第五章一元函数的导数及其应用（专题详解）-高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版选择性必修第二册）

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第五章一元函数的导数及其应用专题详解
一．导数的定义：

2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：；②求平均变化率：；
③取极限得导数：
二．导数的几何意义：
函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：
（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
题型一：平均变化率
例1：（2021·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））质点运动规律，则在时间中，质点的平均速度等于
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】平均速度为，故选A.
题型二：瞬时变化率与导数的概念
例2：（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（       ）
A．5米/秒 B．8米/秒
C．14米/秒 D．16米/秒
【答案】C
解：由题得，
当时，，
故当时，该质点的瞬时速度为14米/秒．
故选：C
题型三：求曲线切线的斜率（倾斜角）
例3：（2014·全国·高考真题（理））曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（        ）.
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【详解】：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.
题型四：在点处的切线
例4：（2020·全国·高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
题型五：过点处的切线
例5：（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】         
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
题型六：已知切线斜率（倾斜角）求参数
例6：（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数在点处的切线方程为，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D.
【详解】由，则，所以
解得：，，所以
.故选：D.
题型七：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
例7：（2016·全国·高考真题（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．
【答案】
【详解】：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
题型八：已知某点处的导数求参数或自变量
例8：（2021·海南·三模）已知点为曲线上的一个动点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】因为表示点到直线的距离，令，
所以，所以到直线的距离的最小值为．
故答案为：
三．导数的运算
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①；②；；
③； ④ ⑤ ⑥；
⑦； ⑧
法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)
法则3：
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
（2）复合函数的导数求法：
①换元，令，则②分别求导再相乘③回代
题型一：基本初等函数的导数
例1：（2022·北京·人大附中模拟考试）已知函数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因函数，所以.故选：D
2.（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）下列求导运算正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：C
题型二：导数的加减运算
例2：（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为
A．(0,) B．(-1,0)(2,)
C．(2,) D．(-1,0)
【答案】C
【详解】

2.（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数，为的导函数，则_________．
【答案】
【详解】∵，∴，∴．
故答案为：．
3.（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数___________.
【答案】
【详解】由题意得，且，
令，得，故
故答案为：
题型三：导数的乘除运算
例3：1.（2018·天津·高考真题（文））已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．
【答案】e
【详解】由函数的解析式可得：，
则，即的值为e，故答案为.
2.（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））函数的图象在处切线的倾斜角为______．
【答案】
【详解】由求导得：，则，
所以函数的图象在处切线斜率为-1，倾斜角为.
故答案为：

题型四：简单复合函数的导数
例4：1.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））若函数过点，其导函数的部分图象如图所示，则（       ）

A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为导函数过点，所以，所以，
即，又，所以，所以，
根据图像易知过点，代入得，所以，
所以设，因为函数过点，所以，
所以，所以，所以．
故选：D.

题型六：求某点处的导数值
例6：（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（       ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
四．函数的单调性和导数
函数的单调性：设函数在某个区间内可导，
（1）该区间内为增函数；
（2）该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
1、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
2、利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
题型一：利用导数判断或证明函数的单调性
例1：（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
题型二：利用导数求函数的单调区间
例2：（2021·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
【详解】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
题型三：由函数的单调区间求参数
例3：（2014·全国·高考真题（文））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．
2.（2014·全国·高考真题（理））若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】试题分析：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．
题型四：由函数的单调性求参数
例4：1.（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，
即，令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以.
故选：A
2.（2019·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】     -1;     .
【详解】若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
题型五：函数与导数图像之间的关系
例5：（2017·浙江·高考真题）函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
题型六：含参分类讨论函数单调区间
例6：（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
五．函数的极值与其导数的关系

