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专题20函数与等腰三角形的存在性问题-中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）
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中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题20函数与等腰三角形的存在性问题
解题策略
经典例题
【例1】（2022秋•青岛期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s．两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题
（1）当t为何值时，EF∥AB？
（2）设四边形ABFE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，四边形ABFE的面积S等于矩形ABCD面积的？
（4）当t为 时，△EFD是等腰三角形．
【例2】（2022•佳木斯模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程x2﹣8x+16＝0的根．点P从点B出发，沿BC→CD向点D运动，同时点Q从点E出发，沿EB→BC向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动设点P运动的时间为t秒，△APQ的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式；
（3）当△AQP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【例3】（2022秋•前郭县期中）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，若点P为抛物线上第二象限内的一点，且到y轴的距离是2．点M为线段CO上的一个动点，求△APM周长的最小值；
（3）如图②，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【例4】（2022秋•法库县期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点（在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M．连接BM，AB边交y轴于点H．
（1）求MH的长；
（2）如图2所示，动点P从点A出发，沿折线．A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．
培优训练
一．解答题
1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为对角线AC上的一个动点．
（1）如图①，连接BE作EF⊥BE交线段DC于点F，的值；
（2）如图②，连接DE，作EF⊥DE交射线BC于点F．
①设CF＝y，AE＝x，当点F在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式；
②当△EFC为等腰三角形时，求AE的长．
2．（2022春•惠山区期中）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8．延长BC到D，使得CD＝BC，以AC、CD为邻边作平行四边形ACDE，连接BE交AC于点O．
（1）求证：四边形ABCE为菱形；
（2）如图2，点P是射线BC上一动点（不与点B、C、D重合），设BP＝x，连接PO并延长，延长线交直线AE于点Q．
①以P、Q、E、D四点围成的四边形面积记为S，求S与x的函数关系式；
②当△POC为等腰三角形时，求x的值．
3．（2020秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．
（1）求折痕AD长．
（2）点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（3）当△APD是等腰三角形时，求AP的长．
4．（2022春•厦门期末）如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP．
（1）求∠B的度数；
（2）当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值．
5．（2020秋•郫都区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知OA＝OB＝6，点P是第一象限内在直线AB上一点．
（1）直接写出k，b的值；
（2）设P（x，y），求△OPA的面积S与x的函数解析式；
（3）当△POA是等腰三角形，求点P的坐标．
6．（2021•永嘉县校级模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，DB⊥BC于点B，E，F，G分别在AC，BC，AC的延长线上，连接BG，EF的延长线分别交BG，DB于点K，H．已知CE，CF，CG的长度分别为3t，4t，4t（0＜t＜1）．
（1）求证：HB＝EA．
（2）设y＝．
①求y关于t的函数表达式．
②当△HBK为等腰三角形时，求所有满足条件的y的值．
（3）如图2，过点F作FP∥AC交AB于点P，连接KP交BF于点M．记△KPF，四边形EFPA的面积分别为S1，S2．当tan∠KPB＝时，求的值．
7．（2020秋•伊通县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，动点E、F同时从点B出发，分别沿BA、BC的方向向终点A、终点C运动，点E的速度是1cm/s，点F的速度是2cm/s，当一点到达终点后，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），四边形DAEF的面积为S（cm2）．
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当△DEF为等腰三角形时，求t的值．
8．（2020秋•东城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm，P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
y1/cm
4.00
3.69
2.13
0
y2/cm
3.00
3.91
4.71
5.23
5
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm；
②记AB所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 cm．
9．（2020•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
y1/cm
4.00
3.69
2.13
0
y2/cm
3.00
3.91
4.71
5.23
5
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm；
②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 cm．
10．（2020•长春模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连接PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；
（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，将一个30°角的顶点P放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC，且交边AC于点E，30°角的另一边交射线BC于点D，联结ED．
（1）四边形PEDC有可能为平行四边形吗？若可能，求出PEDC为平行四边形时AP的长，若不可能，请说明理由；
（2）设AP＝x，在移动的过程中，这个角和Rt△ABC重叠部分的图形面积为y，试建立y与x之间的函数关系式，并求出函数定义域；
（3）若△PED是等腰三角形，求AP的长．（请直接写出AP的长）
12．（2021秋•道县期末）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
13．（2022秋•肇源县期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例的函数y＝x的图象交于点C．
（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；
（2）请结合图象直接写出不等式组0＜kx+b≤2的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△COP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．（2022秋•鹿城区校级月考）如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设BQ＝x，AP＝y．
（1）求AD的值．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，连结PQ，EQ．
①当△PEQ为等腰三角形时，求x的值．
