选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品课时作业

第二章直线和圆的方程

一、直线与方程

1、   直线的斜率与倾斜角

(1)斜率：两点的斜率公式：，则

(2)直线的倾斜角范围：

（3）斜率与倾斜角的关系：

注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；

（2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。

例1：1．直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

2．过点的直线的倾斜角为（       ）

A． B． C．1 D．

举一反三

1．如图，直线的斜率分别为，则（       ）

A． B．

C． D．

2．直线的倾斜角为，则的值为（       ）

A． B． C． D．4

3．已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

2、直线方程

(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线

（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线

注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零

（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线

（4）截距式：；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线

（5）一般式：（不同时为）

（6）特殊直线方程

①斜率不存在的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：

②斜率为的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：

③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）

在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）

在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

例2：1．若直线过点，则直线的方程为（       ）

A． B． C． D．

2．直线过点，则a的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

3．过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

4．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

5．已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（       ）

A． B． C． D．

6．经过直线的定点，且斜率为的直线方程为__________．

举一反三

1．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（       ）

A．1 B． C．或1 D．2或1

2．已知直线，下列结论正确的是（       ）

A．直线的倾斜角为 B．直线的法向量为

C．直线的方向向量为 D．直线的斜率为

3．已知点、，则直线AB的两点式方程是______．

4．设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．

5．根据下列条件，分别写出直线的方程：

(1)过点，且在y轴上的截距为6；

(2)过点，且在x轴上的截距为3．

6．在平面直角坐标系中，直线过点.

(1)若直线的倾斜角为，求直线的方程；

(2)直线，若直线与直线关于直线对称，求的值与直线的方程.

3、平面上两直线的位置关系及判断方法

（1）

①平行：且（注意验证）

②重合：且

③相交：    特别地，垂直：

（2）

①平行：且（验证）

②重合：且

③相交：   特别地，垂直：

（3）与直线平行的直线可设为：

与直线垂直的直线可设为：

例3：1．已知直线与互相垂直，则（       ）

A． B． C．1 D．1或

2．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（       ）

A． B．

C．  D．

3．经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．

举一反三

1．已知直线和直线互相垂直，则实数a的值为（       ）

A．0 B． C．0或 D．0或2

2．（多选）已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（       ）

A．直线l的倾斜角是

B．若直线m：＝0，则l⊥m

C．点到直线l的距离是2

D．过与直线l平行的直线方程是

3．若直线与直线平行，则__________.

4、其他公式

（1）平面上两点间的距离公式：，则

（2）线段中点坐标公式：，则中点的坐标为

（3）三角形重心坐标公式：，则三角形的重心坐标公式为：

（4）点到直线的距离公式：

（5）两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）

（6）点关于点的对称点的求法：点为中点

（7）点关于直线的对称点的求法：利用直线与直线垂直以及的中点在直线上，列出方程组，求出点的坐标。

例4：1．数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（　　）

A． B． C． D．

2．直线与直线的距离为______．

3．已知的三个顶点是，则的面积为________．

举一反三

1．已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________.

2．在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．

3．已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.

二、圆与方程

1、圆的方程

（1）圆的标准方程：，其中为圆心，为半径

（2）圆的一般方程：，其中圆心为，半径为(只有当的系数化为1时才能用上述公式)

注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

例1：1．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

2．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

举一反三

1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（      ）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·模拟预测）已知圆的方程为：，定点，若，为圆上的两个动点，则线段的中点的轨迹方程为______；若弦经过点，则中点的轨迹方程为______．

2、直线与圆的位置关系

(1)直线，圆，记圆心到直线的距离

①直线与圆相交,则或方程组的

②直线与圆相切，则或方程组的

③直线与圆相离，则或方程组的

（2）直线与圆相交时，半径，圆心到弦的距离，弦长，满足：

（3）直线与圆相切时，

①切线的求法：

（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；

（Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；

（Ⅲ）已知过圆外的点求圆的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为，验证圆心到切线距离是否等于半径。

②由圆外点向圆引切线，记两点的距离为，则切线长

（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为，则圆上点到直线的最近距离为，最远距离为

例2：1．已知圆：，直线过点与圆交于A，B两点，若点为线段的中点，则直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

3．（多选）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

4．已知直线l过点交圆于A、B两点．

(1)当直线l的倾斜角为时，求的长；

(2)当最小时，求直线l的方程．

举一反三

1．直线与圆相切，则（       ）

A．3 B． C．或1 D．3或

2．已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（       ）

A．5h B．h C．h D．4h

3．已知直线l将圆平分，若l不经过x轴的负半轴，则其斜率的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

4．（多选）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则弦长|AB|的可能取值是（       ）

A．6 B．7 C．8 D．5

5．已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为___________.

3、两圆的位置关系

圆，圆，两圆圆心距离

(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则

注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：

（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则

特别地，当时，两圆为同心圆

例3：1．已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（       ）

A．4 B．5 C．7 D．10

2．已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（       ）

A．内切 B．相离 C．外切 D．相交

3．（多选）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（       ）

A．

B．过作圆的切线，切线长为

C．过点A且与圆相切的直线方程为

D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为

举一反三

1．圆与圆外切，则实数_________．

2．已知圆和圆内切，则m的值为___________．

3．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.