第三章 圆锥曲线的方程（基础提升测试）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第一册）

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第三章圆锥曲线的方程基础提升测试本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的焦点到其准线的距离是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离；故选：A2．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（            ）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知∴故选：C3．－＝4表示的曲线方程为（       ）A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)【答案】C【解析】【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围．【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.根据双曲线定义可知， 所以   由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大所以 即曲线方程为故选：C.4．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出直线与x轴，y轴的交点，即可求解作答.【详解】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，所以椭圆方程为.故选：B5．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知得双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的方程为，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点在该双曲线上．设该双曲线的方程为，则解得，，故该双曲线的标准方程是．故选：D.6．设点在抛物线上，是焦点，则（       ）A．880 B．878 C．876 D．882【答案】A【解析】【分析】根据焦半径公式，结合等差数列求和，即可求解.【详解】由条件可知，抛物线开口向左，焦半径公式，所以.故选：A7．已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由双曲线定义可得，根据平行关系可知，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率.【详解】设，则点位于第四象限，由双曲线定义知：，；设过点且与平行的直线的倾斜角为，则，，；在中，由余弦定理得：，即，整理可得：，.故选：C.8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为的中点，且，则双曲线C的渐近线方程是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】依题意可得，即可求出，再由，即可得到，由余弦定理求出，即可得到，再根据，即可得到、的关系，即可得解；【详解】解：由，即，又，且，解得或（舍去），由且为的中点，知，∴，∴，∴，又，∴，∴渐近线方程为.故选：A二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（       ）A．M到两定点，的距离之和为4B．M到两定点，的距离之和为6C．M到两定点，的距离之和为6D．M到两定点，的距离之和为8【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.【详解】因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合，故选：BD10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（       ）A．B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个D．△PF1F2的面积为【答案】BC【解析】【分析】对于A：利用双曲线定义分析判断；对于B：设，利用斜率公式计算得，再根据点在双曲线上得，整理代入运算；对于C：因为，结合题意只能或，再结合图象及性质分析判断；对于D：根据定义结合余弦定理整理得，再结合面积公式整理判断．【详解】根据双曲线的定义可得：，A错误；设，则，即∵，则∴，B正确；不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；不妨P在第一象限，则∴则D不正确；故选：BC．11．已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（       ）A．B．动点Q的轨迹方程为C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A：利用离心率直接求出；对于B：设进行向量坐标化，整理化简得到，即可判断出动点的轨迹方程为直线，故正确；对于C、D：求出线段长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】对于A：由椭圆的离心率为，得，所以，故正确；对于B：设，由，得两式相乘得，同理可得，由题意知且，否则与矛盾，动点的轨迹方程为，即直线，故正确；对于C、D：所以线段长度的最小值即为原点到直线的距离，min，故C错误，D正确.故选：ABD.12．已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于，两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是（       ）A．B．若，则C．若，则面积的最小值为D．四点共圆【答案】ACD【解析】【分析】由抛物线焦半径公式可直接构造方程求得，知A正确；设，与抛物线方程联立可得，由向量数量积的坐标运算可知B错误；由可知C正确；表示出直线方程后，可求得点坐标，进而得到，知，同理可得，由此可知D正确.【详解】对于A，由抛物线焦半径公式得：，解得：，A正确；对于B，由题意知：直线斜率存在，设，由得：，；由得：，则，，B错误；对于C，若，则，不妨设，则（当且仅当时取等号），即面积的最小值为，C正确；对于D，直线的斜率为，直线的方程为，令得：，点的横坐标为，即，则直线的斜率，，，同理可得：，四点共圆，D正确．故选：ACD．【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用的问题，本题D选项中，证明四点共圆的基本思路是能够通过说明两条直线斜率乘积为，得到两条直线互相垂直，进而得到四边形对角互补，得到四点共圆.