②过D作DF⊥BC于点F，作点F关于EQ的对称点F'，当点F'落在△PQB的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为 ．
15．（2022秋•临澧县期中）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象经过B（2，a），交y轴于点A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数表达式；
（2）将直线AB向右平移1个单位长度，得到对应直线MN，求直线MN与反比例函数图象的交点坐标；
（3）将线段AB向右平移m个单位长度，得到对应线段CD，连接AC、BD．在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
16．（2022秋•靖江市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH有什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m．
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值；
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
17．（2021•铜梁区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形CDBQ的面积最大？求出四边形CDBQ的最大面积及此时P点的坐标；
（3）如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，平移后的抛物线的顶点为M′，当△CBM′是等腰三角形时，求t的值．
18．（2022秋•招远市期中）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出此时E点的坐标以及四边形CDBF的最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．（2022秋•西湖区校级期中）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，y＝x﹣3与“蛋圆”中的抛物线y＝x2+bx+c交于B，C两点．
（1）求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长．
（2）“蛋圆”上是否存在点P使△APC是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S1，△ABF的面积记为S2，求的最小值．
20．（2022秋•和平区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作MN∥y轴，交AC于点N，过N作ND∥BC交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线y＝ax2+bx+2沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线y'，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作PQ∥y轴交射线MK于点Q，连接PK，当△PQK为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
22．（2022秋•海曙区期中）如图，设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点P为该抛物线第四象限上的一点，过P作PH⊥x轴交BC于点Q．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（4）当△CPQ为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
23．（2022秋•龙江县校级月考）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点M是抛物线对称轴上一点，当MB+MC的值最小时，点M的坐标是 ；
（3）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形ACD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（4）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022秋•克东县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝ ；n＝ ；
（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；
（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题20函数与等腰三角形的存在性问题
解题策略
经典例题
【例1】（2022秋•青岛期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s．两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题
（1）当t为何值时，EF∥AB？
（2）设四边形ABFE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，四边形ABFE的面积S等于矩形ABCD面积的？
（4）当t为 时，△EFD是等腰三角形．
【例2】（2022•佳木斯模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程x2﹣8x+16＝0的根．点P从点B出发，沿BC→CD向点D运动，同时点Q从点E出发，沿EB→BC向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动设点P运动的时间为t秒，△APQ的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式；
（3）当△AQP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【例3】（2022秋•前郭县期中）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，若点P为抛物线上第二象限内的一点，且到y轴的距离是2．点M为线段CO上的一个动点，求△APM周长的最小值；
（3）如图②，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【例4】（2022秋•法库县期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点（在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M．连接BM，AB边交y轴于点H．
（1）求MH的长；
（2）如图2所示，动点P从点A出发，沿折线．A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．
培优训练
一．解答题
1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为对角线AC上的一个动点．
（1）如图①，连接BE作EF⊥BE交线段DC于点F，的值；
（2）如图②，连接DE，作EF⊥DE交射线BC于点F．
①设CF＝y，AE＝x，当点F在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式；
②当△EFC为等腰三角形时，求AE的长．
2．（2022春•惠山区期中）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8．延长BC到D，使得CD＝BC，以AC、CD为邻边作平行四边形ACDE，连接BE交AC于点O．
（1）求证：四边形ABCE为菱形；
（2）如图2，点P是射线BC上一动点（不与点B、C、D重合），设BP＝x，连接PO并延长，延长线交直线AE于点Q．
①以P、Q、E、D四点围成的四边形面积记为S，求S与x的函数关系式；
②当△POC为等腰三角形时，求x的值．
3．（2020秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．
（1）求折痕AD长．
（2）点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（3）当△APD是等腰三角形时，求AP的长．
4．（2022春•厦门期末）如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP．
（1）求∠B的度数；
（2）当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值．
5．（2020秋•郫都区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知OA＝OB＝6，点P是第一象限内在直线AB上一点．
（1）直接写出k，b的值；
（2）设P（x，y），求△OPA的面积S与x的函数解析式；
（3）当△POA是等腰三角形，求点P的坐标．
6．（2021•永嘉县校级模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，DB⊥BC于点B，E，F，G分别在AC，BC，AC的延长线上，连接BG，EF的延长线分别交BG，DB于点K，H．已知CE，CF，CG的长度分别为3t，4t，4t（0＜t＜1）．
