第一章 空间向量与立体几何（专题详解）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第一册）

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第一章空间向量与立体几何一．空间向量的基本性质1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。            ;;运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>                                <=>（4）与共线的单位向量为4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>           <=>5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：①若，，则，，， ，， 。②若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，④，三角形重心P坐标为⑤ΔABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若，，则，（5）夹角公式：。ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ（6）两点间的距离公式：若，，则，或 7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。（4）空间向量数量积的性质：①。②。③。（5）空间向量数量积运算律：①。②（交换律）。③（分配律）。④不满足乘法结合率：题型一：空间直角坐标系例1：1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（       ）A． B． C． D．2．如图，从 这 6个点中随机选取 3 个点， 则这 3 点与原点 共面的概率为_____.举一反三1．(多选)已知空间向量，则下列说法正确的是（       ）A．     B．向量与向量共线C．向量关于轴对称的向量为 D．向量关于平面对称的向量为2．已知、，则线段中点的坐标是______.题型二：空间向量加减运算例2：1．如图，设，，，若，，则（       ）A．  B．  C．   D．举一反三1．在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________．题型三：空间共线向量例3：1．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（       ）A．，   B．，   C．，  D．，举一反三1．已知，，，则下列结论正确的是（       ）．A．，   B．，   C．，  D．以上都不对题型四：空间共面向量例4：1．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3举一反三．已知向量，，，若，，共面，则___________.题型五：空间向量的数乘运算例5：1．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（            ）A．  B． C．   D．举一反三1．已知长方体，若为与的交点，则___________.题型六：空间向量的数量积例6：1．（多选）已知，，，则下列结论正确的是（       ）A．  B．  C．为钝角   D．在方向上的投影向量为举一反三1．已知，．(1)求的值；(2)当时，求实数k的值．题型七：空间中直线的方向向量例7：1．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（       ）A． B．1 C． D．举一反三1．有以下命题：①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直其中真命题的个数有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型八：空间中平面的法相量例八：1．已知平面，写出平面的一个法向量______．举一反三1．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面的一个法向量；(2)求平面的一个法向量． 题型九：空间中的距离问题例9：1．如图，在边长为的正方体中，是棱上一点且，是面上的点.一质点从点射向点，遇到正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点，则线段与的长度之和为（       ）A． B． C． D．举一反三1．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．二．空间向量的应用1.用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.例1：若直线，的方向向量分别为，，则，的位置关系是（       ）A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合举一反三：（多选）已知，，若，则与的值可以是（       ）.A．2， B．， C．， D．，2 ⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.例2：如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______．举一反三：如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：平面． ⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.例3：如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.举一反三：已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则=_________．2.用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.例4：若直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（       ）A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．垂直相交举一反三：设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（       ）A．1 B．2 C．3 D．4⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若例5：若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．举一反三：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．⑶面面垂直。 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.例6：如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．(1)求证：平面ABD．(2)求证：平面平面ABD．举一反三：已知平面，的法向量分别为，，则（       ）A．   B．  C．，相交但不垂直  D．，的位置关系不确定2.空间角的向量求法⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则例1：（2018·全国·高考真题（理））在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．举一反三1．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．2．（2022·山西晋城·三模（文））在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.⑵求直线和平面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角
的余角.即有：例2：（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．举一反三（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.如图：  求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，  即；如果是钝角，则， 即.例3：（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 举一反三（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值． 3.空间距离向量求法⑴点Q到直线距离  若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为               例1：（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．举一反三2022辽宁省大连市三模）如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________. ⑵点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值. 即例2：（2022·河南郑州·二模（理））如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（       ）A． B． C． D．举一反三（2022·湖北·黄冈中学模拟预测（理））在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为（　　）A． B． C． D．⑶直线与平面之间的距离  当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即例3：正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是（       ）A． B． C． D． 举一反三如图，若正四棱柱的底边长为1，，E是的中点，则到平面EAC的距离为（       ）A． B． C． D．⑷两平行平面之间的距离  利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即例4：在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离．举一反三在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．⑸异面直线间的距离  设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。 即例5：（2022·山西·一模（理））在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面平面，活动弹子分别在正方形对角线，上移动，则长度的最小值是___________．举一反三（2007·重庆·高考真题（理））如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1,；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．（1）求异面直线DE与的距离；