第三章 圆锥曲线的方程（单元模拟测试）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第一册）

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第三章圆锥曲线的方程模拟测试本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的焦点到其准线的距离为（       ）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解；【详解】解：抛物线，即，则，所以，所以抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：C2．双曲线的渐近线方程是（          ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可【详解】由题意，的渐近线方程为故选：C3．椭圆的长半轴长（        ）A．11 B．7 C．5 D．2【答案】C【解析】【分析】直接由椭圆标准方程求解即可.【详解】由椭圆标准方程知，长半轴长.故选：C.4．抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（       ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】计算准线方程得到，解得答案.【详解】抛物线的准线方程为，设点的横坐标为，到焦点的距离等于，故.故选：B.5．已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的离心率求得，再根据椭圆离心率的公式及可得解.【详解】解：因为椭圆的离心率为，所以，解得，则椭圆的离心率.故选：C.6．已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程．【详解】，是的中点，所以，，则，，解得，所以双曲线方程为．故选：D．7．设点在抛物线上，是焦点，则（       ）A．880 B．878 C．876 D．882【答案】A【解析】【分析】根据焦半径公式，结合等差数列求和，即可求解.【详解】由条件可知，抛物线开口向左，焦半径公式，所以.故选：A8．已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可得，心为，半径为，由圆的性质可知取最小值为，求出直线的方程并利用点到直线的距离求出到直线的距离，最后利用三角面积公式求解即可【详解】由双曲线的方程可得，圆的圆心为，半径为，设，则，，当时，即时，有最小值为，所以取最小值为，此时共线，直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，所以的面积为，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ）A．若为椭圆，则    B．若为双曲线，则或C．曲线可能是圆          D．若为椭圆，且长轴在轴上，则【答案】BC【解析】【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误若为双曲线，则 ， ，故B正确若为圆，则 ， ，故C正确若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误故选：BC10．已知圆，直线，直线l与抛物线交于A，B两点，（       ）．A．l被圆C截得的弦长的最小值为B．l被圆C截得的弦长的最小值为C．若弦AB中点的坐标为，则D．若弦AB中点的坐标为，则【答案】AD【解析】【分析】对于A，B：因为直线过定点，且在圆C内，所以当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，结合垂径定理求解判断；对于C，D：利用点差法，设点运算求解判断．【详解】因为直线，，即过定点，则在圆C内，所以当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短．因为圆C的半径为2，，所以弦长的最小值为，A正确，B错误设，，则，相减得，整理得．因为弦AB中点的坐标为，所以，得，C正确，D错误故选：AD．11．点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（       ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，，即，，，则，所以选项AC满足.故选：AC.12．已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（       ）A．过点与只有一个公共点的直线有2条B．若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上C．过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值D．若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则【答案】BCD【解析】【分析】对于，过与只有一个公共点的直线有3条，故可判断；对于B，由题意可求得，取渐近线方程为，可求得关于渐近线的对称点为，代入的方程验证即可；对于，当直线与轴垂直时，线段长度最小，即可判断；对于D,双曲线为即，设，则，，解得，即可判断.【详解】对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误；对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线的对称点为，则，解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确；对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确；对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则①，又，则②，联立①②解得，易得，故D正确．故选:BCD．三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线E的焦距等于______.【答案】【解析】【分析】由题可求渐近线方程，然后可得，，即求.【详解】∵双曲线的渐近线方程为，∴，即，∴，，∴的焦距等于.故答案为：.14．已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再由三点共线求最小值.【详解】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.15．设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，，，则椭圆的离心率_________.【答案】或【解析】【分析】根据余弦定理可得，进而结合焦点三角形与离心率公式求解即可【详解】因为，且，故为锐角，所以，由余弦定理，即，所以，故或，故或故答案为：或16．已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，点，，P为第一象限内E上一点，，且，则直线的斜率为___.【答案】##【解析】【分析】解法一：先根据双曲线定义求出双曲线的离心率，再取，，，得到，设，转化为，列出方程，求出，从而求出直线的斜率；解法二：：先根据双曲线定义求出双曲线的离心率，得到，设直线：，，利用点到直线距离表达出点B，到直线的距离，列出方程，求出.【详解】解法一：因为，所以，即，易知，不妨取，，，则点，，，，且，故，设直线与交于点，则，即，故点，因此.解法二：前同解法一，知，，故，设直线：，，则点B，到直线的距离分别是，，故，那么（舍去），或，因此.故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.(1)求椭圆的焦点坐标；(2)求双曲线的标准方程．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标.（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为，再由双曲线参数关系求出参数，即可得双曲线标准方程.(1)由题设，，又，所以椭圆的焦点坐标为.(2)由题设，令双曲线为，由（1）知：，可得，所以双曲线的标准方程为.18．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；(1)解：双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为(2)解：设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.19．如图，直线：与抛物线：相切于点.(1)求实数的值；(2)求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）联立方程，利用判别式为零可求结果；（2）先求点的坐标，再求圆的半径，根据圆心和半径写出圆的方程.(1)直线：与抛物线：相切于点.则得，（*）因为直线与抛物线相切，所以，解得.(2)由（1）可知，故方程（*）即为，解得，代入，得.故点，因为圆与抛物线的准线相切，所以的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，即，所以圆的方程为.20．设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.(1)双曲线C的方程；(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程；（2）设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；(1)解：抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.(2)解：依题意设，，由消去整理得，由，所以，，所以.21．已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，P是直线上的一动点(P的纵坐标不为零且P不在椭圆E上)，直线AP与椭圆E的另一交点为M，直线BP与椭圆E的另一交点为N，直线MN与x轴的交点为Q，且△AMB面积的最大值为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线PQ的斜率为，直线BP的斜率为，证明为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，由此建立方程求得a，可得椭圆的标准方程；（2）设P(－1，t)(且)，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，设点M(，)，N(，)，联立方程组，可解得，.同理可得.再求得点Q的坐标，表示，可求得其定值.(1)解：当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，则，解得，所以椭圆E的方程为..(2)证明：设P(－1，t)(且)，，，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，设点M(，)，N(，)，联立方程组消去y，整理得.则，因为，所以，.同理可得.因为且，所以，则直线MN的方程为，令，得.则.22．已知椭圆C：，点，分别为椭圆的左、右焦点．(1)求椭圆C的短轴长和点，的坐标；(2)设为椭圆C上一点，且在第一象限内，直线与y轴相交于点Q，若点在以PQ为直径的圆的外部，求的取值范围．【答案】(1)短轴长为2，(2)【解析】【分析】（1）将椭圆化为标准方程可以直接得出答案；（2）直线的方程为，可得，依题意，，化简可得，而，由此可求得实数的取值范围．(1)将椭圆化为标准方程为，则，，，椭圆的短轴长为2，；(2)显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则，联立，消去可得，，则恒成立，依题意，，又，，即，，又，则，，即，又，则实数的取值范围为．