（冲刺高分必刷）专题14 三角形和旋转综合压轴挑战突破-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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1．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．
【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，
理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，
由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵＝1，
∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，
∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，
∴AB'＝AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，
∴AB'＝AD＝5．
2．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Gegebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
请你证明：AG＝BH．
【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．
【解答】【情境再现】
证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，
∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，
∴∠BEH＝∠AFG，
∵OH＝OG，
∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，
在△BHE和△AGF中，
，
∴△BHE≌△AGF（SAS），
∴BH＝AG；
【迁移应用】
解：猜想：DG⊥BH；证明如下：
由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，
∴∠BHE＝∠AGF，
∵∠HOG＝90°，
∴∠AGF+∠GPO＝90°，
∴∠BHE+∠GPO＝90°，
∵∠GPO＝∠HPD，
∴∠BHE+∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝90°，
∴DG⊥BH；
【拓展延伸】
解：猜想：BH＝AG，证明如下：
设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：
由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，
∴△BOT∽△AOK，
∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，
∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，
∵OH＝GO，
∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，
∴＝＝，
∴△BTH∽△AKG，
∴＝＝，
∴BH＝AG．
3．（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当EQ⊥AD时，求t的值；
（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图：
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，
∵EQ⊥AD，
∴∠AQE＝∠AED＝90°，
∵∠EAQ＝∠DAE，
∴△AQE∽△AED，
∴＝，即＝，
∴AQ＝，
∴t＝＝；
答：t的值为；
（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，如图：
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠CAM，
∵∠ACB＝90°＝∠AMC，
∴△ABC∽△CAM，
∴＝，即＝，
∴CM＝，
∴S△ACD＝AD•CM＝×5×＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，
∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，
∴△PBN∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PN＝t，
∴S△BCP＝BC•PN＝×3×t＝t，
∴S＝S四边形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ
＝14﹣t﹣（5﹣t）•t
＝t2﹣t+14；
答：S与t之间的函数关系式是S＝t2﹣t+14；
（3）存在某一时刻t，使PQ∥CD，理由如下：
过C作CM⊥AD于M，如图：
由（2）知CM＝，
∴AM＝＝＝，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，
∵PQ∥CD，
∴∠AQP＝∠MDC，
∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，
∴△APQ∽△MCD，
∴＝，即＝，
解得t＝，
答：存在时刻t＝，使PQ∥CD．
4．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，
同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
5．（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．
（1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝ ，直线AD与直线CE的位置关系是 垂直 ；
（2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（19°＜α＜60°），连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°，
∴AB＝BC＝3，
在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE＝2，
∴BD＝BE＝2，
∴EC＝1，AD＝，
∴＝，此时AD⊥EC，
故答案为：，垂直；
