第四章 数列（基础提升测试）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第二册）

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册全册综合随堂练习题，文件包含第四章数列基础提升测试-高二数学考点知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第二册解析版docx、第四章数列基础提升测试-高二数学考点知识详解+模拟测试人教A版选择性必修第二册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
第四章数列基础提升测试本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等比数列中，，，则等于（       ）A． B．5 C． D．9【答案】D【解析】【分析】由等比数列的项求公比，进而求即可.【详解】由题设，，∴．故选：D2．等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式，列出关于等差数列公差的方程，求出，再利用等差数列的前项和公式，即可求出结果.【详解】因为设等差数列的公差，且，若、、成等比数列，所以，所以，所以，即，所以的前项的和为.故选：A.3．已知等比数列的前n项和为，若=1，，则（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据等比数列通项公式，结合数列前n项和性质进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，因为=1，，所以，由，故选：A4．在等差数列中，，，记，则（       ）A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值【答案】C【解析】【分析】首先求出公差，即可得到通项公式，即可得到数列前项为正数，从第项开始是负数，从而对任意，都有，即可判断；【详解】解: 由题意知的公差，所以，所以，，、、、，、，……，所以前项为正数，从第项开始是负数，从而可知对任意，都有，所以总为正，且是单调递增的，因此有最小值，没有最大值．故选：C5．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（       ）A．10 B．14 C．23 D．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列，根据，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列．由题意可知，等差数列中，前5项和为100，设公差为，前项和为，则，解得，所以，所以公士出的钱数为，故选：D．6．已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（       ）A．10 B．12 C．32 D．33【答案】B【解析】【分析】由题知，进而得或，再分别讨论求解即可.【详解】解：因为，为函数的两个零点，所以，所以或所以，当时，，，当时，，，所以，.故选：B7．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.8．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（       ）A．数列的首项比公差多 B．数列的首项比公差少C．数列的首项为 D．数列的公比为【答案】AD【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式求各基本量，进而判断各选项.【详解】设的公差为，由，得，化简得，所以A正确，B错误．设的公比为，由，得，化简得，所以C错误，D正确，故选：AD.10．已知数列中，，，下列选项中能使的有（       ）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】AD【解析】【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】解：因为，，所以，所以数列是周期为3的数列，所以，故.故选：AD.11．已知数列的前项和为，且满足，，，则（       ）A． B．C． D．数列为递减数列【答案】AC【解析】【分析】取代入条件方程可求解，由递推关系可得，即可求解，根据前项和与通项关系求判断CD．【详解】，，，则，，故正确；由，得，数列是首项为，公差为的等差数列，，则，故B错误；当时，，又符合上式，，故C正确，D错误．故选：AC．12．已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，则下列结论正确的是（       ）A．B．C．是中最小的项D．使成立的的最大值为18【答案】AC【解析】【分析】对于A：利用直接求出；对于B：由解得，即可得到；对于C：判断出时，；时， 得到是中最小的项；对于D：直接求出使成立的的最大值为17.【详解】对于A：因为，所以，所以，所以.故A正确；对于B：因为，所以时，，所以数列为递增数列.因为，所以，所以.故B错误；对于C：因为数列各项均为正数，前项积为，且时，有，所以，即；时，有，所以，即；所以是中最小的项.故C正确.对于D：因为，而，所以使成立的的最大值为17.故D错误.故选：AC三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第___________项.【答案】5【解析】【分析】结合二次函数的最值即可判断为整数时，的最大值.【详解】因为,所以,由于,所以当时,最大,此时故答案为：514．已知数列的前n项和为，若，则______．【答案】【解析】【分析】由得出的递推关系，构造等比数列得出通项公式，从而可得．【详解】由题意，则，两式相减得：，所以，又，，所以是等比数列，公比为，，所以．故答案为：．15．已知数列满足，（）.设为中取值为1的项的个数，则 __________ .【答案】12525【解析】【分析】设，根据（）依此类推归纳得到，从而得到求解.【详解】解：当时，若，则，，依此类推，可归纳证得，（），从而.因此，，当且仅当（），从而，故恰有个.则，，故答案为：1252516．设函数，，．则数列的前n项和______．【答案】【解析】【分析】由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求.【详解】由题设，，所以，即且n ≥ 2，当时，，当时，，所以，故答案为：.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列是公差不为零的等差数列，，且.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式求公差，进而写出通项公式.（2）由等差数列前n项和公式及已知不等关系得，即可求n的范围.(1)设等差数列的公差为，则.因为，所以，又，所以，故.(2)由知：.所以，由得：，即，解得，所以的取值集合为.18．记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．(1)解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．(2)解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．19．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．20．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.(1)因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，(2)因为，，成等比数列，所以，，，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，，当时，由，可得当时，，又所以21．已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.22．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】： 由已知条件知       ①于是．            ②由①②得．        ③又，            ④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：   由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；