第三章 圆锥曲线的方程（专题详解）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第一册）

这是一份第三章 圆锥曲线的方程（专题详解）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第一册），文件包含第三章圆锥曲线的方程-专题详解-高二数学考点知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第一册解析版docx、第三章圆锥曲线的方程-专题详解-高二数学考点知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。

第三章圆锥曲线的方程
一．椭圆
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
　注意：若，则动点的轨迹为线段；
　　　　　若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；
　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
　　3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，
知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆：的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，，，　　
③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：
　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；
　　（2）；；；
　　（3）；；；
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长    长轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
通径
过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a
题型一：椭圆的定义
例1：（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）
A．13 B．12 C．9 D．6
题型二：椭圆的标准方程
例2：1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
2．（2019·全国·高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．

题型三：椭圆的焦点、焦距
例3：1．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（       ）
A． B． C． D．
题型四：椭圆的范围
例4：1．（2022·江西·二模（理））曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为8，最小值为1，则椭圆C的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
题型五：椭圆的对称性
例5：1．（2022·河北邯郸·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（       ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
题型六：椭圆的顶点、长短轴
例6：1．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（       ）
A．3 B．6 C．8 D．12
题型七：椭圆的离心率
例7：1．（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
题型八：椭圆的应用
例8：1．（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（     ）
A． B．
C． D．

二．直线与椭圆的位置关系
1..点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)在椭圆内部的充要条件是；在椭圆外部的充要条件是；
在椭圆上的充要条件是.
2.直线与椭圆的位置关系.
设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，
则l与C相离的Δ<0； l与C相切Δ=0； l与C相交于不同两点Δ>0.
3.弦长计算
计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|= （k为直线斜率）形式(利用根与系数关系
（推导过程：若点在直线上，
则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，


或者
。)
4.中点弦问题

关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.
(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为＋＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则

由①－②得a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，
∴＝－·＝－·.
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1：（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．

题型二：椭圆的弦长
例2：（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆：的离心率为，为过椭圆右焦点的一条弦，且长度的最小值为2．
(1)求椭圆的方程．
(2)若斜率为1的直线与椭圆交于，两点，点，直线的斜率为，求线段的长度．

题型三：椭圆的焦点弦
例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是____.

题型四：椭圆的中点弦
例4：（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．

题型五：椭圆中参数的范围及最值
例5：（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．

题型六：椭圆中的定点、定值问题
例6：（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

题型七：椭圆的定直线
例7：（2022·河北沧州·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

题型八：椭圆中的向量问题
例8：（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））已知曲线C上动点到定点与定直线的距离之比为常数．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．


三．双曲线
一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
二、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长    实轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
，越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程


三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
题型一：双曲线的定义
例1：1．（2022·四川成都·三模（理））设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（       ）．
A． B． C． D．
题型二：求双曲线的解析式
例2：1．（2016·全国·高考真题（理））已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
题型三：双曲线的焦点、焦距
例3：1．（2018·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是
A．， B．，
C．， D．，
2．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
题型四：双曲线的范围
例4：1．（2021·广西·玉林市育才中学三模（文））函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（        ）
A．6 B．-2 C．1 D．4
题型五：双曲线的对称性
例5：1．（2022·湖南衡阳·三模）已知双曲线：的上、下焦点分别为，，点在轴上，线段交于点，的内切圆与直线相切于点，则线段的长为（       ）
A．1 B．2 C． D．

题型六：双曲线的顶点、实轴、虚轴
例6：1．（2014·广东·高考真题（文））若实数满足，则曲线与曲线的
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
题型七：等轴双曲线
例7：1．（2019·浙江·高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
题型八：双曲线的渐进性
例8：1．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
题型九：双曲线的离心率
例9：1．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．3
2.（多选）（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
题型十：双曲线的应用
例10：1．（2022·重庆八中模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（       ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m
C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m
四．直线与双曲线的位置关系
1. 直线与双曲线的位置关系的判断
设直线 y=kx+b ，双曲 线 联立 消去y得A x 2 + B x+ C =0（a≠0），Δ= B 2 － 4 AC 。
若 A=0 即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若Δ >0, 直线与双曲线相交，有两个交点；
若 Δ =0， 直线与双曲线相切，有一个交点；
若 Δ <0， 直线与双曲线相离，无交点；
直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.弦长问题
设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1 ,y 1 )，P2 (x 2 ,y 2 )，
且由，消去y→ax 2 +bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 － 4ac 。
a. 相交弦AB的弦长

或
题型一：直线与双曲线的位置关系
例1：（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
题型二：双曲线的弦长
例2：（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.

