专题8-4 非建系型：探索性平行与垂直证明及求角度-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题8-4  非建系型：探索性平行与垂直证明及求角度 目录【题型一】探索型1：线面平行【题型二】探索型2：面面平行.................................................3【题型三】探索型3：线面垂直.................................................4【题型四】探索型4：面面垂直.................................................4【题型五】三大角1：异面直线所成角............................................5【题型六】三大角2：直线与平面所成角..........................................6【题型七】三大角3：二面角...................................................7【题型八】角度综合：知二面角求线面角.........................................8二、真题再现..............................................................9三、模拟检测.............................................................11  综述 1.平行构造的常用方法： ①三角形中位线法；  ②平行四边形线法；  ③比例线段法.2.计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 3.几种常见角的取值范围：①异面直线成角∈(0，]     ②二面角∈[0，π]  ③线面角∈[0，]       ④向量夹角∈[0，π]         ⑤直线的倾斜角∈[0，π) 对于探索型：探索型：先把位置点定性为“已知点”，然后通过其他条件推导出相关的平行或者垂直关系，再借助平行得比例线段，或者垂直得到对应的垂直关系。      【题型一】探索型1：线面平行【典例分析】如图，四边形中，，E，F分别在，上，，现将四边形沿折起，使．(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．(2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点F到平面的距离．   【变式演练】在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.(1)证明：；(2)线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．  【题型二】探索型2：面面平行【典例分析】已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．（1）求证：平面；（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．   【变式演练】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.(1)证明：平面；(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.    【题型三】探索型3：线面垂直【典例分析】 若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.   【变式演练】如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．  【题型四】探索型4：面面垂直【典例分析】如图，在三棱台ABC­DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．  【变式演练】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.(1)证明：MN平面PDC；(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由. 【题型五】三大角1：异面直线所成角【典例分析】如图，在直三棱柱中，，是的中点，. （1）求证：平面；（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.  【变式演练】正方体中：（1）求AC与所成角的大小；（2）若F分别为AD的中点，求与CF所成角的余弦值.   【题型六】三大角2：直线与平面所成角【典例分析】.如图，在三棱柱中，，四边形为正方形，分别为与的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．  【变式演练】如图所示的几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，已知，线段与交于点，，分别为线段，的中点，平面平面，平面．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若是边长为2的等边三角形，，求直线与平面所成角的正弦值．   【题型七】三大角3：二面角【典例分析】如图，在正四棱锥中，，点O为底面的中心，点P在棱上，且的面积为1．(1)若点P是的中点，求证：平面平面；(2)在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由．   【变式演练】如图，在等腰直角三角形中，是的中点，是上一点，且.将沿着折起，形成四棱锥，其中点对应的点为.(1)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由；(2)设平面与平面的交线为，若二面角的大小为，求四棱锥的体积.   【题型八】角度综合：知二面角求线面角【典例分析】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点F为棱的中点.(1)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角. 【变式演练】四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.(1)求证：E为棱SC的中点；(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.     1.（2020·山东·高考真题）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示.（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 2.（2021·全国·高考真题（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值． 3.（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 4.（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 5.（2019·北京·高考真题（文））如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由. 6.（2009·宁夏·高考真题（理））如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.   1．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论． 2．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若，求二面角B—PC—A的正切值. 3．在四棱锥P-ABCD中，ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为棱PC的中点.(1)求证：平面EBD⊥平面PAC；(2)若，，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 4．在直三棱柱中，E是棱AB的中点，，．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成的角的余弦值． 5．如图，在正四棱锥中，，点O为底面的中心，点P在棱上，且的面积为1．(1)若点P是的中点，求证：平面平面；(2)在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由． 6．如图，四边形中，，E，F分别在，上，，现将四边形沿折起，使．(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．(2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点F到平面的距离． 7．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.(1)当为的中点时，求证：平面.(2)当平面，求出点的位置，说明理由.