（1）求证：HB＝EA．
（2）设y＝．
①求y关于t的函数表达式．
②当△HBK为等腰三角形时，求所有满足条件的y的值．
（3）如图2，过点F作FP∥AC交AB于点P，连接KP交BF于点M．记△KPF，四边形EFPA的面积分别为S1，S2．当tan∠KPB＝时，求的值．
7．（2020秋•伊通县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，动点E、F同时从点B出发，分别沿BA、BC的方向向终点A、终点C运动，点E的速度是1cm/s，点F的速度是2cm/s，当一点到达终点后，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），四边形DAEF的面积为S（cm2）．
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当△DEF为等腰三角形时，求t的值．
8．（2020秋•东城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm，P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
y1/cm
4.00
3.69
2.13
0
y2/cm
3.00
3.91
4.71
5.23
5
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm；
②记AB所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 cm．
9．（2020•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
y1/cm
4.00
3.69
2.13
0
y2/cm
3.00
3.91
4.71
5.23
5
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm；
②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 cm．
10．（2020•长春模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连接PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；
（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，将一个30°角的顶点P放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC，且交边AC于点E，30°角的另一边交射线BC于点D，联结ED．
（1）四边形PEDC有可能为平行四边形吗？若可能，求出PEDC为平行四边形时AP的长，若不可能，请说明理由；
（2）设AP＝x，在移动的过程中，这个角和Rt△ABC重叠部分的图形面积为y，试建立y与x之间的函数关系式，并求出函数定义域；
（3）若△PED是等腰三角形，求AP的长．（请直接写出AP的长）
12．（2021秋•道县期末）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
13．（2022秋•肇源县期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例的函数y＝x的图象交于点C．
（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；
（2）请结合图象直接写出不等式组0＜kx+b≤2的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△COP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．（2022秋•鹿城区校级月考）如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设BQ＝x，AP＝y．
（1）求AD的值．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，连结PQ，EQ．
①当△PEQ为等腰三角形时，求x的值．
②过D作DF⊥BC于点F，作点F关于EQ的对称点F'，当点F'落在△PQB的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为 ．
15．（2022秋•临澧县期中）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象经过B（2，a），交y轴于点A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数表达式；
（2）将直线AB向右平移1个单位长度，得到对应直线MN，求直线MN与反比例函数图象的交点坐标；
（3）将线段AB向右平移m个单位长度，得到对应线段CD，连接AC、BD．在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
16．（2022秋•靖江市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH有什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m．
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值；
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
17．（2021•铜梁区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形CDBQ的面积最大？求出四边形CDBQ的最大面积及此时P点的坐标；
（3）如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，平移后的抛物线的顶点为M′，当△CBM′是等腰三角形时，求t的值．
18．（2022秋•招远市期中）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出此时E点的坐标以及四边形CDBF的最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．（2022秋•西湖区校级期中）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，y＝x﹣3与“蛋圆”中的抛物线y＝x2+bx+c交于B，C两点．
（1）求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长．
（2）“蛋圆”上是否存在点P使△APC是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S1，△ABF的面积记为S2，求的最小值．
20．（2022秋•和平区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作MN∥y轴，交AC于点N，过N作ND∥BC交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线y＝ax2+bx+2沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线y'，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作PQ∥y轴交射线MK于点Q，连接PK，当△PQK为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
22．（2022秋•海曙区期中）如图，设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点P为该抛物线第四象限上的一点，过P作PH⊥x轴交BC于点Q．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（4）当△CPQ为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
23．（2022秋•龙江县校级月考）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点M是抛物线对称轴上一点，当MB+MC的值最小时，点M的坐标是 ；
（3）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形ACD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（4）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022秋•克东县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝ ；n＝ ；
（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；
（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
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