专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读）

【专题说明】

    中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法技巧】

 类型一：直接倍长中线      

△ABC中AD是BC边中线                      

方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 

类型二：间接倍长中线

 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E连接BE  。                    

延长MD到N， 使DN=MD，连接CN

【典例分析】

【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．

【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．

【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．

【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为 　   　．

【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 　  　．

【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为 　  　．

【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．

【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE．

（1）如图①，若DF平分∠ADE，求证：AD+BE＝DE；

（2）如图②，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分∠FDC时，求EC的长．

【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．

如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．

下而是部分证明过程：

∵AC⊥BD，EF⊥AD，

∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，

∴∠EDG＝∠FGC．

∵∠ADB＝∠ACB，

…

任务一：请将上述过程补充完整；

任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．

（1）求证：MN⊥DE；

（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．