（2）结论成立．
理由：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BC，BD＝BE，
∴＝，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝＝，∠ADB＝∠BEC，
∵∠ADB+∠CDB＝180°，
∴∠CDB+∠BEC＝180°，
∴∠DBE+∠DCE＝180°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴AD⊥EC；
（3）如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点T．
∵∠AJB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABJ＝60°，
∴∠KBJ＝60°﹣α．
∵AB＝3，
∴BJ＝AB＝，AJ＝BJ＝，
当DF＝BE时，四边形BEFD是矩形（由∠DBE＝90°，∠F＝90，取DE中点，证明BDFE四点共圆，再由BE＝DF推得弧等，从而圆周角∠DEF＝∠BDE＝30°，则∠BEF＝90°，由3个直角得矩形），
∴∠ADB＝90°，AD＝＝＝，
设KT＝m，则AT＝m，AK＝2m，
∵∠KTB＝∠ADB＝90°，
∴tanα＝＝，
∴＝，
∴BT＝m，
∴m+m＝3，
∴m＝，
∴AK＝2m＝，
∴KJ＝AJ﹣AK＝﹣＝，
∴tan（60°﹣α）＝＝．
解法二：证明∠CAF＝60°﹣α，
通过tan（60°﹣α）＝求解即可．
6．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵l∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵AB＝AC＝，
∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，
∴DE＝2；
（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE
∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△FBA，
∴AB：FB＝BD：AB，
∵CE＝3，DE＝1，
∴AE＝BD＝4，
∴AB＝5．
∴BF＝．
∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．
7．（2022•达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝ 45° ；
（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系： BF＝AF+CF ；
【深入探究】
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵△CED是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
∵ED∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即α＝45°，
故答案为：45°；
（2）BF＝AF+CF，理由如下：
如图3，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF＝CF，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AF＝BD，
∵BF＝DF+BD，
∴BF＝AF+CF；
故答案为：BF＝AF+CF；
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下：
由（2）知，△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAF＝∠CBD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
∴△GCF为等腰直角三角形，
∴GF＝CF，
∴BF＝BG+GF＝AF+CF；
（4）BF＝mAF+•FC．理由如下：
由（2）知，∠ACE＝∠BCD，
而BC＝mAC，CD＝mEC，
即＝＝m，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，如图6所示：
由（3）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴＝＝＝m，
∴BG＝mAF，GC＝mFC，
在Rt△CGF中，GF＝＝＝•CF，
∴BF＝BG+GF＝mAF+•FC．
8．（2021•锦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵α＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．
（2）解：①结论：＝．
如图2中，过点C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝＝，
∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC＝AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝＝k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴CJ＝，
∴点E的运动轨迹是线段BE，
∵C，R关于BE对称，
∴CR＝2CJ＝，
∵BJ＝＝＝，
∵S△CBR＝•CR•BJ＝•CB•RT，
∴RT＝＝，
∵EC+EH＝ER+EH≥RT，
∴EC+EH≥，
∴EC+EH的最小值为．
9．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？
【解答】（1）证明：如图1，
由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，
∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，
∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
10．（2020•甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分∠ADE；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．
【解答】（1）证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA＝CD，∠A＝∠CDE
