第四讲 《两条直线的位置关系》精品培优讲义+同步练习

第四讲        两条直线的位置关系 ◎名人引言 当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉.  ------利希顿堡  ◎知识梳理一、相交线与平行线1. 相交线在同一平面内，若两条直线________________，我们称这两条直线为相交线.如右图，直线与直线交于点.2. 平行线_______________，不相交的两条直线叫作平行线.如右图，直线与直线平行，记作“∥”. 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 在判断两条直线的位置关系时，一定要注意“在同一平面内”的前提. 两线段平行、两射线平行，指的是线段、射线所在的直线平行.二、对顶角与邻补角1. 对顶角一个角的两边分别是另一个角的两边的_____________， 这样的两个角叫作对顶角. 上图中的与，与均是对顶角.2. 邻补角两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角互为邻补角. 上图中的与，与，与，与均是互为邻补角的关系.对顶角相等，相等的角不一定是对顶角； 邻补角互补，互补的角不一定是邻补角. 三、余角和补角1. 余角如果____________________，那么称这两个角互为余角，简称______.若，则与互为余角. 同角或等角的余角相等.2. 补角如果____________________，那么称这两个角互为补角，简称______.若，则与互为补角. 同角或等角的补角相等. 四、垂线与点到直线的距离1.垂线的概念两条直线相交成四个角，如果__________________，那么称这两条直线_________，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.2.两条直线互相垂直的表示方法通常用符号“”表示两条直线互相垂直，如直线与直线垂直，可记作（或），读作垂直于（或垂直于），垂足为点（如右图）.3.垂线的性质平面内，过一点_________一条直线与已知直线垂直.如图①，点在直线上；如图②，点在直线外. 4.垂线段的性质直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，____________. 如右图，若于点，则线段中，线段最短.5.点到直线的距离从直线外一点到这条直线的________________，叫作点到直线的距离.如右图，线段是点到直线的垂线段，线段的长度叫作点到直线的距离.  6.垂线的画法（利用三角尺来画）（1）一靠：使三角尺的一条直角边靠在已知直线上；（2）二过：移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点；（3）三画：沿过已知点的直角边画直线，并在垂足处标上“”.  ◎例题精讲 例题1 下列说法正确的是(　　)在同一个平面内,不相交的两条线段是平行线在同一个平面内,两条线段不相交就重合在同一个平面内,没有公共点的两条直线是平行线不相交的两条直线是平行线   例题2 下面五个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形有_______个.    例题3 如图所示，已知直线、、交于点，，，求的度数.    例题4 如图，是一条直线，，.（1）求的度数.（2）图中有哪几对角互为余角?（3）图中有哪几对角互为补角?   例题5 如图，与相交于点，且. （1）有什么关系？为什么？ （2）有什么关系？为什么？     例题6 如图①，已知，，垂足为，则点到直线的距离为线段       的长；线段的长为点       到直线       的距离.        例题7 如图②，在直角三角形中，，，，，试化简：.      例题8 如图，已知直线相交于点，.（1）若，求的度数；（2）若，求的度数；（3）在（2）的条件下，过点作，请直接写出的度数.      ◎夯实基础1. 如图所示,、是直线，、是射线,其中构成对顶角的是(　　)                 如图所示，已知直线、相交于点,平分，，则的度数等于(　　)                                   下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（　　）从一条河流向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线              两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短将一根木条固定到墙上需要两颗钉子，所用数学原理是：两点确定一条直线从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短  如果和互为补角，且，那么的余角是(    )                        5. 判断正误：（1）两条直线不相交就平行，平行就不相交；                     （    ）（2）在同一平面内，两条直线不相交就平行，平行就不相交；       （    ）（3）在同一平面内，两条线段不相交就平行；                     （    ）（4）在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：相交，垂直，平行.（    ）   6. 如图是由两块三角板拼成的图形,在直角顶点处构成了3个锐角,这三个锐角中互余的角是______________,相等的角是________,相等的理由是__________________.  已知与互余，与互补，若,则的度数是_________. 如图所示，，，，线段的长度是点    到直线_____的距离；点到直线的距离是线段______的长度；能表示点到直线（或线段）的距离的线段有______条. 平面内互不重合的三条直线的交点个数是__________________.10. 如图所示,直线，，都经过点，求的度数.     11. 如图，直线与的两边、分别交于点,,找出图中与相等的角，并说明理由.    一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角的补角及这个角的余角.     如图，平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小.（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短? 并说明根据.    已知，.（1）如图①，若，求的度数.（2）如图②，若，求的度数.（3）根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？并根据图①说明理由.（4）如图②，若，求和的度数.           ◎易错扫雷对垂线段的性质理解不透彻而致错 点为直线外一点，点为直线上三点，，，，则点到直线的距离（    ）等于      等于      小于      不大于对余角和补角的定义理解不透而致错 下列说法中正确的是_________.（填序号）①钝角与锐角互补；       ②的余角是；③的补角是； ④若，则互余.误认为垂足一定要在线段或射线上而导致错误 （1）在图①中，过外一点作的垂线；   （2）在图②中，过点，分别作，的垂线.      ◎能力拔高1.通过画图，寻找对顶角和邻补角(不含平角)：(1)若2条直线相交于同一点，则有    对对顶角，    对邻补角.(2)若3条直线相交于同一点，则有    对对顶角，     对邻补角.(3)若4条直线相交于同一点，则有    对对顶角，     对邻补角.(4)通过(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于同一点，则可形成_____________对对顶角，_____________对邻补角.        2.在同一平面上条直线两两相交，求证：所成的角中至少有一个角不大于.