专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（能力提升）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）
（能力提升）

1．【问题提出】
（1）如图①，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出△CDM周长的最小值；
【问题解决】
（3）如图③所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，∠C＝∠D＝90°，AD＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口．为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短（即MN+ND最短）．请根据要求计算出MN+ND的最小值为多少？

【解答】解：（1）如图①中，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小，最小值为线段BA′的长．

过点B作BT⊥AA′交A′A的延长线于点T．
在Rt△A′BT中，BT＝CD＝900米．AT＝1200米，
∴BA′＝＝＝1500（米），
∴该牧马人的最短路径长为1500米；

（2）如图②中，连接AD，AM．

∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∵S△ABC＝×BC×AD＝24，BC＝6，
∴AD＝8，
∵EF垂直平分线段AC，
∴MA＝MC，
∴MD+MC＝AM+MD≥AD＝8，
∴MD+MC的最小值为8，
∴△CDM的周长的最小值为11；

（3）如图③中，延长DC到R，使得CR＝DC，连接MR，过点M作MQ⊥CD于点Q．

∵BC⊥DR，CD＝CR，
∴ND＝NR，
∴MN+ND＝MN+NR≥MR，
∵AM＝BM，AD∥MQ∥BC，
∴DQ＝CQ＝30m，
∴MQ＝（AD+BC）＝90（m），
∴MR＝＝＝90（m），
∴MN+DN≥90，
∴MN+ND的最小值为90m．
2．如图①，在菱形ABCD中，BD为对角线，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，其中2BE＝BC，DF＝．
（1）求EF的长；
（2）如图②，点G为CD上一点，过点G作GH⊥AD于点H，交BD于点M，在AE上取点N，使AN＝2HM，连接BN，CM，求证：BN＝CM；
（3）如图③，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，连接A'C，A'D，B'C，求A'C+A'D的最小值．

【解答】（1）解：如图①，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BEF＝90°，
∵AE⊥BC，2BE＝BC，DF＝，
∴BE＝CE＝BC，
∴AB＝AC＝CB＝AD＝CD，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAC＝60°，
∴∠EBF＝∠ABC＝30°，∠ADF＝∠ADC＝30°，
∴BC＝AD＝DF•cos30°＝×＝1，
∴BE＝×1＝，
∴EF＝BE•tan30°＝×＝，
∴EF的长是．
（2）证明：如图②，∵GH⊥AD，∠HDM＝30°，
∴∠DHM＝90°，
∴DM＝2HM，
∵AN＝2HM，
∴AN＝DM，
∵∠BAN＝∠BAC＝30°，∠CDM＝∠ADC＝30°，
∴∠BAN＝∠CDM，
∴△ABN≌△DCM（SAS），
∴BN＝CM．
（3）如图③，连接AC交BD于点O，作直线AA′，由平移得AA′∥BD；
作点D关于AA′的对称点G，连接CG交AA′于点H、交AD于点L，连接DG交AA′于点R，连接DH，
∵AA′垂直平分DG，
∴∠ARD＝90°，
∴∠OAR＝∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴四边形AODR是矩形，
∴DR＝OA，
∵DG＝2DR，DC＝AC＝2OA，
∴DG＝DC＝1，
∵∠LDG＝∠LDC＝∠DAC＝60°，
∴DL⊥CG，
∴CL＝GL，∠DLC＝90°，
∴CL＝CD•sin60°＝1×＝，
∴CG＝2CL＝2×＝，
∵A′G＝A′D，
∴A′C+A′D＝A′C+A′G，
∵A′C+A′G≥CG，
∴当点A′与点H重合时，A′C+A′G＝CG＝，此时A′C+A′G的值最小，
∴A′C+A′D的最小值为．




3．（1）如图①，在等边△ABC中，BC＝4，点P是BC上一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为点M，N，连接MN．
①当点P与点B重合时，线段MN的长是　 　，
当AP的长最小时，线段MN的长是 　 　；
②如图②，PM，PN分别交AB，AC于点D，E．当PB＝1时，求线段MN的长；
（2）如图③，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，点P，Q，R分别为边BC，AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，求∠PQR+∠PRQ的度数．