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE．
（2）解：结论：BE⊥AB．
由旋转的性质可知，∠DBC＝∠CED，
∴D，C，E，B四点共圆，
∴∠DCE+∠DBE＝180°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE⊥AB．
（3）如图，设BC交DE于O．连接AO．
∵BD＝BE，∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝∠BDE＝45°，
∵C，E，B，D四点共圆，
∴∠DCO＝∠DEB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCD，
∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，
∴△ACD≌△OCD（ASA），
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝∠CAO＝45°，
∵∠ADO＝135°，
∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，
∴OA＝OB，设AC＝OC＝m，则AO＝OB＝m，
∴tan∠ABC＝＝＝﹣1．
11．（2022•清丰县校级三模）如图，△ABC中，CA＝CB、∠ACB＝α，过点B作直线l∥AC，D为线段AB上一动点，连接CD，将射线DC绕点D顺时针旋转α，交直线l于点E．
（1）如图1，当α＝90°时，线段CD和ED的数量关系是 CD＝ED ．
（2）如图2，当0°＜α＜180°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）若α＝120°，AC＝，当△DEB为直角三角形时，请直接写出线段DE的长．
【解答】解：（1）如图1，
连接CE，
∵AC∥BE，∠ACB＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣∠ACB＝90°，∠ABE＝∠A，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CDE+∠CBE＝180°，
∴点C、D、E、B共圆，
∴∠DCE＝∠ABE，∠CED＝∠ABC，
∴∠DCE＝∠CED，
∴CD＝ED，
故答案为：CE＝ED；
（2）如图2，
（1）中结论仍然成立，理由如下：
连接CE，
∵l∥AC，
∴∠CBE＝∠ACB＝α，∠ABF＝∠A，
∵∠∠CDE＝α，
∴∠CDE＝∠CBE，
∴点C、D、B、E共圆，
∴∠CED＝∠ABC，∠ABF＝∠DCE，
∵AC＝∠CB，
∴∠A＝∠ABC，
∴∠DCE＝∠CED，
∴CD＝DE；
（3）如图3，
当∠DEC＝90°时，
∵AB＝CB＝，
∴∠A＝∠ABC＝＝30°，
∵l∥AC，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠BDE＝90°﹣∠ABE＝60°，
∴∠CDB＝∠CDE﹣∠BDE＝120°﹣60°＝60，
∴∠ABC+∠CDB＝90°，
∴CD＝BC•tan∠ABC＝•tan30°＝1，
∴DE＝CD＝1，
如图4，
当∠BAE＝90°时，点D与点A重合，
DE＝AC＝，
综上所述：DE＝1或．
12．（2022•武进区校级一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），
（Ⅰ）连接AB，若把线段AB绕点B逆时针旋转90°，则得线段A0B，请在图①中用无刻度的直尺和圆规作出点A的对应点A0（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点A0的坐标；
（Ⅱ）若把△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点分别为A′，O′，如图②，求点O′和点A′的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，求P′B+BA+AP的最小值．
【解答】解：（1）如图①所示，点A0为所求点，过点A0作A0D⊥y轴于D，
∴∠A0DB＝90°＝∠AOB，
∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA＝4，BO＝3，
∵把线段AB绕点B逆时针旋转90°，
∴∠A0BA＝90°＝∠AOB，A0B＝AB，
∴∠ABO+∠OAB＝90°＝∠ABO+∠A0BD，
∴∠A0BD＝∠OAB，
∴△A0BD≌△BAO（AAS），
∴BD＝AO＝4，A0D＝BO＝3，
∴点A0（3，7）；
（2）如图②，过点O'作O'H⊥y轴于H，过点A'作A'E⊥O'H于E，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，
∴BO＝BO'＝3，∠OBO'＝120°，A'O＝AO＝4，∠AOB＝∠A'O'B＝90°，
∴∠O'BH＝60°，
∴∠BO'H＝30°，
∴BH＝，O'H＝BH＝，
∴OH＝，
∴点O'（，），
∵∠A'O'E＝90°﹣∠BO'H＝60°，
∴∠O'AE'＝30°，
∴EO'＝A'O'＝2，A'E＝EO'＝2，
∴HE＝﹣2，
∴点A'（﹣2，+2）；
（3）如图③，过点P作PC⊥AB于C，
∵OA＝4，BO＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sin∠BAO＝＝＝，
∴PC＝AP，
∵旋转，
∴BP'＝BP，
∴P′B+BA+AP＝BP+5+PC，
作点B关于x轴的对称点B'，过点B'作B'C'⊥AB于C'，交x轴于P''，此时BP+PC的最小值为B'C'的长，
∴BO＝B'O＝3，
∴BB'＝6，
∵sin∠ABO＝＝，
∴B'C'＝，
∴P′B+BA+AP的最小值为5+＝．
13．（2022•东丽区二模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB'O'，点B，O旋转后的对应点为B'，O'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求BB'的长；
（Ⅱ）如图②，若α＝120°，求点O'的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OB上有一点P，旋转后的对应点为P'，当AP'+O'P取得最小值时，求点P的坐标．（直接写出结果即可）
【解答】解：（Ⅰ）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝＝10，
由旋转知，BA＝B'A，∠BAB'＝90°，
∴△ABB'是等腰直角三角形，
∴BB'＝AB＝10；
（Ⅱ）如图2过点O'作O'H⊥x轴于H，
