专题29二次函数与相似压轴问题-中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）

中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题29二次函数与相似压轴问题

【例1】（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；

(2)求CP+PQ+QB的最小值；

(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．

【例2】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

【例3】（2022·辽宁·统考中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；

(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．

【例4】（2022·湖南·统考中考真题）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；

(2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；

(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．

一、解答题

1．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；

(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．

2．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．

(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；

(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；

(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．

4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且．

(1)求抛物线解析式．

(2)点是抛物线上的一点．

①当点在第一象限时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，当和相似时，求点的坐标．

②当时，求点的坐标．

5．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．二次函数的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F．点P在线段上运动，过点O作于点H．直线交直线于点D，连接．

(1)求，的值及点E和点F的坐标；

(2)在点P运动的过程中，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；

(3)当点P运动到的中点时，能否将绕平面内某点旋转后使得的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．

6．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．

①若与相似，求点的坐标；

②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．

7．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)在坐标轴上是否存在点D，使得是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

(3)点P是线段上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作轴于点C，交于点N，若的面积满足，求出的值，并求出此时点M的坐标．

8．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接．

(1)求抛物线的表达式；

(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；

(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．

9．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；

(3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围．

10．（2022·辽宁丹东·校考一模）已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式；

(3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2022·宁夏银川·校考三模）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A、B的坐标为、，动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿向终点A运动，点N沿向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，已知动点运动了x秒．

(1)用含x的代数式表示P的坐标．

(2)设四边形的面积是y，求y的最小值，求出此时x的值．

(3)是否存在x的值，使以 P 、A 、M 为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

12．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．

(1)求二次函数的解析式；

(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．

(1)求证：；

(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．

①求的最大值；

②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

14．（2022·湖南长沙·校考三模）如图1，已知二次函数的图象的顶点为，且经过点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为B，与y轴交于点C，若的面积是的两倍，求直线AB的解析式；

(3)如图2，已知，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线，与二次函数均只有一个交点，且直线，与y轴分别交于点M、N．对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

15．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，抛物线经过三点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)在直线上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标；

(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2022·广东深圳·深圳市海滨中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（－1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，－2）．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；

(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线：与轴交于点，过点与点的直线与交于点．

(1)求直线的函数表达式；

(2)如图，若点为直线下方的上一点，求点到直线的距离的最大值；

(3)如图，将直线绕点顺时针旋转后恰好经过的顶点，沿射线的方向平移抛物线得到抛物线，的顶点为，两抛物线相交于点设交点的横坐标为若，求的值．

18．（2022·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考三模）已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是．

(1)求抛物线的解析式．

(2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标．

(3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（2022·广东东莞·校考一模）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于、两点，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且，．

(1)求抛物线的解析式．

(2)在上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

20．（2021·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；

(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线lBC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点连接，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点，交于点，于点，当的面积为时，求点的坐标；

(3)如图，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（2022·广东河源·统考二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线经过A，B两点，点C的坐标为，，点C关于点B的对称点M刚好落在抛物线上，连接AM．

(1)求点M的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)过点M作MD平行于y轴交AB于点D，若点E为抛物线上的一点，点F在x轴上，连接AE，AF，EF．是否存在点F使得△ADM与△AEF相似？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（2022·青海西宁·统考二模）如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．

(1)求二次函数的解析式；

(2)点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标；

(3)如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

24．（2022·山东泰安·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．