苏科版八年级下册9.3 平行四边形课文内容课件ppt

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平行四边形的定义及表示方法平行四边形的性质平行四边形的判定反证法
平行四边形的定义及表示方法
1. 定义　两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2. 表示方法平行四边形用符号“ ”表示，如图9.3-1，平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
注意：(1)平行四边形的表示一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点，不能打乱顺序；(2)“ ”作为表示平行四边形的符号，不可单独使用它来代替“平行四边形”.
特别提醒：1. 平行四边形的定义有两个要素：(1)是四边形；(2)两组对边分别平行.作为四边形，平行四边形具有一般四边形的一切性质，如有四条边，四个内角，两条对角线，内角和为360°，外角和为360°等.作为平行四边形，它区别于其他一般四边形的特殊性质为：平行四边形的两组对边分别平行.2.平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法.
3. 平行四边形的基本元素
如图9.3-2，在 ABCD 中，∠ 1= ∠ 2. 求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ CD∥AB(平行四边形的两组对边分别平行)，即DE∥BF .∴∠ 1= ∠ DFA.∵∠ 1= ∠ 2，∴∠ 2= ∠ DFA，∴ DF∥BE. ∴四边形BEDF 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
解题秘方：紧扣平行四边形的定义中的双重功能：“性质功能和判定功能”进行证明.
解法提醒：当题目的条件中有平行四边形时，应立即想到两组对边分别平行；当题目的结论要证平行四边形时，首先应联想到它的两组对边是否分别平行.逆向利用及正向利用平行四边形的定义是后面学习平行四边形的性质及判定的主要依据.
1. 性质定理 平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.2. 对称性 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
平行四边形的性质可用表格归纳如下：
特别提醒：由于平行四边形的基本元素有边、角和对角线，因此讨论其性质也应从边、角和对角线这三个方面去看.1. 从边看：平行四边形的对边平行且相等.2. 从角看：平行四边形的对角相等，而且邻角互补.3. 从对角线看：对角线互相平分.注意：已知平行四边形，要根据推理证明的需要选择恰当的性质.
3. 拓展性质(1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分；(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
如图9.3-3，在 ABCD 中，BF 平分∠ ABC，交AD 于点F，CE 平分∠ BCD 交AD 于点E，AB ＝ 6，BC ＝ 10，则EF 长为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
解题秘方：紧扣数学模型“角平分线+ 平行线＝等腰三角形”转化线段即可求解．
解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=6，BC=10，∴ AD∥BC，AD＝BC＝ 10，DC＝AB＝6(平行四边形的对边平行且相等)． ∴∠ AFB ＝∠ FBC．∵ BF 平分∠ ABC，∴∠ ABF ＝∠ FBC．∴∠ AFB＝∠ ABF．∴ AF＝AB ＝ 6．同理DE＝DC＝ 6．∴ EF ＝ AF+DE ﹣ AD ＝ 6+6 ﹣ 10 ＝ 2．
思路点拨：此题由平行四边形的性质可知AD∥BC，易得∠AFB ＝∠FBC，由角平分线可得∠ABF＝∠FBC， 所以∠ AFB＝∠ABF，所以AF ＝ AB ＝6，同理可得DE ＝CD ＝6，由图形可知EF ＝AF+DE ﹣AD，代入即可求解．
如图9.3-4， 在 ABCD 中， 已知∠ A+ ∠ C=120 °， 求ABCD 中各角的度数.
解：在 ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠ D=180° .∵∠ A+ ∠ C=120°，∴∠ A= ∠ C=60° .∴∠ D=180° - ∠ A=180° -60° =120° .∴∠ B= ∠ D=120° .
解题秘方：由平行四边形的对角相等，得∠ A= ∠ C，结合已知条件∠ A+ ∠ C=120°，即可求出∠ A 和∠ C 的度数，再根据平行线的性质，进而求出∠ B，∠ D 的度数.
方法点拨：求平行四边形中有关角度的方法：利用平行四边形的对角相等、邻角互补的性质，在已知一个角的度数或已知两角的度数关系时可求出待求角的度数.
如图9.3-5，已知 ABCD 的周长是60，对角线AC，BD 相交于点O. 若△ AOB 的周长比△ BOC 的周长长8，求这个平行四边形各边的长.
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，AB=CD，AD=BC.∵ AB+BC+CD+DA=60，OA+AB+OB-(OB+BC+OC)=8，∴ AB+BC=30，AB-BC=8. ∴ AB=CD=19，BC=AD=11.即这个平行四边形各边的长分别为19、11、19、11.
解题秘方：紧扣平行四边形对角线、边的性质进行解答.
规律点拨：由“平行四边形的对角线互相平分”可以得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个小三角形的周长之差等于平行四边形中对应的两邻边之差”.
如图9.3-6，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点O 作直线EF，分别交AD，BC 于点E，F. 判断四边形ABFE 的面积与四边形FCDE 的面积有何关系？试说明理由.