由旋转知，O'A＝OA＝8，∠OAO'＝120°，
∴∠HAO'＝60°，
在Rt△AHO'中，∠HAO'＝60°，
∴AH＝AO'＝4，O'H＝AH＝4，
∴OH＝OA+AH＝12，
∴O'（12，4）；
（Ⅲ）由旋转知，AP＝AP'，
∴O'P+AP'＝O'P+AP，
如图3，作A关于y轴的对称点，连接O'C交y轴于P，
∴O'P+AP＝O'P+CP＝O'C，此时，O'P+AP的值最小，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（﹣，08），
∵O'（12，4），
∴直线O'C的解析式为y＝x+，
令x＝0，
∴y＝，
∴P（0，），
∴O'P'＝OP＝，
作P'D⊥O'H于D，
∵∠B'O'A＝∠BOA＝90°，∠AO'H＝30°，
∴∠DP'O'＝30°，
∴O'D＝O'P'＝，P'D＝O'D＝，
∴DH＝O'H﹣O'D＝，O'H+P'D＝，
∴P'（，），
14．（2022•湖北模拟）在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，直线AC与BD交于点M．
（1）如图1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求的值；
（2）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝α，求的值（用含α的式子表示）；
（3）若∠OAB＝∠OCD＝30°，OD＝2，OB＝4，将三角形OCD绕着点O在平面内旋转，直接写出当点A、C、D在同一直线上时，线段BD的长．
【解答】解：（1）在△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，
∴∠OBA＝90°﹣∠OAB＝45°＝∠OAB，
∴OA＝OB，同理：OC＝OD，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，
∴＝1；
（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝α，
∴tanα＝，
在Rt△COD中，∠COD＝90°，∠OCD＝α，
∴tanα＝，
∴＝，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COD+∠AOD＝∠AOB+∠AOD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△BOD∽△AOC，
∴＝＝tanα，
即＝tanα；
（3）﹣或+，
理由：同（2）的方法知，△BOD∽△AOC，＝tan30°＝，
∴∠ACO＝∠BDO，
∴∠ADB＝∠COD＝90°，
设BD＝x，则AC＝3x，
在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝4，
∴AB＝2OB＝8，
在Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝2，
∴CD＝2OD＝4，
①当点C在线段AD上时，如图1，AD＝AC+CD＝3x+4，
由（2）知，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
∴（3x+4）2+（x）2＝64，
∴x＝﹣﹣1（舍）或x＝﹣1，
∴BD＝x＝﹣；
②当点D在线段AC上时，如图2，AD＝AC﹣CD＝3x﹣4，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
∴（3x﹣4）2+（x）2＝64，
∴x＝﹣+1（舍）或x＝+1；
∴BD＝x＝+，
即线段BD的长为﹣或+．
15．（2022•六盘水模拟）[问题提出]如图1，在△ABC中，每个内角都小于120°，在△ABC内有一点P，请确定点P的位置，使PA+PB+PC最小．
（1）[问题解决]如图2，把△CAP绕点C顺时针旋转60°得到△CED，连接PD和AE，当点B，P，D，E四点共线时，PA+PB+PC的最小值即为线段BE的长，此时∠APB＝ 120 度；
（2）[问题拓展]如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是△ABC内一点，若∠APC＝135°，PA＝2，PC＝1，求PB的长；
（3）[实际应用]如图4，△ABC是A，B，C三座城市位置的平面示意图，要在△ABC内规划建设一个物流基地（用点P表示），连接PA，PB，PC，并使PA+PB+PC最小；经测量：AC＝40km，BC＝30km，∠ACB＝60°，求PA+PB+PC的最小值．
【解答】解：（1）∵把△CAP绕点C顺时针旋转60°得到△CED，
∴∠PCD＝60°，CP＝CD，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠CPD＝∠CDP＝60°，∠CDE＝∠APC＝∠BPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠APB＝360°﹣∠APC﹣∠BPC＝120°，
∴∠APB＝120°，
故答案为：120；
（2）如图，将△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，
∴AP＝AP'，BP'＝PC，
∵AB＝AC，∠PAP'＝∠BAC＝90°，
∴△PAP'为等腰直角三角形，
∴∠AP'P＝45°，
又∵∠APC＝135°，
∴∠BP'P＝∠APC﹣∠AP'P＝90°，
∵PA＝2，PC＝1，
∴P'A＝PA＝2，P'B＝PC＝1，
∴PP'＝＝2，
∴PB＝＝3，
∴PB的长为3；
（3）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC，连接PD，BE，过点E作EH⊥BC交BC的延长线于H，
∴∠ACP＝∠ECD，EC＝AC＝40km，
∵∠PCD＝60°，∠ACP+∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝120°，
∴∠ECH＝60°，
又∵EH⊥CH，
∴∠CHE＝90°，
∴CH＝km，EH＝CH＝20km，
又∵BH＝BC+CH＝50km，
∴BE＝＝10km，
∵PA+PB+PC≥10km，
∴PA+PB+PC的最小值为10km．
16．（2022•西青区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2）分别是坐标轴上的点，连接AB．把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′BO′．点A，O旋转后的对应点为点A′，O′．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当点O′落在AB边上时，求α的值和点O′的坐标：