【解答】解：（1）如图①﹣1中，当点P与B重合时，设PN交AC于点T．

∵P，N关于AC对称，
∴PN⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∴AT＝CT＝2，
∵BT＝TN＝＝2，
∴MN＝4，
如图①﹣2中，连接AM，AN．

当AP⊥BC时，AP＝2，
∵P，M关于AB对称，P，N关于AC对称，
∴AM＝AP＝AN，∠BAP＝∠BAM，∠PAC＝∠NAC，
∴∠MAN＝2∠BAC＝120°，
∴MN＝AM＝AP＝6，
故答案为：4，6；

②如图②中，连接AM，AN．作AH⊥BC于点H．

∵AB＝AC＝BC＝4，AH⊥CB，
∴BH＝CH＝2，
∵PB＝1，
∴PH＝1，
∴AP＝＝＝．
∵P，M关于AB对称，P，N关于AC对称，
∴PM＝PM＝PA＝，
∵∠MAN＝120°，
∴MN＝AM＝；

（2）作点P关于AB的对称点P'，作P关于AC的对称点P''，连接P'P''，分别交AB、AC于点Q、R，连接AP'、AP''．

则P'Q＝PQ，P''R＝PR，AP＝AP'＝AP''，∠P'AQ＝∠PAQ，∠P''AR＝∠PAR，
∴△PQR周长＝PQ+QR+PR＝P'Q+QR+P''R＝P'P''，
∠P'AP''＝∠P'AQ+∠PAQ+∠P''AR+∠PAR＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△AP'P''为等边三角形，
∴P'P''＝AP＝AP'＝AP''，
当AP⊥BC时，AP最短，即为△PQR周长的最小值，
此时∠P′＝∠APQ＝60°，∠P″＝∠APR＝60°，
∴∠QPR＝120°，
∴∠PQR+∠PRQ＝60°．
4．如图①，在正方形ABCD中，点E为AB上的一个点，作射线DE交CB的延长线于点F，过点C作CM⊥DE交AD于点M，交DE于点N，连接AF．
（1）当点E为AB的中点时．
①求证：DE＝CM；
②若点G，H分别为AC，DC上一点，AB＝2，求△MGH周长的最小值；
（2）如图②，若点P，Q分别为AF，BC的中点，连接PQ交DF于点O，求证：OQ＝OF．

【解答】（1）①证明：∵CM⊥DE，
∴∠CND＝90°，
∴∠NCD+∠NDC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADE+∠NDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCM，
∴△ADE≌△DCM（ASA），
∴DE＝CM；
②解：由（1）①得，△ADE≌△DCM，
∴DM＝AE．
∵点E为AB的中点，
∴DM＝AE＝1/2AB，即点M为AD的中点，
∴点M与点E关于AC对称，
如图，作点M关于DC的对称点M′，连接EM′交AC于点G，交DC于点H，连接MG，MH．


∵△MGN的周长＝MG+MH+GH＝EG+HM′+GH≥EM′，当且仅当E，G，H，M′四点共线时取等号，
∴△MGH周长的最小值为EM′的长．
∵AB＝2，
∴DM′＝DM＝AE＝1，
∴AM′＝3，
∴EM′＝＝，
∴△MGH周长的最小值为；
（2）证明：如图，过点P作PT∥AD交DF于点T，连接PB，TQ，

∵点P为AF的中点，
∴PT＝AD．
∵AD＝BC，AD∥BC，点Q为BC的中点，
∴PT∥BQ，PT＝BC＝BQ，
∴四边形PTQB为平行四边形，
∴TQ∥PB，TQ＝PB．
在Rt△ABF中，
∵点P为AF的中点，
∴PB＝AF＝PF，
∴TQ＝PF，∠PFB＝∠PBF＝∠TQF．
在△PFQ和△TQF中，
，
∴△PFQ≌△TQF（SAS），
∴∠PQF＝∠TFQ，
∴OQ＝OF．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在AB上，且AE＝1，点F，G分别为BC，DC上的动点，连接EC，FE，FG，点M为△EBC的外心．
（1）求点M到AB的距离；
（2）若EF⊥FG，且FC＝2BF，求DG的长；
（3）连接AG，求四边形AEFG周长的最小值．

