专题08 十字模型综合应用（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题08 十字模型综合应用（知识解读）

【专题说明】

 “十字架模型”十数学平面几何中比较重要的一个模型。常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。

【方法技巧】

类型一：【十字架模型】--正方形

第一种情况：过顶点

在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）

所以AE=BF

第二种情况：不过顶点

在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH

也可以如下证明

在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH

类型二：【十字架模型】--矩形

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；

可证：△ADE∽△BAF   所以

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，探究EG与FH的关系

【解答】

可证：△ADN∽△BAM

∴

∴

但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立

在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系

可证△EOH∽△GOF

【典例分析】

【典例1-1】基本模型

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD，DC边上，且AF⊥BE．

结论：

①△ABE≌△DAF； ②AF＝BE；

请证明【基本模型】中的结论．

求证：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE．

自主探究：若将已知条件AF⊥BE改为AF＝BE，是否可以得到AF⊥BE？进而是否可以探究AF与BE交点的轨迹？

【典例1-2】模型演变①

如图①，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在DC，AD，BC边上，且AE⊥GF．

结论：AE＝GF

模型演变②

如图②，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，DC，BC，AD边上，且EF⊥GH．

结论：EF＝GH

请证明【模型演变②】的结论，

求证：EF＝GH．

自主探究：在【模型演变①】和【模型演变②】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明．

【典例2-1】模型演变③

如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且CE⊥BD．

结论：△DCE∽△ADB

请证明【模型演变③】的结论．

求证：△DCE∽△ADB．

【典例2-2】模型演变④

如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在AD，BC，AB，DC 边上，且EF⊥GH．

结论：＝

请证明【模型演变④】的结论．

求证：＝．

【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，BF交于点O．若BE＝3，DF＝1，则OB的长为 　  　．

【变式1-2】如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CF＝AE，连接EF，过点D作DG⊥EF于点H，若S△BEF＝6，则CF＝　  　，DG＝　    　．

【变式1-3】如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G．已知AD＝5，AB＝3，则折痕CE的长为 　      　．

【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，且AM⊥DN，的值．

【变式1-5】【教材背景】

课本上有这样一道题目；如图①，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF．发现其中CE＝DF．

【拓展延伸】

如图②，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BF⊥AE于点G，交AD于点F，连接FE，BE．

【问题解决】

（1）若DO＝DE，求证：△ABG≌△OBG；

（2）若BF＝6，求四边形AFEB的面积；

（3）如图③，连接CG，若CG＝BC，求证：E是边DC的中点．

【变式1-6】如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD边上，点A的对应点为A'，连接BB'．

（1）如图②，当点B'与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB'F的形状，并证明；

（2）求折痕EF的最大值；

（3）如图③，过点E作EM⊥BC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长．

【变式1-7】（滕州市校级模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA＝BC＝2，DA＝DC＝，∠BAD＝90°，DE⊥CF，试求的值．