（Ⅱ）如图②，当α＝60°时，求AA′的长和点O′的坐标：
（Ⅲ）连接AO′，直接写出在旋转过程中△AO′A′面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，过点O'作O'D⊥OB于D，
∵B（0，2），A（2，0），
∴OB＝OA＝2，
∴△AOB是等腰直角三角形
∴∠ABO＝45°
∴△BDO'是等腰直角三角形
由旋转的性质可知，α＝45°，BO＝BO′＝2，
∴BD＝O'D＝
∴O′（，2﹣）；
（Ⅱ）如图2，过点O′作O′H⊥OB于点H，
在Rt△O′BH中，∵O'B＝2，∠OBO'＝60°，
∴∠HO'B＝30°，
∴BH＝O'B＝1，O'H＝，
∴O′（，1）；
由旋转得：∠ABA'＝60°，AB＝A'B，
∴△ABA'是等边三角形，
∴AA'＝AB＝2；
（Ⅲ）如图3，过点A作AG⊥A'O'于G，
∵△AO′A′面积＝•A'O'•AG，
∵A'O'＝2是定值，
∴在旋转过程中当AG最大时，△AO′A′面积最大，
如图4，当AO'过点B时最大，此时AO'＝2+2，
∴△AO′A′面积＝•A'O'•AG＝×2×（2+2）＝2+2；
答：在旋转过程中△AO′A′面积的最大值是2+2．
17．（2022•历下区二模）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D．
（1）当∠B＝30°时，
①＝ ；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（2）当∠B＝45°时，将△ADE绕点A旋转，使得∠DEB＝90°，若AC＝5，AD＝，请直接写出线段CD的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
①如图1，过点E作EH⊥BC于点H，则∠EHC＝∠EHB＝90°，
∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠CDE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，
∴EH＝CD，
在Rt△BEH中，∠B＝30°，
∴EH＝BE，
∴CD＝BE，
∴＝，
故答案为：；
②成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，
即∠CAD＝∠BAE，
由①可知，＝，＝，
∴＝＝，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝＝；
（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AD，
∴∠AED＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：
①如图3，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
∴四边形ADEF是矩形，
又∵AD＝DE，
∴矩形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝，
∵BC＝AC＝5，
∴AB＝＝＝5，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝3，
∴BE＝BF﹣EF＝2，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，
即∠CAD＝∠BAE，
∵＝，＝，
∴＝，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝＝，即＝，
解得：CD＝；
②如图4，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠DEB＝∠ADE＝90°，
∴四边形ADEF是矩形，
又∵AD＝ED，
∴矩形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3，
∴BE＝BF+EF＝4，
同①得：△ACD∽△ABE，
∴＝＝，
即 ＝，
解得：CD＝2；
综上所述，线段CD的长为或2．
18．（2022•南关区校级模拟）【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是 2＜AD＜6 ．
【应用】如图②，在△ABC中，D为边BC的中点、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝5，CF＝6，则EF的长为 ．
【解答】解：【问题解决】在△DAC和△DEB中，
，
∴△DAC≌△DEB（SAS），
∴AC＝EB＝4，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝8，
∴4＜AE＜12，
∴2＜AD＜6，
故答案为：2＜AD＜6；
【应用】延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如图②，
在△DAC和△DEB中，
，
∴△DAC≌△DEB（SAS），
∴AC＝EB＝6，
∵AE＝2AD＝8，AB＝10，
∵62+82＝102，
∴BE2+AE2＝AB2，
∴∠AEB＝90°，
∴BD＝＝＝2，
∴BC＝2BD＝4；
【拓展】延长FD到G，使得DG＝FD，连接BG，EG，如图③，
在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF＝6，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，
∵DE⊥DF，
∴EG＝EF，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠DBG＝90°，
∴EG＝＝＝，
∴EF＝，
故答案为：．
19．（2022•伊川县模拟）已知△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直线AE与直线CD交于点M．
（1）观察猜想
如图①，当∠ABC＝∠EBD＝45°时，线段AE和CD的数量关系是 AE＝CD ；∠AMC＝ 45 °．
（2）探究证明
如图②，当∠ABC＝∠EBD＝30°时，线段AE和CD的数量关系是什么？∠AMC的度数又是多少？请说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若BC＝9，BD＝6，将△EDB绕点B旋转，在整个旋转过程中，当A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线AE的距离．
【解答】解：（1）结论：AE＝CD，∠AMC＝45°．
理由：如图①中，设AM交BC于点O．
