2023年九年级中考数学专项训练——二次函数的实际应用

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2023届中考数学专项训练——二次函数的实际应用
一、综合题
1．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答．
（1）用含x的式子表示：①每件商品的售价为　 　元；②每天的销售量为　 　件；
（2）求出 与 之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
2．某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数数关系，其对应数据如表：
X（天）
……
1
3
5
7
……
Y（件）
……
35
45
55
65
……
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？
（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
3．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式　 　；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
4．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）．
5．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表：
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注：周销售利润=周销售量×(售价-进价)
（1）①求y关于x的函数解析式；
②当售价为多少元/件时，周销售利润最大，最大利润是多少
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系。若周销售最大利润是1400元，求m的值。
6．如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米）
0
2
4
6
8
y（米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0

（1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为 ▲ 米，并求出满足的函数关系式；
（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图象．
（3）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
7．某药店销售一种浓度为 的酒精，已知这种酒精每瓶的进价为15元.根据市场调查，这种酒精销售单价定为26元时，每天可售出10瓶，若销售单价每瓶降低1元，则每天可多售出10瓶.设这种酒精的销售单价为x元，销售量为y瓶．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．

（1）求抛物线的对称轴；
（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值；
（3）过T （0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
9．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒(t>0)。

（1）当t=2时，AP=　 　，点Q到AC的距离是　 　；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值。若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。
10． 2020年由于受“疫情”影响，某厂只能按用户的月需求量 （件）（ ）完成一种产品的生产，每件的售价为18万元，每件的成本 （万元）， 与 的关系式为 （ ， 为常数），经市场调研发现，月需求量 与月份 （ 为整数， ）符合关系式 （ 为常数），且得到下表中的数据.

（1）求 与 满足的关系式；
（2）推断哪个月产品的需求量最小？最小为多少件？
（3）在这一年12个月中，若 个月和第（ ）个月的利润相差最大，求 的值.
11．如图，点 是边长为 的正方形 对角线上一个动点( 与 不重合),以 为圆心， 长为半径画圆弧，交线段 于点 ,联结 ,与 交于点 .设 的长为 ， 的面积为 .

（1）判断 的形状，并说明理由;
（2）求 与 之间的函数关系式，并写出定义域;
（3）当四边形 是梯形时，求出 的值.
12．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．
13．如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点D在x轴的上方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移该二次函数图象，使平移后的图象经过点B与点D，请你写出平移过程，并说明理由．
14．如图①，在平面直角坐标系xOy中，批物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M.直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D.

（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE.当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
15．定义：如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“直观三角形”．

（1）抛物线 的“直观三角形”是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
（2）若抛物线y=ax2+2ax－3a的“直观三角形”是直角三角形，求a的值；
（3）如图，面积为 的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y=ax2+bx+c的“直观三角形”，求此抛物线的解析式．
16．九(4)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出童威的某种高端商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x＋40
90
每天销售（件）
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程.若前49天销售获得的最大日利润为5408元，则m＝　 　.
17．如图，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q.

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
18．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系y＝mx2+20x+n，其图象如图所示．

（1）m＝　 　，n＝　 　．
（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（3）该种商品每天的销售利润不低于16元时，直接写出x的取值范围．

答案解析部分
1．【答案】（1）（145−x）；（40＋2x）
（2）解：根据题意可得：y＝（145−x−80−5）（2x＋40），＝−2x2＋80x＋2400，＝−2（x−20）2＋3200，
∵a＝−2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145−20＝125元，
∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．
2．【答案】（1）解：设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（1，35），（3，45）分别代入y＝kx+b中，得： ，
解得： ，
∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；
（2）解：设第x天去掉捐款后的利润为6235元
根据题意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，
整理得：x2﹣60x+851＝0，
解得：x＝23或x＝37（舍），
∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；
（3）解：由题意得：W＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝﹣5x2+300x+1980
即W与x之间的函数关系式为W＝﹣5x2+300x+1980
∵W＝﹣5x2+300x+1980＝﹣5（x﹣30）2+6480，且a＝﹣5＜0，
∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．
∴W与x之间的函数关系式是W＝﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元．
3．【答案】（1）y＝﹣2x+80（20≤x≤28）
（2）依题意，得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
整理，得：x2﹣60x+875＝0，
解得：x1＝25，x2＝35（不合题意，舍去）．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
4．【答案】（1）解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：
，
解得：，
∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为；
（2）解：设日销售利润用w表示，


，
当x=10时，销售利润最大，最大=450元；
（3）解：∵，k=-2＜0，y随x的增大而减小，
∴x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），
∵，k=，y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，
∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，
根据题意：，
整理得，
解得（舍去），
∴a的值为6．
5．【答案】（1）解：①设y与x的函数关系式为y=kx+b，
依题意有 ，解得 ，
y与x的函数关系式是y=-2x+200；
②当售价50时，周销售量100，周销售利润1000，
∴1000=100×(50—进价)，得进价为40元/件；
周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800，
故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元
（2）解：依题意有，w=(-2x+200)(x-40-m)
=-2x2+(2m+280)x-8000-200m
=
∵m>0，对称轴x= >70
∵-2