专题13 平行线之猪脚模型（M模型）-中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）

中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题13平行线之猪脚模型（M模型）

【例1】（2022春•桐城市期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　   　．

【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．

【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．

【例2】（2022春•南京期中）已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点（不在直线AB、CD、EF上），OG平分∠EOF，射线OH∥AB，交EF于点H．

（1）如图①，若∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，则∠HOG＝　   　，

（2）如图②，若∠AEO＝150°，∠HOG＝20°，则∠CFO＝　   　；

（3）直接写出点O在不同位置时∠AEO、∠CFO和∠HOG三个角之间满足的数量关系．

【例3】（2022春•上城区校级期中）如图，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°．

（1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．

（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值．

（3）将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足条件的t的值．

【例4】（2021春•梅江区期末）如图（1），AB∥CD，点E在AB、CD之间，连接EA、EC；如图（2），AB∥CD．点M、N分别在AB、CD上，连接MN．

（1）在图（1）中，若∠A＝30°，∠C＝50°，则∠AEC＝　   　；若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝　   　．

（2）图（1）的条件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并说明你的结论．

（3）如图（2），点E是四边形ACDB内（不含边界和MN）任意一点，请说明∠EMB、∠END、∠MEN的关系．

一．选择题

1．（2022•黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（　　）

A．28° B．56° C．36° D．62°

2．（2022•临清市二模）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　　）

A．180°﹣∠2+∠1 B．180°﹣∠1﹣∠2 C．∠2＝2∠1 D．∠1+∠2

3．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④

4．（2018春•南昌期中）如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3的度数是（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°

5．（2018春•沂源县期末）如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝（　　）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3

6．（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是 　   　．

7．（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．

（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝　   　；

（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为　   　．（用含n的式子表示）

8．（2019•大丰区一模）如图，已知：AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3＝　   　度．

9．（2019秋•福田区校级期末）如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝　   　．

10．（2022春•交城县期中）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为 　   　．

11．（2022春•濠江区期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别截AB、CD于点G、H，点M在直线AB、CD之间，连接MG，MH．

（1）如图1，求证：∠M＝∠AGM+∠MHC；

（2）如图2，若HM平分∠GHC，在HM上取点Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求证：∠M+∠GQH＝180°；

（3）如图3，若GH平分∠MGB，N在为HD上一点，连接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度数．

12．（2022春•沂源县期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．

操作发现：

（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数．

（2）某同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，如图2，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由．

13．（2022春•无棣县期末）如图1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，点E在直线AB，CD之间．

（1）求证：AB∥CD；

（2）若AH平分∠BAE，FG∥CE．

①如图2，若∠AEC＝84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；

②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．

14．（2022春•墨玉县期末）问题情景：

（1）如图①，已知AB∥DE．试∠B、∠E、∠BCE有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E＝∠BCE．

请你帮他完善证明过程：

如图②，过点C作CF∥AB

∴　   　＝　   　（ 　   　）

∵AB∥DE，AB∥CF

∴　   　∥　   　．

∴∠E＝　   　（ 　   　）

∴∠B+∠E＝∠1+∠2

即∠B+∠E＝∠BCE．

（2）在图①中．若BC⊥CE，且∠B＝52°，请你计算∠E的度数等于 　   　．

（3）问题迁移：如图③．AD∥BC．当点P在射线AM上运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β

请你猜想∠α、∠β与∠CPD之间有怎样的数量关系？并说明理由．

15．（2022春•抚远市期末）如图，已知AD∥BC，AB∥CD，点E在线段BC的延长线上，AE平分∠BAD，连接DE，∠ADC＝2∠CDE，∠AED＝60°．

（1）求证∠ABC＝∠ADC；

（2）求∠CDE的度数．

16．（2022春•来宾期末）如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．

（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝　   　°；

（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；

（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．

17．（2022春•咸安区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝110°，求∠EPF的度数．

（2）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．

18．（2022春•上虞区期末）如图1，已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD．

（1）若∠EMF＝80°，则∠AEM+∠CFM＝　   　．

（2）如图2，在图1的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数（用α表示），并说明理由．

（3）如图3，在图1的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，请直接写出∠P与∠Q间的数量关系．

19．（2022春•西岗区期末）如图1，AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，PE⊥QE．

（1）直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为 　   　；

（2）如图2，∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数；

（3）如图3，M为线段PE上一点，连接QM，∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N，直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为 　   　．

20．（2022春•宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．

（1）端点A、C同向：

如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝　   　度；

如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝　   　度；

（2）端点A、C反向：

如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；

如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝　   　度．