∵△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴△ABC，△DEB都是等腰直角三角形，
∴BC＝BC，BE＝BD，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴＝＝，∠BAE＝∠BCD，
∴AE＝CD，
∵∠AOB＝∠COM，
∴∠AMC＝∠ABO＝45°，
故答案为：AE＝CD，45．
（2）结论：CD＝AE，∠AMC＝30°．
理由：设AM交BC于点O．
∵∠ACB＝∠EDB＝90°，∠ABC＝∠DBE＝30°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵＝＝cs30°＝，
∴△CBD∽△ABE，
∴＝＝，∠BAE＝∠BCD，
∴CD＝AE，
∵∠AOB＝∠COM，
∴∠AMC＝∠ABO＝30°．
（3）如图③﹣1中，点E在线段AD上时，设AD交BC于点J，过点J作JK⊥AB于K，过点C作CH⊥AD于H．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝9，
∴AC＝BC•tan30°＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝6，
∵tan∠DAB＝＝，
∴＝，
∵AK＝JK，
设JK＝m，则BK＝m，AK＝m，
∴m+m＝6，
∴m＝18﹣6，
∴JK＝18﹣6，BJ＝2JK＝36﹣12，
∴CJ＝BC﹣BJ＝9﹣（36﹣12）＝12﹣27．
∴AJ＝＝＝18（﹣），
∵CH⊥AJ，
∴CH＝＝＝．
如图③﹣2中，当点D在线段AE上时，延长DA交BC的延长线于J，过点J作JK⊥AB交BA的延长线于点K，过点C作CH⊥DJ于点H．
同法设JK＝m，则BK＝m，AK＝m，
∴m﹣m＝6，
∴m＝18+6，
∴JK＝18+6，BJ＝2JK＝36+12，
∴CJ＝BJ﹣BC＝27+12，
∴AJ＝＝＝18（+），
∵CH⊥AJ，
∴CH＝＝＝，
综上所述，点C到直线AE的距离为或．
20．（2022•息烽县二模）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则
①∠BEC＝ 120 °；②线段AD、BE之间的数量关系是 AD＝BE ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．
【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
故答案为：120．
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE；
故答案为：AD＝BE．
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∴AB＝＝＝17；
（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：
则△BEC≌△APC，
∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，
∵∠APD＝30°，
∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，
又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，
在Rt△BDE中，，
即BD的长为13．
21．（2021•东莞市校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点A，E为直线l上一点，将△ACE绕点C顺时针旋转90°至△BCE'的位置，且点E'恰好在直线l上．
（1）求证：∠AE'B＝90°且E'C平分∠AE'B；
（2）若AE'＝CE'＝2+，求证：△ACE≌△OAE'；
（3）在（2）的条件下，求S△ABC．
【解答】（1）证明：根据旋转的性质可得，
CE＝CE′，∠ECE′＝90°，CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠E′EC＝EE′C＝45°＝∠CAB＝∠CBA，AE＝BE′，
∴∠EAC＝∠E′BC，∠AEC＝∠BE′C＝45°，∠ECA＝∠E′CB，
由旋转性质得，△ACE≌△BCE′，
∴∠AE′C＝∠BE′C＝45°，
∴∠AE′B＝90°且E'C平分∠AE'B；
（2）证明：∵∠EAC＝∠E′BC，
∴∠E′BC＝∠ABC+∠ABE′＝45°+∠ABE′，
∵CE′B＝45°，
∴∠E′BC＝45°+∠ABE＝∠CE′B+∠ABE′＝∠AOE′，
∴∠EAC＝∠AOE′，
在△ACE和△OAE′中，
，
∴△ACE≌△OAE′（AAS）；
（3）解：在Rt△ECE′中，CE＝CE′＝2+，
∴EE′＝2+2，
∴AE＝EE′﹣AE′＝，
过点A作CE′的垂线，垂足为M，
在Rt△AMC′中，∠AE′M＝45°，AE′＝2+，
∴AN＝E′M＝+1，
∴CM＝CE′﹣E′M＝1，
在Rt△ACM中，CM＝1，AM＝+1，
∴AC2＝AM，
∴S△ABC＝AC2＝2+．
22．（2021•东港区校级一模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时，的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 60° ．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为：1，60°．
（2）如图2中，设BD交AC于点H，BD交PC于点G．
∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA，，
∵∠EHC＝∠AHB，
∴∠CEH＝∠HAB＝45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．
（2）如图3中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四点共圆，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，
∴．
如图4中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，
∴PC＝a﹣a，
∴．
综合以上可得的值为2+或2﹣．
23．（2022•立山区一模）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．
（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝ 90 度（直接填空）；
