第四章 数列（单元模拟测试）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第二册）

第四章数列模拟测试

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不

能答在试卷上，

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记为等差数列的前n项和.若，，则（       ）

A．-54 B．-18 C．18 D．36

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意求出公差，再根据等差数列的前项和公式即可得解.

【详解】

解：设公差为，

则，解得，

所以，

所以.

故选：C.

2．设数列满足，则（       ）

A．0 B．4 C．5 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

由递推关系式直接求即可.

【详解】

由题意得：.

故选：B.

3．计算（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等比数列的前n项和公式计算.

【详解】

表示首项为2，公比为的等比数列的前11项和，所以．

故选：A.

4．骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（       ）

A．134 B．133 C．114 D．113

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列的前项和公式计算．

【详解】

由题意7个齿轮的齿轮数构成等差数列，首末两项分别为10和28，

所以所有齿数之和为．

故选：B．

5．等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为（       ）

A．4 B．5 C．8 D．9

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差数列求和公式结合条件可得，然后解不等式即得.

【详解】

因为，，

所以，又，

由，可得，即，

所以使成立的最小正整数n的值为9.

故选：D.

6．已知等比数列的前3项积为8，，则（       ）

A．8 B．12 C．16 D．32

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知列方程求出，，进而得解.

【详解】

由题知，所以，又因为，所以，所以，所以.

故选：D.

7．设为等差数列的前n项和，且，，若，则数列的前30项和（       ）

A．60 B．30 C．－60 D．－30

【答案】B

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为d，由已知建立方程组求得数列的通项公式，继而可得，再计算，从而可求得答案.

【详解】

解：设等差数列的公差为d，由，得：，解得，

所以数列的通项公式为，所以，

，

所以，

故选：B.

8．在等差数列中，，．记，则数列（       ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.

【详解】

由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．数列的通项公式为则（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

直接求出即得解.

【详解】

解：由通项公式得，，所以.

故选：BC.

10．已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】

【分析】

由已知可得数列是以3为周期的周期数列，然后逐个分析判断即可

【详解】

因为，，所以，，，

对于A，，所以A错误，

对于B，当时，，所以B错误，

对于C，因为， 数列是以3为周期的周期数列，所以，所以C正确，且

对于D，因为数列是以3为周期的周期数列，且，所以，所以D正确，

故选：CD

11．设公差小于0的等差数列的前项和为，若，则（       ）

A． B．

C． D．的最大值为或

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据等差数列性质，可得，可得A正确；求得和，分析即可判断B的正误；根据等差数列求和公式，可判断C的正误；根据等差数列单调性，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】

因为为等差数列，且，

对于A：由性质可得，解得，故A正确；

对于B：，，故B错误

对于C：，故C正确；

对于D：因为，且公差，

所以的最大值为或，故D正确

故选：ACD

12．若等差数列的前n项之和为，公差为d，等比数列的前n项之和为，公比为q（），若，则下列各选项正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用等差数列、等比数列前n项和公式表示出，，再求出并与已知等式比对即可分析计算作答.

【详解】

依题意，，，

，

而，

于是得，且，即，整理得：，即B，C不满足，A，D满足.

故选：AD

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1．如：第一位同学报，第二位同学报，第三位同学报，……这样得到的100个数的积为__________．

【答案】101

【解析】

【分析】

用数学符号表示出每位同学的报数，再直接相乘即可.

【详解】

设第位同学的报数为，则，

则；

故答案为：101.

14．已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.

【答案】2

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质以及前n项和求解.

【详解】

因为为等差数列，

所以，

又，所以.

故答案为：2.

15．在前项和为的数列中，，，对所有正整数均有，则__________.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据递推公式求出前若干项，观察其周期性，然后利用周期性可得.

【详解】

由题意有，可求得，，，可得数列是一个周期为3的数列，且，有.

故答案为：1

16．某社团专门研究密码问题.社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，但密码的编写方式不变，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后的前位数字.编码方式如下：

①为某社员的首拼声母对应的英文字母在个英文字母中的位置；

②若为偶数，则在正偶数数列中依次插人数值为的项得到新数列，即、、、、、、、、、、；若为奇数.则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即、、、、、、、、、、；

③为数列的前项和.

如当值社员姓康，则在个英文字母中排第位，所以.

前项中有、、所以有个奇数.故，所以密码为，若今天当值社员姓唐（在个英语字母中排第位），则当日密码为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

分析可知对应的的值为，写出数列的前项，并计算出该数列的前项的和，计算出，取小数点后六位，可得出密码.

【详解】

在个英文字母中排第位，所以，

故数列的前项为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，

故，的小数点后的前位数字为.

故答案为：.

四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．已知等差数列满足，前4项和．

(1)求的通项公式；

(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．

【答案】(1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；

（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.

(1)

设等差数列首项为，公差为d．

∵

∴

解得：

∴等差数列通项公式

(2)

设等比数列首项为，公比为q

∵

∴

解得：

即或

∴等比数列通项公式或

18．等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

【答案】（1）或 .

（2）.

【解析】

【详解】

分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．

详解：（1）设的公比为，由题设得．

由已知得，解得（舍去），或．

故或．

（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．

综上，．

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．

19．在等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前n项和，求证．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为d，再根据题意列基本量的关系式求解即可；

（2）代入可得，再根据裂项相消求和，结合的单调性证明即可

(1)

设等差数列的公差为d，则，，

∵，∴，解得，

∴．

(2)

∵，

∴

因为，所以，故，即得证

20．已知等差数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）由等差数列的基本量法求得后可得通项公式；

（2）用错位相减法求和．

(1)

设的公差为d，则：，

解得：，所以的通项公式为，；

(2)

由（1）知，得：，

所以①，

②，

由①－②得： ，

所以．

21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)求数列{an＋bn}的前n项和．

【答案】(1)an＝2n＋1，bn＝3n；

(2).

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可.

(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，

由a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34，

得a2＋b2＝3＋d＋3q＝14，

a3＋b3＝3＋2d＋3q2＝34，

解得：d＝2，q＝3.

∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝3n；

(2)∵an＋bn＝(2n＋1)＋3n，

∴{an＋bn}的前n项和为

(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)

＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n)

＝＋＝n(n＋2)＋.

22．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.

(1)

∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,

∴当时，，

∴,

整理得：,

即,

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

(2)

∴