【解答】解：（1）这MN⊥AB于N，
∵点M为△EBC的外心，
∴EM＝MC，
∵MN∥BC，
∴EN＝BN，
∴MN＝BC＝3；
（2）∵EF⊥FG，
∴∠GFC+∠EFB＝∠BEF+∠EFB＝90°，
∴∠GFC＝∠BEF，
∵∠EBF＝∠FCG，
∴△EBF∽△FCG，
∴BF：CG＝EB：FC，
∴2：CG＝3：4，
∴CG＝；

（3）作A关于DC的对称点Q，连接CQ，
作E关于BC的对称点P，连接PF，连接PQ，
当点P，F，G，Q共线时，四边形AEFG的周长最小，
∵PQ2＝PA2+QA2，
∴PQ2＝72+122，
∴PQ＝，
∴四边形AEFG的周长最小值为：+1．
6．（1）如图①，在四边形ABCE中，∠E＝90°，∠B＝∠BCE＝60°，AB＝4，D是边AB的中点，连接CA，若CA恰好平分∠BCE．
①求EC的长；
②若P，Q分别是边BC，EC上的动点（不与端点重合），试求DP+PQ+AQ的最小值；
（2）如图②，在四边形MNPQ中，MN＝4，MQ＝5，∠N＝∠Q＝90°，∠M＝60°，点A，B，C，D分别在边MQ，MN，NP，QP上，若AQ＝1，求四边形ABCD周长的最小值．

【解答】解：（1）①如图①中，∵AC平分∠BCE，
∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝AB＝4，
∵∠E＝90°，
∴EC＝AC•cos30°＝4×＝6；

②如图①中，作点D关于BC的对称点D′，作点A关于EC的对称点A′，连接A′D′交BC于点P，交EC于点Q，连接DP，AQ，此时DP+PQ+AQ的值最小，最小值为A′D′的长，
连接A′C，过点D′作D′T⊥A′C于点T．设DD′交BC于点J．
∴A，A′关于EC的长，
∴∠ECA′＝∠ECA＝30°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠A′CB＝∠BCT＝90°，
∵∠T＝∠D′JC＝90°，
∴四边形CJD′T是矩形，
∵BD＝AD＝2，∠DJB＝90°，∠B＝60°，
∴BJ＝1，DJ＝JD′＝，
∵BC＝2AB＝8，
∴CJ＝TD′＝7，
∵CA′＝AC＝4，CT＝JD′＝，
∴A′T＝5，
∴A′D′＝＝＝2，
∴DP+PQ+AQ的最小值为2；

（3）如图②中，作点A关于PQ的对称点E，点A关于MN的对称点F，点B关于PN的对称点G，点F关于PN的对称点H，连接BF，CG，DE，GH，EH，过点E作ET⊥FH于T交MN于K，设AF交MN于J．
由对称性可知，DA＝DE，CB＝CG，AB＝BF，BF＝GH，
∴AD+CD+CB+AB＝DE+CD+CB+BF＝ED+CD+CG+GH≥EH，
在Rt△AMJ中，∠AJM＝90°，AM＝MQ﹣AQ＝5﹣1＝4，∠M＝60°，
∴MJ＝AM•cos60°＝2，AJ＝JF＝KT＝2，
∴JN＝MN﹣MJ＝4﹣2＝2，
∴FH＝2JN＝4，
在Rt△EMK中，EK＝EM•sin60°＝3，BM＝EM•cos60°＝3，
∴TE＝EK+KT＝5，JK＝FT＝MK﹣MJ＝1，TH＝FH﹣FT＝4﹣1＝3，
∴EH＝＝2，
∴当E，D，C，G，H共线时，AD+CD+CB+BA的值最小，最小值为2．



7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E，F分别是AB，CD边上的点（不与点B，D重合），且EF⊥AC，EF与AC交于点O．
（1）请在①OA＝OC；②∠EFC＝∠ECF；③AF∥CE；④AF＝AE中选择一个条
件 　 （填序号），使得四边形AECF为菱形，并加以证明（选择一个即可）；
（2）求EF的值；
（3）求AF+EF+CE的最小值．

【解答】解：（1）①③④都满足条件．
当OA＝OC时，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，
在△FCO和△EAO中，
，
∴△FCO≌△EAO（ASA），
∴CF＝AE，
∵CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；
当AF∥EC时，∵CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；
当AE＝AE时，∵AC⊥EF，
∴OF＝OE，
同法可证△FCO≌△EAO，
∴CF＝AE，
∵CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；
故答案为：①③④；