解：S四边形ABFE=S四边形FCDE. 理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，AD∥BC. ∴∠ 1= ∠ 2.又∵∠ 3= ∠ 4，∴△ AOE ≌△ COF. ∴ S△ AOE=S△ COF.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD，BC=DA，∠ ABC= ∠ CDA.∴△ ABC ≌△ CDA. ∴ S△ ABC=S△ CDA.∵ S四边形ABFE=S△ABC-S△COF+S△AOE=S△ABC，S四边形FCDE=S△CDA-S△AOE+S△COF=S△CDA，∴ S四边形ABFE=S四边形FCDE.
解题秘方：紧扣平行四边形的对角线性质、全等三角形的性质进行解答.
特别提醒：这是平行四边形对角线的两个拓展性质，即1. 平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形.2. 过平行四边形的两条对角线交点的一条直线将平行四边形分成两个面积相等的梯形.本例的实质是对知识点中的两条拓展性质的部分结论的证明.
1. 判定方法判定平行四边形可以从对边和对角线两个方面进行，如图9.3-7，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点O. 具体判定方法如下表所示.
特别提醒：平行四边形的判定定理和性质定理是互逆定理，解题时要注意区别，不能混淆.1. 由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.2. 由边、对角线的关系得到平行四边形是判定.
2. 灵活选择平行四边形判定定理的方法(1)已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等；(3)已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分；(4)已知条件与角有关，可证明两组对边分别平行.
3. 易错警示一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形.
如图9.3-8，已知BE ∥ DF，∠ ADF= ∠ CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF 是平行四边形.
证明：∵ BE ∥ DF，∴∠ AFD= ∠ CEB.∵∠ ADF= ∠ CBE，AF=CE，∴△ ADF ≌△ CBE. ∴ DF=BE.∵ BE ∥ DF，BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
解题秘方：紧扣条件“BE ∥ DF”需说明“BE=DF”或“DE ∥ BF”即可得到四边形DEBF 是平行四边形.
另解：∵ BE ∥ DF，∴∠ AFD= ∠ CEB.∵∠ ADF= ∠ CBE，AF=CE，∴△ ADF ≌△ CBE.∴∠ A= ∠ C，AD=CB.又∵ AF=CE.∴ AE=CF，∴△ ADE ≌△ CBF.∴∠ AED= ∠ CFB.∴∠ DEF= ∠ BFE.∴ DE ∥ BF.又∵ BE ∥ DF，∴ 四边形DEBF是平行四边形.
如图9.3-9，分别以△ ABC 的三边为一边，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE、EF.求证：四边形ADEF 是平行四边形.
证明：∵△ ABD，△ BCE，△ ACF 都为等边三角形，∴ DB=AB=AD，BE=BC，AC=AF，∠ DBA=60°，∠ EBC=60° .∴∠ DBE=60° - ∠ EBA，∠ ABC=60° - ∠ EBA.∴∠ DBE= ∠ ABC. ∴△ DBE ≌△ ABC. ∴ DE=AC.又∵ AC=AF，∴ AF=DE.同理可证△ ABC ≌△ FEC.∴ AB=FE. 又∵ AB=AD，FE=AD.∴四边形ADEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
解题秘方：由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF 的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定.
解题秘方：由边的关系判定平行四边形的方法：1. 若已知一组对边平行，则可采用证这组对边相等或另一组对边平行这两种方法判定平行四边形.2. 若已知一组对边相等，则可采用证这组对边平行或另一组对边相等这两种方法判定平行四边形.
已知：如图9.3-10，在平行四边形ABCD 中，点E，F 在AC 上，且AE=CF. 求证：四边形BEDF 是平行四边形.
证明：如图9.3-10，连接BD，设对角线AC，BD 交于点O.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD.又∵ AE=CF，∴ OA-AE=OC-CF，即OE=OF.∴四边形BEDF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
解题秘方：由于条件都与四边形的对角线相关，因此需紧扣对角线关系判定平行四边形.
解法提醒：当条件都与四边形的对角线相关时，应从对角线的角度考虑，利用对角线的关系判定平行四边形，一般结合平行四边形的性质，利用已知平行四边形得到要证明的四边形对角线的关系，从而判定该四边形是平行四边形.
1. 定义在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立，这种证明的方法称为反证法.
2. 步骤(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立.警示误区：(1)假设否定的是命题的结论，而不是已知条件；(2)在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证.
[ 模拟·苏州] 用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图9.3-11，∠ 1 是△ ABC 的一个外角．求证：∠ 1 ＝∠ A+ ∠ B.
证明：假设∠ 1 ≠∠ A+ ∠ B，∵∠ 1+ ∠ ACB ＝ 180°，∴∠ A+ ∠ B + ∠ ACB ≠ 180° .与“三角形的内角和等于180°”这个定理相矛盾.∴假设不成立, 即原命题成立.∴∠ 1 ＝∠ A+ ∠ B．
解题秘方：紧扣假设和平角的定义进行推理，由“三角形的内角和等于180°”即可求证.
思路点拨:此题的解题步骤是：①假设命题的结论不成立，即∠1≠∠A+∠B；②从假设出发，经过推理论证，得到∠ A+ ∠ B +∠ACB≠180°，得出矛盾；③由矛盾判定假设∠ 1 ≠∠ A+ ∠ B 不正确，从而肯定∠ 1 ＝∠ A+ ∠ B 正确．