①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
题型一：函数极值的辨析
例1：（2012·重庆·高考真题（理））设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A．函数有极大值 和极小值B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值D．函数有极大值 和极小值
【答案】D
【详解】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
题型二：函数极值点的辨析
例2：1.（2012·陕西·高考真题（文））设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
【详解】，
由得，
又函数定义域为，
当时，，递减，
当时，，递增，
因此是函数的极小值点．故选D．
考点：函数的极值．
2．（多选）（2022·重庆八中模拟预测）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（       ）
A．是的最小值点
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．是的极大值点
【答案】BD
【详解】对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；
对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；
对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；
对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.
故选：BD.
题型三：求已知函数的极值
例3：（多选）（2022·全国·高考真题）已知函数，则（       ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.故选：AC.
题型四：由极值求参数
例4：（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数在处有极值10，则（       ）
A．6 B． C．或15 D．6或
【答案】B
【详解】 ，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意

故选：B
题型5：由极值点求参数
例5：（2022·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
题型六：函数（导函数）的图像与极值的关系
例6：（2022·陕西·西安中学一模（文））已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，可得，
由图象可知，函数先递增，再递减，最后递增，且当时，取得极小值，
所以函数既有极大值，也有极小值，
所以有两个根，即，
所以，可得且，
又由，可得，
由，可得，
所以，所以.
故选：A.
题型七：函数（导函数）的图像与极值点的关系
例7：1.（2022·天津·模拟预测）已知函数的图象如图所示，则等于（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数的图象知：和是的根，
即，解得，
所以，可得，
又由结合图象可得是函数的极值点，
即是的两个根，即是的两个实数根，
所以.故选：C.
2．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：













增
极大值
减
极小值
增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
题型八：求已知函数的极值点
例8：（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数……自然对数底数）.
(1)当时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当时，
（i）证明：存在唯一的极值点：
【解析】(1)，构建
当时，则在上单调递减，且
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)（i）由（1）可知：当时，在上单调递减

∴在内存在唯一的零点
当时，，当时，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
∴存在唯一的极值点

六：函数的最值与导数
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一：函数最值与极值的关系
例1：（2022·安徽省太和中学模拟预测（文））设函数，则（       ）
A．有极大值，且有最大值 B．有极小值，但无最小值
C．若方程恰有一个实根，则
D．若方程恰有三个实根，则
【答案】D
【详解】由题意，
∴当或时，，当时，，
在和上递增，在上递减．
极大值＝，极小值＝，
或时，，时，，时，，
∴也是最小值．无最大值．
作出的图象，和直线，如图，
当或时，有一个根，当时，有三个根．
故选：D．

题型二：由导数求函数的最值
例2：1.（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
2.（2021·江西·二模（文））已知函数，则在上的最大值是__________．
【答案】
【详解】由题意可知，，
，．
当时，，
函数在区间上单调递增，则．
故答案为：
题型三：由导数求函数的含参最值
例3：（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（       ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
题型四：已知函数最值求参数
例4：1.（2022·河北·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则__________．
【答案】1
【详解】由题意得，
当，即时，，在上递增，
故，解得；
当，即时，当 时，，递减，
当 时，，递增，
故，解得，不符合，舍去，
综上，.
2.（2014·安徽·高考真题（文））设函数，其中
（1）讨论在其定义域上的单调性；
（2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.
【答案】（1）,在和内单调递减，在内单调递增；（2）当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.
【详解】（1）的定义域为，.令，得，
所以.当或时；
当时，.
故在和内单调递减，在内单调递增.;
（2）因为，所以.
①当时，，由（1）知，在上单调递增，
所以在和处分别取得最小值和最大值.
②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
因此在处取得最大值.又，
所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.
题型5：综合应用
例5：（2022·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
(1)当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
(2)，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
七：同构函数
同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度。找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。具有相同结构的两个代数式称为同构式。
例如：若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)] ≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法。
第一类：常见类型同构函数
(1) 构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑.
(2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式；
构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式.
(3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式.
(4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式.
例1： 1.（2015·福建·高考真题（理））若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等

2．（2011·辽宁·高考真题（文））函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（      ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.
偶函数在上为增函数，在上为减函数，