三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为__________．【答案】，【解析】【分析】由题可得双曲线的渐近线方程，然后利用直线的位置关系及直线的点斜式方程即得.【详解】由双曲线：可得其渐近线方程为，∴过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为，即，.故答案为：，.14．已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为___________.【答案】【解析】【分析】先确定，两点在双曲线上，代入双曲线方程中求得，即可确定C的方程.【详解】根据双曲线的对称性可知，点，在双曲线图像上，将其代入双曲线方程，所以解得所以双曲线C：，故答案为：.15．已知抛物线过点，则其准线方程为___________.【答案】##x+1=0【解析】【分析】将点代入，求出值，进而根据抛物线的性质，可得准线方程．【详解】解：抛物线经过点，，解得：，抛物线的准线方程为，故答案为：．16．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面与该圆锥的底而所成的锐二面角为，则平面截该圆锥所得椭圆的离心率为_________．【答案】【解析】【分析】根据几何性质，分别求出椭圆的长半轴a和半轴b，进而求出c，即可求出离心率.【详解】如图1,不妨令正△ABC边长为,重心G,椭圆中心N,中线BD,底面圆心M.PG与长轴垂直.则.，所以.所以，.PG为过G与底面平行的圆的半径,如图2在△AMC,作GE∥MC,由相似可得：,所以，所以.如图3,即,代入方程得：,又,解得,所以，所以，所以离心率.故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．【详解】（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，由得所以，所以.【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．18．已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)；(2)证明见解析；定点.【解析】【分析】（1）根据直线，均与椭圆相交，联立方程利用求解；（2）利用韦达定理分别求M，N的坐标，进而求出直线的方程判断定点．(1)根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．(2)设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．19．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．【答案】(1)(2)2【解析】【分析】（1）由渐近线可得，再把点代入方程即可解得；（2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为，联立方程利用韦达定理可求，分析求解即可，但要注意讨论直线的斜率是否存在．(1)由题设可知，解得则：．(2)设点M的横坐标为当直线斜率不存在时，则直线：易知点到轴的距离为﹔当直线斜率存在时，设：，，，联立，整理得，，整理得联立，整理得，则，则，即则，即∴此时点到轴的距离大于2；综上所述，点到轴的最小距离为2．20．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G．证明△PQG是直角三角形．【答案】(1)=1(|x|≠2)；C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据斜率的计算公式利用直接法即可得结果；（2）直线PQ的斜率为k，通过联立方程组求出的坐标，通过斜率计算公式可得的斜率为，进而可得结果.(1)由题设得·=，化简得=1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)设直线PQ的斜率为k，则其方程为y=kx(k>0)．由得x=±．记u=，则P(u，uk)，Q(-u，-uk)，E(u，0)．于是直线QG的斜率为，方程为y=(x-u)．由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0．①设G(xG，yG)，则-u和xG是方程①的解，故xG=，由此得yG=．从而直线PG的斜率为．所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．21．已知椭圆()的离心率为，以原点为圆心，以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.(1)求椭圆的方程；(2)点P的坐标为(2，1)，直线（不过原点也不过点P）交于A，B两点，且直线AP，BP的倾斜角互补，若点M是AB的中点，求直线OM的斜率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用直线与圆的位置关系求解，利用离心率跟的关系，列式求解即可得椭圆方程；（2）分析题意，直线斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程中，得交点的横坐标关系，在利用直线AP，BP的倾斜角互补，建立坐标关系，整理求解即可得直线OM的斜率.(1)解：由已知得，，∴，, 又原点到直线的距离为＝，             因此b2＝（）2 ＋12＝3，，             故椭圆的方程为 ；(2)解：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，，，由可得， 则△，且，， 直线，的倾斜角互补， 则，代入，，所以即有，整理可得       ， 即     又直线不经过点 即      故         22．已知离心率为的椭圆过点，抛物线．(1)若抛物线的焦点恰为椭圆的右顶点，求抛物线方程；(2)若椭圆与抛物线在第一象限的交点为，过但不经过原点的直线交椭圆于，交抛物线于，且，求的最大值，并求出此时直线的斜率．【答案】(1)(2)的最大值为，此时直线的斜率为【解析】【分析】（1）根据椭圆的关系、以及将点代入椭圆可求得椭圆的方程，从而求出抛物线的 ，从而得出抛物线方程.（2）联立直线与椭圆方程解得关于的一元二次方程，求出（含参数的）韦达定理，再根据题意得表示出点坐标，代入椭圆方程表达出点坐标，通过换元法解出的最大值，从而得出直线的斜率.(1)解：由设，，所以将点代入椭圆得：椭圆，所以的右顶点为，依题意，所以抛物线方程为；(2)解：设直线的方程为，，，，联立，消去整理得，显然则，所以，；联立，消去整理得，，且由抛物线方程得，所以点坐标为，将点代入椭圆方程有：整理得：，令，则，当且仅当即，即直线的斜率时取等号，所以，，，即的最大值为，此时直线的斜率为．