（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝EC；
（3）当AB＝2，且点E到AC的距离EH＝﹣1时，直接写出AH的值．
【解答】解：（1）如图1中，
由旋转得：AE＝AD，
∵∠DAE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED＝45°，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝45°，
∴∠EDC＝90°，
故答案为：90．
（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．
∵∠DAE＝∠BAP＝90°，
∴∠BAD＝∠PAE，
∵∠B＝45°，
∴∠B＝∠APB＝45°，
∴AB＝AP，
∵AD＝AE，
∴△BAD≌△PAE（SAS），
∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，
∴∠EPD＝∠EPC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴EP＝EC，
∴BD＝EC；
（3）分两种情况：
①如图3，当D与B重合时，过点A作AG⊥BC于G，
∵∠B＝45°，∠BAE＝90°，
∴△ABG和△AEG是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴DG＝AG＝EG＝2，AE＝2，
∵EH＝﹣1，
由勾股定理得：AH＝＝＝＝+1；
②解法一：如图4，过点A作AG⊥BC于G，过A作AF⊥AB，连接EF交AC于K，过点F作FQ⊥AC于Q，
由（2）知△BAD≌△FAE（SAS），
∴∠AFE＝∠B＝45°，
∴∠BFE＝90°，
∴∠CFE＝90°，
Rt△AGC中，AG＝FG＝2，∠C＝30°，
∴AC＝4，CG＝2，
∴CF＝CG﹣FG＝2﹣2，
Rt△CFQ中，FQ＝CF＝﹣1＝EH，
∴CQ＝FQ＝3﹣，
∵EH⊥AC，FQ⊥AC，
∴∠EHK＝∠FQK＝90°，∠CFQ＝60°，∠KFQ＝30°，
∵∠EKH＝∠FKQ，EH＝FQ，
∴△EHK≌△FQK（AAS），
∴KH＝KQ＝＝＝1﹣，
∴AH＝AC﹣CQ﹣QH＝4﹣（3﹣）﹣2（1﹣）＝﹣1；
解法二：如图5，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EH⊥AC于H，延长AM，EH交于点N，过点E作EF⊥AM于F，
∵AD＝AE，∠DAM＝∠AEF，∠AMD＝∠AFE＝90°，
∴△ADM≌△EAF（AAS），
∴AM＝EF＝2，
Rt△EFN，∠N＝∠C＝30°，
∴EN＝2EF＝4，
∵EH＝﹣1，
∴NH＝EN﹣EH＝4﹣（﹣1）＝5﹣，
Rt△AHN中，tan30°＝，
∴AH＝（5﹣）＝﹣1．
综上，AH的长是+1或﹣1．
24．（2021•河北区模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO′．点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA'的长；
（Ⅱ）如图②．若α＝45°，求点O'的坐标；
（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）．
【解答】解：（1）∵点A（3，0），点B（0，4），
∴AO＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A'BO′，
∴∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，
∴AA'＝＝＝5；
（2）如图②，若α＝45°，则∠CBO'＝90°，过点O'作O'C⊥OB于点C，
则∠CO'B＝90°，
∴BC＝CO'，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转45°，得△A'BO′，
∴OB＝O'B＝4，
∴BC＝CO'＝4×＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2，
∴O'（2，4﹣2）；
（3）如图③中，过点O作OH⊥AC，
则OH＝，
∴BH＝＝，
观察图形可知，MN重合时，MN的最小值＝0，
MN的最大值＝BM+BN＝5+3＝8．
∴MN的取值范围是0≤MN≤8．
25．（2021•金东区校级模拟）【问题探索】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为 PM＝PN，PM⊥PN ，最后推理得到BE与MN的数量关系为 BE＝MN ．
【深入探究】将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
【解决问题】若CB＝8，CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AM＝ME，AP＝PB，
∴PM∥BE，PM＝BE，
∵BN＝DN，AP＝PB，
∴PN∥AD，PN＝AD，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∴PM＝PN，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵PM∥BC，PN∥AC，
∴PM⊥PN，
∴△PMN的等腰直角三角形，
∴MN＝PM，
∴MN＝•BE，
∴BE＝MN，
故答案为PM＝PN，PM⊥PN；BE＝MN；
（2）如图2中，结论仍然成立．
理由：连接AD、延长BE交AD于点H．
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECB，
∴△ECB≌△DCA，
∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，
∵∠AHB＝180°﹣（∠HAB+∠ABH）
＝180°﹣（45°+∠HAC+∠ABH）
＝∠180°﹣（45°+∠HBC+∠ABH）
＝180°﹣90°
＝90°，
∴BH⊥AD，
∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∴BE＝2PM＝2×MN＝MN．
（3）①如图3中，作CG⊥BD于G，则CG＝GE＝DG＝，
当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG＝＝＝，
∴BE＝BG﹣GE＝﹣，
∴MN＝BE＝﹣1．
②如图4中，作CG⊥BD于G，则CG＝GE＝DG＝，
当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG＝，
∴BE＝BG+GE＝+，
∴MN＝BE＝+1．
故答案为 ﹣1或 +1．