中考一轮综合复习导学案（11）几何初步与相交平行

中考一轮综合复习导学案（11）

模块十一：几何初步与相交平行

【教材涉及章节：初一上册第4章  几何初步  初一下第5章  相交与平行】

涉及到2021大连中考题题：

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、多姿多彩的图形

1．     几何图形的分类

❤重点讲解❤：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.

2．立体图形与平面图形的相互转化

（1）立体图形的平面展开图：

把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．

❤重点讲解❤：

①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；

②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践.

（2）从不同方向看：

主（正）视图---------从正面看

几何体的三视图   左视图-----从左（右）边看

俯视图---------------从上面看

❤重点讲解❤：

①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.

②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.

（3）几何体的构成元素及关系

几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.

要点二、直线、射线、线段

1. 直线，射线与线段的区别与联系

2. 基本性质

(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．

❤重点讲解❤：

①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.

②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.

3.画一条线段等于已知线段

（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.

（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：

4．线段的比较与运算

（1）线段的比较：

  比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.

（2）线段的和与差：

如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。

（3）线段的中点：

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：

❤重点讲解❤：

①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.

②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.

要点三、角

1．角的度量

（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.

(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：

❤重点讲解❤：

①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；

②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.

（3）角度制及角度的换算

1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.

❤重点讲解❤：

①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.

②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.

③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一

成60.

（4）角的分类

（5）画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.

（2）借助量角器能画出给定度数的角.

（3）用尺规作图法.

2．角的比较与运算

（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.

（2）角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.

类似地，还有角的三等分线等.

3．角的互余互补关系                  

余角补角

（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.

（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.

（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.

❤重点讲解❤：

①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).

②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.

③只考虑数量关系，与位置无关．

④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .

4．方位角

以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

❤重点讲解❤：

（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.

（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.

（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.

知识点四、相交线

1.对顶角、邻补角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：

❤重点讲解❤：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.

2.垂线及性质、点到直线的距离

（1）垂线的定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.

❤重点讲解❤：

要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.

（2）垂线的性质：

垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).

垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.

（3）点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.

❤重点讲解❤：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.

知识点五、平行线

1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

❤重点讲解❤：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

❤重点讲解❤：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

3．两条平行线间的距离

如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

❤重点讲解❤：

（1）两条平行线之间的距离处处相等.

（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.

（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.

知识点三、命题及平移

1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.

2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．

❤重点讲解❤：平移的性质：

（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；

（2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；

（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

【2021中考汇编】

一、选择题

1. （2021•甘肃省定西市）．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（　　）

A．70° B．60° C．75° D．80°

2. （2021•长沙市）如图，，分别与，交于点，，，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. （2021•山东省聊城市）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（    ）

A 95°   B. 105°   C. 110°   D. 115°

4. （2021•山东省临沂市）如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°

5. （2021•山东省泰安市）如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　）

A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130°

6. （2021•河北省）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（　　）

A．a B．b C．c D．d

7. （2021•湖北省随州市）．如图，将一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（     ）

A． B． C． D．

8. （2021•山东省菏泽市）一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则∠α的度数是（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

9. 2021•湖北省荆州市）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

10. （2021•四川省达州市）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°

11. （2021•四川省眉山市）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．60

12. （2021•青海省））如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，∠1＝50°，则∠2的度数是 　　．

13. （2021•新疆）如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（   ）

A.  B.  C.  D.

14. （2021•浙江省杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（　　）

A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ

15. （2021•浙江省金华市）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（　　）

A．两直线平行，内错角相等   B．内错角相等，两直线平行 

C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补

16. （2021•浙江省台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（   ）

A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短

C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线

17. （2021•浙江省台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（   ）

A. 40° B. 43° C. 45° D. 47°

18. （2021•湖北省十堰市） 如图，直线，则（    ）

A.  B.  C.  D.

19. （2021•北京市）．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

20. （2021•海南省）如图，已知a∥b，直线l与直线a、b分别交于点A、B，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°

21. （2021•黑龙江省大庆市）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有           个交点；

22. （2021•广西贺州市）如图，下列两个角是同旁内角的是（    ）

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

23．（2021•山东省济宁市）如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度数是（　　）

A．72°28′ B．101°28′ C．107°32′ D．127°32′

24. （2021•呼和浩特市）如图，在中，，，直线经过点A，，则的度数是（     ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

25. (2021•内蒙古包头市)已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ）

A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或3

26. (2021•内蒙古包头市) 如图，直线，直线交于点A，交于点B，过点B的直线交于点C．若，，则等于（   ）

A.  B.  C.  D.

27. （2021•齐齐哈尔市）把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

28. （2021•贵州省铜仁市）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（      ）

A.    B.    C.    D.

29. （2021•襄阳市）如图，，，重足为，，则等于（    ）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°

二．填空题

1. （2021•山东省临沂市）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是 　　（只填写序号）．

①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；

②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；

③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；

④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．

2. （2021•上海市）的余角是__________．

3.（2021•湖北省恩施州）如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝　　．

4. （2021•湖南省张家界市）.如图,已知∥,是的平分线,若,则=         .