（2）如图，过点F作FH⊥AB于点H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵FH⊥AB，AC⊥EF，
∴∠D＝∠FHE＝∠AOE＝∠DAH＝90°，
∴四边形ADFH是矩形，
∴FH＝AD＝2，
∵∠DAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠FEH＝90°，
∴∠DAC＝∠FEH，
∴△CDA∽△FHE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝；

（3）设DF＝x．
在Rt△EFH中，EH＝＝＝1，
∵四边形ADFH是矩形，
∴AH＝DF＝x，
∴EB＝4﹣x﹣1＝3﹣x，
∴AF+EC＝+，
欲求AE+EC的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到，P（0，2），Q（3，2）的距离和最小，如图1中，

作点P关于x轴的对称点P′，连接QP′交x轴于点M，连接PM，此时PM+MQ的值最小，最小值＝QP′的长，
∵P′（0，﹣2），Q（3，2），
∴QP′＝＝5，
∴AF+EC的最小值为5，
∴AF+EF+CE的最小值为5+．
8．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点（均不与正方形的顶点重合），且∠EAF＝45°，连接EF．
（1）求证．EF＝BE+DF；
（2）如图②，点P是EF的中点，连接AP，作点E关于直线AB的对称点E'，作点F关于直线AD的对称点F'，连接E'F'，求证：E'F'＝2AP；
（3）如图③，正方形ABCD是李叔叔家菜地示意图，其中AB＝800米，李叔叔计划在菜地中开拓一条小路EM﹣MN﹣NF，其中点E为AB的中点，点F为CD边上一点，且CF＝300米，点M，N在线段BC上（点M在点N的左侧），且MN＝100米．为了尽可能少的破坏植物，需要以最小长度来修建，请你帮李叔叔计算这条小路长度的最小值．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【解答】（1）证明：如图①中，延长CB至K，使得BK＝DF，连接AK，则△ABK≌△ADF，

∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，
∴∠EAK＝∠EAB+∠BAK＝∠EAB+∠DAF＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAK＝∠EAF，
在△EAK和△EAF中，
，
∴△EAK≌△EAF（SAS），
∴EF＝EK＝BK+BE＝DF+BE；

（2）证明：如图②中，延长AP至T，使得PT＝AP，连接AE'，AF'，ET，

由题可得，点E关于直线AB的对称点为E'，点F关于直线AD的对称点为F′，
∴B为EE'的中点，D为FF'的中点，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴AB为EE'的中垂线，AD为FF'的中垂线，
∴AE＝AE'，AF＝AF'，
∵点P是EF的中点，
∴PE＝PF，
又∵∠EPT＝∠FPA，AP＝TP，
∴△PET≌△PFA（SAS），
∴ET＝AF，∠PET＝∠PFA，
∴ET＝AF'，且∠AET＝∠AEP+∠PET＝∠AEP+∠AFP＝180°﹣∠EAF，
∵AE'＝AE，AB＝AB，∠ABE'＝∠ABE＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△ABE'（HL），
∴∠BAE'＝∠BAE，
同理可得∠FAD＝∠F'AD，
∴∠E'AF'＝∠BAE'+∠DAF'+∠BAD＝∠BAE+∠DAF+∠BAD＝（∠BAD﹣∠EAF）+∠BAD＝180°﹣∠EAF，
∴∠AET＝∠E'AF'，
又∵AE'＝AE，AF'＝ET，
∴△E'AF'≌△AET（SAS），
∴E'F'＝AT＝2AP；

（3）解：如图③中，作ET∥BC，使得ET＝MN＝100米，延长ET交CD于点H，作点F关于BC的对称点F′，连接TF′交BC于点N，此时EM+MN+NF的值最小．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝800米，AD∥BC，
∵AE＝EB，
∴DH＝HC＝400米，EH＝AD＝800米，
∴CF＝CF′＝300米，ET＝MN＝100米，
∴TH＝700米，HF′＝700米，
∴TF′＝＝＝700＝987（米），
∴EM+MN+NF＝TN+ET+NF′＝ET+TF′＝1087米，
EM+MN+NF的最小值为1087米．