专题03 平行线四大模型（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题03  平行线四大模型（知识解读）

【专题说明】

 历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。

【方法技巧】

结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60° 

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；

结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；

结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；

结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.

【典例分析】

【模型1 “铅笔”模型】

【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（　　）

A．360° B．300° C．270° D．180°

【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．18° C．15° D．13°

【典例2】问题情境：

（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．

（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：

（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）

【变式2-1】已知，AB∥CD，试解决下列问题：

（1）如图1，∠1+∠2＝　   　；

（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝　  　；

（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝　    　；

（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　    　．

【变式2-2】如图，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．

（1）求∠AFG的度数；

（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．

【模型2 “猪蹄”模型（M模型）】

【典例3】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　   ．

【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．

【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．

【变式3-1】如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（　　）

A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α

【变式3-2】学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．

（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝　    　．

（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．

【变式3-3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；

（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．

【模型3“锯齿”模型】

【典例4】如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．

求证：∠E＝∠F．

【变式4-1】2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．

【变式4-2】如图已知：∠1＝∠2，请再添加一个条件，使AB∥CD成立，并写出证明过程．

【变式4-3】如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．

（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；

（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．