，故B正确；
，，故C错误；
，，故D错误.
故选：B
4.（2018·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
【点睛】
构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

5.已知函数满足：，那么系列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
解析：设，
则.
因为，所以,则在定义域上单调递增，所以,
则，即答案为A.
6.（2022·全国·高考真题（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A
二、指对数同构
①
②来进行研究
③

④
⑤
指对互化关系

同构转化关系：已知含有则可同构转化如下
(同左边),则构造函数
(同右边),则构造函数
(取对数),则构造函数
例2：1.设实数λ＞0，若对任意的x∈（e2，+∞），关于x的不等式λeλx﹣lnx≥0恒成立，则λ的最小值为：　　．
分析：λeλx﹣lnx≥0
令


2.不等式的解集为：　 ．
分析：，

故不等式的解集为
3.已知对任意给定的的取值范围为：　 ．
分析：
显然成立，

显然

.
注释：本题逻辑关联词较多，首先处理逻辑关联词我们遵循就近原则优先处理，即优先处理离
较近的逻辑关联词，按照逻辑关联词出现的相反顺序进行处理，比如本题，我们要先处理存在一方的变量上有解即可，故而得到求导还要借助隐零点处理过程也不简单.仔细观察发现，不等式两边同乘，可以利用同构来进行处理，接着就可以参变分离了，借助恒成立问题处理策略，即可使问题得以解决!
4.已知方程的取值范围是： ．
分析：由
当；


5.（2022·全国·高考真题）设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.

6．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b 综上，,

八：函数的零点、隐零点问题
函数零点个数问题
用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．

利用函数的极值(最值)判断函数零点个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围．
题型一：利用最值(极值)、单调性判断零点个数
例1：（2019·全国·高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【详解】（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
       在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又       
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，

即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
题型二、数形结合法研究零点问题　
例2：（2022·全国·高考真题（理））已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【解析】(1)的定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
(2)

设
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增

所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以当
当
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设

所以在单调递增

所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减
有
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为

题型三、分类讨论参数确定零点个数的情况
例3:（2022·浙江绍兴·模拟预测）设a为实数，函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)判断函数零点的个数．
【解析】
(1)函数的定义域为，
当时，，
则，且，
有，令，
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以，即，
则函数在上单调递减，
即函数的减区间为，无增区间；
(2)由(1)知当时函数在上单调递减，
又，此时函数只有1个零点；
因为函数的定义域为，所以与具有相同的零点，
令，
则，
当时，，令，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，此时函数无零点，即函数无零点；
当时，令或，
若，则，列表如下：


1




-
0
+
0
-


极小值

极大值


当时，
，
当即时，，
，又，
此时函数有1个零点，则函数有1个零点；
若，则，列表如下：




1


-
0
+
0
-


极小值

极大值


所以，
又，，则此时函数有2个零点，即函数有2个零点；
综上，当时，函数在上没有零点，
当时，函数在上有1个零点，
当时，函数在上有2个零点.
【点睛】
与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图像与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图像的交点问题．
题型四、已知零点的个数求参数的范围
例4．（2020·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【详解】（1）由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增.
（2）由（1）知，有三个零点，则，且
即，解得，
当时，，且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
【点晴】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
零点存在性赋值理论
1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m < a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点．
2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在规定区间内；确保运算可行
三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.
例5：（2022·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【解析】(1)当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
(2)，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
隐零点问题
1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”。
2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若中含有参数a，关系式是关于的关系式，确定的合适范围，往往和的范围有关.
例6：已知函数，.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
【分析】(1)由可得或，对与大小关系讨论，并判断的正负，即可判断函数的单调性；
(2)原式等价于，而，故只需证，即证明，即证明，而，记，在单调递减，通过赋值确定的零点范围：
，，
故存在，使得，即，
，
记在上单调递减，，
故只需证：，即
∵，∴在上单调增，成立