题型三：双曲线的焦点弦
例3：（2022·河南·模拟预测（理））如图所示，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右顶点分别为A，B，过其右焦点F作x轴的垂线与E交于C，D两点，四边形BCDG为平行四边形，过O作AG的平行线，分别与直线BG，CD交于点P，Q，设梯形BFQP的面积为S，则（       ）．

A． B．
C． D．
题型四：双曲线的中点弦
例四：（2022·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（       ）
A． B．2 C． D．
题型五：双曲线中的参数范围及最值
例5：1．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（       ）
A．4 B．8 C．16 D．32
题型六：双曲线中的定点定值问题
例6：（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
.

题型七：双曲线中的定直线问题
例7：1．（2022·全国·模拟预测（理））过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（       ）
A．1 B． C． D．2
题型八：双曲线中的向量问题
例8：（2022··一模）设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．

五．抛物线
一、 抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。{=点M到直线的距离} （一动三定）（注：定点F不在定直线上，否则动点的轨迹是过定点F垂直于直线的一条直线）（一焦一顶一轴一准无心，也叫无心圆锥曲线）；是焦点F到的距离，越大开口越大，反之越小。
二．抛物线的几何性质：


图形




参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
开口方向
右
左
上
下
标 准方 程




焦 点位 置
X正
X负
Y正
Y负
焦 点坐 标




准 线方 程




范 围




对 称轴
X轴
X轴
Y轴
Y轴
顶 点坐 标
（0,0）
离心率

通 径
2p
焦半径




焦点弦长




题型一：抛物线的定义
例1：1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ）
A．2 B． C．3 D．
题型二：求抛物线的标准方程
例2：（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
题型三：抛物线的顶点、开口方向
例3：点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（       ）
A． B．或
C． D．或
题型四：抛物线的对称性
例4：1．（2021·天津市南开区南大奥宇培训学校模拟预测）已知双曲线与抛物线（其中）交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（       ）
A． B．2 C． D．
题型五：抛物线的范围
例5：1．（2022·北京平谷·二模）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（       ）
A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2
题型六：抛物线的焦半径公式
例6：1．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．
六．直线和抛物线的位置关系
一、焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点
(1) 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。
(2) 若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。
(3) 已知直线AB是过抛物线焦点F ,
(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
二、切线方程
图象

x
y
O
l
F

x
y
O
l
F


l
F
x
y
O

x
y
O
l
F







切线方程





三．直线与抛物线的位置关系
　　直线，抛物线，
　　，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
四、相交弦AB的弦长

或
五．点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得
将两式相减，可得 ，
a. 在涉及斜率问题时，
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，
即，
同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有
题型一：直线与抛物线的位置关系
例1：1．（2020·全国·高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（       ）
A． B． C． D．
题型二：抛物线的弦长
例2：（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（       ）
A．7 B． C． D．
题型三：抛物线的焦点弦
例3：1．（2017·全国·高考真题（理））已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
题型四：抛物线的中点弦
例4：1．（2022·山东泰安·二模）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（       ）
A． B． C．3 D．4
题型五：抛物线中的参数范围与最值
例5：1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
题型六：抛物线的定点、定值问题
例6：（2019·全国·高考真题（文））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
题型七：抛物线中的定直线
例7：（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．

(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．

题型八：抛物线中的向量运算
例8：（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
题型九：抛物线的应用
例9：1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））如图某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（       ）

A． B． C． D．