠2 + ∠A = 90°.∵∠1 = ∠2， ∴∠1 + ∠A = 90°.即 △ADE 是直角三角形.例4 如图，CE⊥AD，垂足为 E，∠A = ∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？解：△ABD 是直角三角形. 理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED = 90°．∴∠C +∠D = 90°．∵∠A = ∠C，∴∠A +∠D = 90°．∴△ABD 是直角三角形. 问题： 如图，画一个 Rt△ABC， 并作出斜边 AB 上的中线 CD，比较线段 CD 与线段 AB 之间长度，你能得出什么结论？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半线段 CD 比线段 AB 短.猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.试给出数学证明.图1-4证一证∴ 点 D' 是斜边上的中点，即 CD' 是斜边 AB 的中线.又∵∠A +∠B = 90°，∠D′CA +∠D′CB = 90°，∴ ∠B = ∠D′CB. ∴CD′ = BD′. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例5 已知：如图，CD 是 △ABC 的 AB 边上的中线，且 . 求证：△ABC 是直角三角形.证明：∴ ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B .∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，即∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°， 2(∠A +∠B) = 180°.∴ ∠A +∠B = 90°.∴ △ABC 是直角三角形.解：∵AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中 点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4．∴四边形 AEDF 的周长＝ AE＋DE＋DF＋AF ＝ 5＋5＋4＋4 ＝ 18．例6 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1) 若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长；(2)求证：EF 垂直平分 AD.证明：∵DE ＝ AE，DF ＝ AF，∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上． ∴EF 垂直平分 AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.(1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；(2)若∠C = 30°， AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD = _____cm.6105练一练归纳总结体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形3. 在 △ABC 中，若∠A = 43°，∠B = 47°，则这个三角形是____________.1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三 角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是________.90°2. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若 ∠BOD = 38，则∠A = _____°.52第1题图第2题图直角三角形4. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B5. 具备下列条件的 △ABC 中，不是直角三角形的是 （ 　　） A．∠A + ∠B = ∠C B．∠A - ∠B = ∠C C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 D．∠A = ∠B = 3∠C D6. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°， CD⊥AB，与 ∠1 互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD C7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD = ∠B．求证：△ACD 是直角三角形．证明：∵∠ACB = 90°，∴∠A +∠B = 90°．∵∠ACD = ∠B，∴∠A +∠ACD = 90°．∴△ACD 是直角三角形．8. 如图，已知 BD，CE 是 △ABC 不同边上的高，点G， F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE.解：连接 EG，DG. ∵BD，CE 是△ABC的高， ∴∠BDC ＝ ∠BEC ＝ 90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴EG ＝ BC，DG ＝ BC. ∴EG ＝ DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴GF⊥DE. 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，从而将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.