初中数学苏科版八年级下册9.2 中心对称与中心对称图形同步达标检测题

第9章　中心对称图形——平行四边形

9.2　中心对称与中心对称图形

基础过关全练

知识点1　中心对称的定义及其性质

1.如图,△ABC与△A'B'C'关于O成中心对称,下列结论中不一定成立的是              (　　)

A.∠ABC=∠A'C'B'　　　　B.OA=OA'

C.BC=B'C'　　       　　D.OC=OC'

2.【新独家原创】如图,在平面直角坐标系中,△OAB是等腰直角三角形,BO=AO=1,第一次作△OA1B1与△OAB关于原点O成中心对称,得到△OA1B1;第二次作△O1A1B2与关于点A1成中心对称,得到△O1A1 B2;第三次作△O1A2B3与△O1A1B2关于点O1成中心对称,得到△O1A2B3;…….

(1)A1,A2,A3的坐标分别为　　　　,　　　　,　　　　; 

(2)写出B2 022的坐标.

3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DF=CF,连接AF并延长,交BC的延长线于点E.

(1)图中哪两个三角形成中心对称?

(2)四边形ABCD的面积与图中哪个三角形的面积相等?

(3)若AB=AD+BC,∠B=70°,试求∠DAF的度数.

知识点2　利用中心对称作图

4.【教材变式·P62T5变式】如图,直线l1与l2交于点O,点A1与A关于直线l1对称,点A2与A关于直线l2对称,若要使点A1与A2关于点O成中心对称,则直线l1与l2需满足什么关系?

5.(2022江苏南京月考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(-3,2),B(0,4),C(0,2).

(1)作△ABC关于C对称的△A1B1C1;

(2)平移△ABC,若 A的对应点 A2的坐标为(0,-4),画出平移后的

△A2B2C2;

(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称,请画出对称中心 P.

知识点3　中心对称图形及其性质

6.【主题教育·中华优秀传统文化】(2022湖南永州中考)剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术,反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中,是中心对称图形的有              (　　)

 ①           ②           ③           ④

A.①②③　　　　B.①②④      C.①③④　　　　D.②③④

7.(2022江苏东台月考)线段是中心对称图形,对称中心是　　　　　　. 

能力提升全练

8.【主题教育·生命安全与健康】(2022广东佛山期末,1,)教育部门高度重视校园安全教育,要求各级各类学校从认识安全警告标志入手,开展安全教育,下列安全图标是中心对称图形的是              (　　)

A              B             C             D

9.(2020江苏淮安中考,5,)在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是              (　　)

A.(2,3)　　　　B.(-3,2)         C.(-3,-2)　　　　D.(-2,-3)

10.(2022山东青岛模拟,6,)如图,以某网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,将△ABC绕点P旋转180°后得到△DEF,已知点A(2,-1),点P的坐标为              (　　)

A.(-2,2)　　　　B.(2,-2)           C.(1,-3)　　　　D.(-3,1)

11.(2022河南许昌期中,13,)在平面直角坐标系中,已知点A(a,-3)与点B(2,b)关于原点对称,则ba=　　　　. 

12.(2022贵州黔西南州期中,16,)如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,有以下结论:①点A与点A'是对称点;②BO=B'O;③AB∥A'B';④∠ACB=∠C'A'B'.其中正确结论的个数为　　　　. 

13.【新考法】(2022吉林中考模拟,19,)图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,已有两个小等边三角形涂上了灰色.

(1)在图①中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为轴对称图形,但不是中心对称图形;

(2)在图②中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形;

(3)在图③中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形既是中心对称图形,又是轴对称图形.

图①            图②             图③

素养探究全练

14.【几何直观】(2022江苏泰兴期中)如图,△ABC和△DEC关于点C成中心对称,若∠BAC=90°,AB=3,AC=2,则AE的长是　　　　. 

15.【模型观念】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:

如图①,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD长的取值范围.小明在组内经过交流合作,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.

感悟　解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

根据上述论证,请你探究下列命题:

(1)如图②,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;

(2)在(1)的条件下,若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.

