专题05 对角互补模型综合应用（专项训练）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

  专题05  对角互补模型综合应用（专项训练）

1．如图，将5个边长为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 　   　．

【解答】解：如图，过正方形ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，

则∠EOM＝∠FON，OM＝ON，

在△OEM和△OFN中，

，

∴△OEM≌△OFN（ASA），

则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，

如正方形ABCD的边长是1，则OMCN的面积是cm2，

∴得阴影部分面积等于正方形面积的cm2，即是cm2，

∴5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4＝1cm2，

故答案为：1cm2．

2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为　2　．

【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，

∵∠BAC＝∠D＝90°，

∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∴∠ABD+∠ABE＝180°，

∴E，B，M三点共线，

∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，

∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAM＝∠MAN，

在△AEM和△ANM中，

，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴MN＝ME，

∴MN＝CN+BM，

∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，

∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，

∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，

故答案为：2+2．

3.（袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．

【答案】略

【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°，

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE＝PF，

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

而∠PDO+∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF，

在△PCE和△PDF中，

∴△PCE≌△PDF（AAS），

∴PC＝PD．

4.（2021秋•泉港区期末）如图，在正方形ABCD中，AC交BD于O，F在AC上，连线DF，过F作FE⊥DF交BD于G，交AB于E．

（1）求证：DF＝EF；

（2）若F为OC中点，求证：FG＝EG．

【答案】（1） 略  （2）略

【解答】证明：（1）如图1，连接BF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DC＝BC，∠DAC＝∠BAC＝45°，AC⊥BD，

在△DAF和△BAF中，

，

∴△DAF≌△BAF（SAS），

∴DF＝BF，∠ADF＝∠ABF，

∵∠DAE＝∠DFE＝90°，

∴∠ADF+∠AEF＝180°，

∵∠AEF+∠BEF＝180°，

∴∠ADF＝∠BEF，

∴∠ABF＝∠BEF，

∴BF＝EF＝DF；

（2）如图2，过点E作EH⊥AC于H，

∴∠EHF＝∠DOF＝90°，

∴∠DFO+∠FDO＝90°＝∠DFO+∠EFH，

∴∠FDO＝∠EFH，

在△DFO和△FEH中，

，

∴△DFO≌△FEH（AAS），

∴DO＝FH，

∵F为OC中点，

∴FO＝CF，

∴OH＝OF，

∵BD∥HE，

∴，

∴FG＝GE．

5.（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．

求证：CE＝DF．

【答案】略

【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，

∴∠DOF+∠COF＝90°，

∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，

∴∠COE＝∠DOF，

∴△COE≌△DOF（ASA），

∴CE＝DF．

6.（2021春•满城区期末）如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为平面内外一点，且BP⊥CP．过点O作OE⊥OP交PB的延长线于E．

（1）探究BE与PC之间的数量关系，并说明理由．

（2）BP、CP、OP三者之间存在怎样的关系？并说明理由．

【答案】（1）BE＝PC   （2）BP+CP＝OP

【解答】解：（1）BE＝PC，理由如下：

如图，连接OB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，OB⊥OC，

∵OE⊥OP，

∴∠EOP＝∠BOC＝90°，

∴∠EOB+∠BOP＝∠POC+∠BOP，即∠EOB＝∠POC，

∵OE⊥OP，BP⊥CP，

∴∠E+∠OPE＝∠OPC+∠OPE＝90°，

∴∠E＝∠OPC，

在△BOE与△COP中，

，

∴△BOE≌△COP（AAS），

∴BE＝PC；

（2）BP+CP＝OP，理由如下：

由（1）知，△BOE≌△COP，

∴BE＝CP，OE＝OP，

∴Rt△EOP是等腰直角三角形，

∴EP＝＝OP，

∵EP＝BP+BE＝BP+CP，

∴BP+CP＝OP．

7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF＝BE+FD．

求证：∠EAF＝∠BAD

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．

【解答】证明：（1）延长CB至M，使得BM＝DF，连接AM，

∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，

在△ABM与△ADF中

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AM＝AF，∠DAF＝∠BAM，

∵EF＝BE+DF＝BE+BM＝ME，

在△AME与△AFE中

，

∴△AME≌△AFE（SSS），

∴∠MAE＝∠EAF，

∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

即∠EAF＝∠BAD；

（2）线段EF、BE、FD之间的数量关系是EF+DF＝BE，

在BE上截取BM＝DF，连接AM，

∵AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，

∴∠ABM＝∠ADF，

在△ABM与△ADF中

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∠EAF＝∠BAD，

∴∠EAF＝∠EAM，

在△AEM与△AEF中

，

∴△AEM≌△AEF（SAS），

∴EM＝EF，

即BE﹣BM＝EF，

即BE﹣DF＝EF．

8．问题背景：

（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是       ．

探索延伸：

（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

故答案为 EF＝BE+DF．

（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；

理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；

（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，

理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，

在△DCG与△DBE中，

，

∴△DCG≌△DBE（SAS），

∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，

又∵DE⊥DF，

∴FD垂直平分线段EG，

∴FG＝FE，

∵∠A＝90°，

∴∠B+∠ACB＝90°，

∴∠FCG＝90°，

在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，

∴EF2＝BE2+CF2；

（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，

理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，

∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，

∴∠MBD＝∠C，

在△BDM和△CDF中，

，

∴△BDM≌△CDF（SAS），

∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，

∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，

在△DEM和△DEF中，

，

∴△DEM≌△DEF（SAS），

∴EF＝EM，

∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．