答案全解全析

基础过关全练

1.A　A.∠ABC与∠A'C'B'不是对应角,也不是旋转角,不一定相等,符合题意.故选A.

2.解析　(1)△OAB是等腰直角三角形,BO=AO=1,每一次中心对称,点A的对称点均在x轴上,且OA1=1,OA2=3,OA3=5,所以A1(1,0),A2(3,0),A3(5,0).

(2)每一次中心对称,点O的对称点均在x轴上,

∴O1(2,0),O2(4,0),O3(6,0),…….点B2,B4,B6,…均在x轴上方,且其纵坐标均为1,横坐标与O1,O2,O3,…的横坐标相同,

所以B2 022(2 022,1).

3.解析　(1)∵AD∥BC,∴∠E=∠DAF,

又DF=CF,∠AFD=∠EFC,

∴△ADF≌△ECF,

∴△ADF绕点F旋转180°可得到△ECF.

∴△ADF与△ECF成中心对称.

(2)由(1)可知△ADF≌△ECF,

∴S△ADF=S△ECF,

∴S四边形ABCF+S△ADF=S四边形ABCF+S△ECF,

∴S四边形ABCD=S△ABE,

即四边形ABCD的面积和△ABE的面积相等.

(3)∵△ADF≌△ECF,

∴CE=AD,

∵AB=AD+BC,∴AB=CE+BC=BE,

∴∠E=∠BAE=(180°-∠B)=55°,

∵∠E=∠DAF,

∴∠DAF=55°.

4.解析　∵直线l1与l2交于点O,点A1与A关于直线l1对称,

∴OA=OA1,同理可得OA=OA2,

∴OA1=OA2,

若要使点A1与A2关于点O成中心对称,

则∠A1OA+∠AOA2=180°,

∵OA1=OA,l1⊥A1A,

∴∠1=∠3,

∴∠A1OA=2∠1,

同理∠AOA2=2∠2,

∴2∠1+2∠2=180°,

∴∠1+∠2=90°,

∴l1⊥l2.

5.解析　(1)如图,△A1B1C1即为所求.

(2)如图,△A2B2C2即为所求.

(3)如图,点P即为所求.

6.A　在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.∴①②③是中心对称图形,故选A.

7.线段的中点

解析　线段是中心对称图形,对称中心是线段的中点.

能力提升全练

8.C　在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.

∴选项C是中心对称图形,故选C.

9.C　(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),故选C.

10.C　根据题意,平面直角坐标系如图所示,连接AD,CF,交点即为点P,点P的坐标为(1,-3).

11.

解析　由中心对称的性质得,a=-2,b=3,

∴ba=3-2=.

12.3

解析　∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,

∴点A与点A'是对称点,△ABC≌△A'B'C',∠ACB=∠A'C'B',

∴BO=B'O,AB∥A'B',

故①②③正确,④错误,故答案为3.

13.解析　答案不唯一,根据轴对称和中心对称定义作图即可.

(1)如图①所示,阴影部分图形是轴对称图形,不是中心对称图形.

(2)如图②所示,阴影部分图形是中心对称图形,不是轴对称图形.

(3)如图③所示,阴影部分图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.

图①          图②          图③

素养探究全练

14.5

解析　∵△ABC和△DEC关于点C成中心对称,

∴△ABC≌△DEC,

∴∠EDC=∠BAC=90°,DE=AB=3,DC=AC=2,

∴AD=AC+DC=4,

∴AE2=AD2+DE2=42+32=25,

∴AE=5.故答案为5.

15. 解析　(1)证明:如图,延长FD到G,使得DG=DF,连接BG、EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD,连接EG),易知△CFD≌

△BGD,

∴CF=BG,

∵DE⊥DF,DF=DG,

∴EF=EG.

在△BEG中,BE+BG>EG,

∴BE+CF>EF.

(2)BE2+CF2=EF2.

证明:若∠A=90°,

则∠EBC+∠FCB=90°,

∵∠FCD=∠DBG,

∴∠EBC+∠DBG=90°,

即∠EBG=90°,

∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,

又∵EF=EG,BG=FC,

∴BE2+CF2=EF2.